دائرة

منذ فجر الحضارات المعروفة، كالحضارة الآشورية والمصرية القديمة، وحضارات وادي السند وعلى ضفاف النهر الأصفر في الصين، والحضارات الغربية كاليونان وروما خلال العصور الكلاسيكية القديمة، استُخدمت الدائرة بشكل مباشر أو غير مباشر في الفنون البصرية لنقل رسالة الفنان والتعبير عن أفكار معينة. إلا أن الاختلافات في النظرة إلى العالم (المعتقدات والثقافة) كان لها أثر بالغ على تصورات الفنانين. فبينما ركز البعض على محيط الدائرة لإظهار نزعتهم الديمقراطية، ركز آخرون على مركزها ليرمز إلى مفهوم الوحدة الكونية. وفي المذاهب الصوفية، ترمز الدائرة في المقام الأول إلى الطبيعة اللانهائية والدورية للوجود، بينما في التقاليد الدينية تمثل الأجرام السماوية والأرواح الإلهية.

ترمز الدائرة إلى العديد من المفاهيم المقدسة والروحية، بما في ذلك الوحدة، واللانهاية، والكمال، والكون، والألوهية، والتوازن، والاستقرار، والكمال، وغيرها. وقد تم التعبير عن هذه المفاهيم في ثقافات حول العالم من خلال استخدام الرموز، مثل البوصلة، والهالة، وشكل "فيزيكا بيسيس" ومشتقاته (السمكة، والعين، والهالة، والماندورلا، إلخ)، والأوربوروس، وعجلة الدارما ، وقوس قزح، والماندالا، والنوافذ الوردية، وما إلى ذلك. ^{[ 10 ]} وتُعد الدوائر السحرية جزءًا من بعض تقاليد الباطنية الغربية .

نسبة محيط الدائرة إلى قطرها هي π (باي)، وهو ثابت غير نسبي يساوي تقريبًا 3.141592654. ونسبة محيط الدائرة إلى نصف قطرها هي 2π . ^{[ أ ]} وبالتالي ، يرتبط المحيط C بنصف القطر r والقطر d بالعلاقة التالية: $${\displaystyle C=2\pi r=\pi d.}$$

كما أثبت أرخميدس في كتابه "قياس الدائرة" ، فإن المساحة المحصورة داخل دائرة تساوي مساحة مثلث قاعدته تساوي طول محيط الدائرة وارتفاعه يساوي نصف قطر الدائرة، ^{[ 11 ]} وهو ما يساوي π مضروبًا في مربع نصف القطر: $${\displaystyle \mathrm {المنطقة} =\pi r^{2}.}$$

وبصورة مكافئة، إذا رمزنا للقطر بالرمز d ، $${\displaystyle \mathrm {المساحة} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0.7854d^{2},}$$ أي ما يقرب من 79٪ من المربع المحيط (الذي يبلغ طول ضلعه d ).

الدائرة هي المنحنى المستوي الذي يحيط بأكبر مساحة ممكنة لطول قوس معين. وهذا يربط الدائرة بمسألة في حساب التفاضل والتكامل، وهي متباينة المحيط المتساوي .

إذا كانت دائرة نصف قطرها r مركزها رأس زاوية θ ، وكانت تلك الزاوية تقاطع قوسًا من الدائرة طوله s ، فإن قياس الزاوية بالراديان θ هو نسبة طول القوس إلى نصف القطر: $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}.}$$

يُقال إن القوس الدائري يُقابل الزاوية المركزية في مركز الدائرة. الراديان هو قياس الزاوية المركزية التي يُقابلها قوس دائري طوله يساوي نصف قطره. الزاوية المركزية التي يُقابلها دائرة كاملة في مركزها هي زاوية كاملة ، وقياسها 2π راديان ، أي 360 درجة ، أو دورة كاملة .

باستخدام الراديان، تكون صيغة طول القوس s لقوس دائري نصف قطره r ويقابل زاوية مركزية قياسها 𝜃 هي $${\displaystyle s=\theta r,}$$

والصيغة لحساب مساحة القطاع الدائري A الذي نصف قطره r وزاويته المركزية 𝜃 هي $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\theta r^{2}.}$$

في الحالة الخاصة 𝜃 = 2 π ، تعطي هذه الصيغ محيط دائرة كاملة ومساحة قرص كامل، على التوالي.

_يكون المماس المار بنقطة P على الدائرة عموديًا على قطر الدائرة المار بها . إذا كانت _P = ( x₁ , y₁ ) وكان مركز الدائرة ( a , b ) ونصف قطرها r ، فإن المماس يكون عموديًا على الخط الواصل بين ( a , b ) و( x₁ , y₁ ) _، وبالتالي تكون معادلته على الصورة ( _x₁ - a ) x + ( y₁ _- b ) y = c . وبحساب قيمة c عند _النقطة ( x₁ _, y₁ ) ، نحصل على معادلة المماس _.$${\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}$$ أو $${\displaystyle (x_{1}-a)(xa)+(y_{1}-b)(yb)=r^{2}.}$$

إذا كان y ₁ ≠ b ، فإن ميل هذا الخط هو $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}$$

ويمكن إيجاد ذلك أيضاً باستخدام التفاضل الضمني .

عندما يكون مركز الدائرة عند نقطة الأصل، تصبح معادلة المماس كما يلي: $${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}$$ وميله هو $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}$$

• تكون الأوتار متساوية البعد عن مركز الدائرة إذا وفقط إذا كانت متساوية في الطول.
• يمر المنصف العمودي للوتر عبر مركز الدائرة؛ والعبارات المكافئة الناجمة عن تفرد المنصف العمودي هي:
  • الخط العمودي الخارج من مركز الدائرة ينصف الوتر.
  • القطعة المستقيمة التي تمر بالمركز وتقسم الوتر تكون عمودية على الوتر.
• إذا كانت الزاوية المركزية والزاوية المحيطية في الدائرة محصورة بنفس الوتر وعلى نفس جانب الوتر، فإن الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية.
• إذا تم رسم زاويتين داخل نفس الوتر وعلى نفس جانب الوتر، فإنهما متساويتان.
• إذا تم رسم زاويتين على نفس الوتر وعلى جانبين متقابلين من الوتر، فإنهما متكاملتان .
  • بالنسبة للشكل الرباعي الدائري ، تكون الزاوية الخارجية مساوية للزاوية الداخلية المقابلة لها.
• الزاوية المحيطية التي يقابلها قطر هي زاوية قائمة (انظر نظرية طاليس ).
• القطر هو أطول وتر في الدائرة.
  • من بين جميع الدوائر التي تشترك في الوتر AB، فإن الدائرة ذات نصف القطر الأدنى هي تلك التي قطرها AB.
• إذا قسم تقاطع أي وترين أحد الوترين إلى أطوال a و b وقسم الوتر الآخر إلى أطوال c و d ، فإن ab = cd .
• إذا قسم تقاطع أي وترين متعامدين أحد الوترين إلى طولين ^a و b ، وقسم ^الوتر الآخر إلى طولين c و d ، فإن a² + b² + ^{c² +} d² يساوي مربع القطر. ^{[ 13 ]}
• مجموع مربعات أطوال أي وترين يتقاطعان بزاوية قائمة عند نقطة معينة يساوي مجموع مربعات أطوال أي وترين متعامدين آخرين يتقاطعان عند نفس النقطة، ويُعطى بالعلاقة ^{8r² -} 4p² ، حيث r هو نصف قطر الدائرة، و p هي المسافة من مركز الدائرة إلى نقطة التقاطع. ^{[ 14 ]}
• المسافة من نقطة على الدائرة إلى وتر معين مضروبة في قطر الدائرة تساوي حاصل ضرب المسافات من النقطة إلى طرفي الوتر. ^{[ 15 ] : ص 71}

• الخط المرسوم عمودياً على نصف القطر ويمر بنقطة نهاية نصف القطر الواقعة على الدائرة يكون مماساً للدائرة.
• الخط المرسوم عمودياً على المماس المار بنقطة التماس مع الدائرة يمر عبر مركز الدائرة.
• يمكن دائمًا رسم مماسين لدائرة من أي نقطة خارج الدائرة، ويكون طول هذين المماسين متساويًا.
• إذا تقاطع مماس عند النقطة A ومماس عند النقطة B عند النقطة الخارجية P ، فإن إذا رمزنا للمركز بـ O ، فإن الزاويتين ∠BOA و ∠BPA متكاملتان.
• إذا كان AD مماسًا للدائرة عند A وإذا كان AQ وترًا في الدائرة، فإن ∠DAQ = 1 / 2 arc ( AQ ) .

• تنص نظرية الأوتار على أنه إذا تقاطع وتران، CD و EB ، عند النقطة A ، فإن AC × AD = AB × AE .
• إذا قطع قاطعان، AE و AD ، الدائرة أيضًا عند B و C على التوالي، فإن AC × AD = AB × AE (نتيجة لنظرية الوتر).
• يمكن اعتبار المماس حالةً حديةً للقاطع الذي تتطابق نهايتاه. إذا تقاطع مماس من نقطة خارجية A مع الدائرة عند النقطة F ، وتقاطع قاطع من النقطة الخارجية A مع الدائرة عند النقطتين C و D على التوالي، فإن AF² ⁼ AC × AD ( نظرية المماس والقاطع).
• الزاوية بين الوتر والمماس عند إحدى نقاط نهايته تساوي نصف الزاوية المقابلة عند مركز الدائرة، على الجانب الآخر من الوتر (زاوية الوتر المماسية).
• إذا كانت الزاوية التي يشكلها الوتر عند المركز 90 درجة ، فإن ℓ = r √2 ، حيث ℓ هو طول الوتر، و r هو نصف قطر الدائرة.
• إذا تم رسم قاطعين داخل الدائرة كما هو موضح على اليمين، فإن قياس الزاوية A يساوي نصف الفرق بين قياسات القوسين المحصورين (${\displaystyle {\overset {\frown }{DE}}}$و${\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}$). إنه،${\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}$، حيث O هو مركز الدائرة (نظرية القاطع-القاطع).

الزاوية المحيطية (مثل الزاويتين الزرقاء والخضراء في الشكل) تساوي نصف الزاوية المركزية المقابلة لها (الحمراء). لذا، فإن جميع الزوايا المحيطية التي تقابل القوس نفسه (الوردي) متساوية. الزوايا المحيطية على القوس (البني) متكاملة. وبالتحديد، كل زاوية محيطية تقابل قطراً هي زاوية قائمة (لأن قياس الزاوية المركزية 180 درجة).

السهم (المعروف أيضًا باسم الفيرسين ) هو قطعة مستقيمة مرسومة بشكل عمودي على وتر، بين منتصف ذلك الوتر وقوس الدائرة.

بمعرفة طول الوتر y وطول السهم x ، يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لحساب نصف قطر الدائرة الفريدة التي ستحيط بالخطين: $${\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}$$

برهان آخر لهذه النتيجة، يعتمد فقط على خاصيتين للوتر المذكورتين أعلاه، هو كما يلي: إذا كان لدينا وتر طوله y وسهم طوله x ، وبما أن السهم يتقاطع مع منتصف الوتر، فإننا نعلم أنه جزء من قطر الدائرة. ولأن القطر يساوي ضعف نصف القطر، فإن الجزء "المفقود" من القطر طوله ( 2r - x ). وباستخدام حقيقة أن حاصل ضرب جزء من أحد الوترين يساوي حاصل ضرب وتر يتقاطع مع الوتر الأول، نجد أن ( 2r - x ) x = ( y /2) ^² . وبحل المعادلة لإيجاد قيمة r ، نحصل على النتيجة المطلوبة.

• قم بإنشاء نقطة المنتصف M للقطر.
• قم بإنشاء الدائرة التي يمر مركزها M عبر إحدى نقطتي نهاية القطر (وستمر أيضًا عبر نقطة النهاية الأخرى).

• سمِّ النقاط P و Q و R ،
• قم بإنشاء المنصف العمودي للقطعة المستقيمة PQ .
• قم بإنشاء المنصف العمودي للقطعة المستقيمة PR .
• قم بتسمية نقطة تقاطع هذين المنصفين المتعامدين M. (يلتقيان لأن النقاط ليست على خط مستقيم واحد ).
• قم بإنشاء دائرة مركزها M تمر عبر إحدى النقاط P أو Q أو R (ستمر أيضًا عبر النقطتين الأخريين).

تتضمن إحدى الخصائص المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالدوائر هندسة النسبة التبادلية للنقاط في المستوى المركب. إذا كانت A و B و C كما هو موضح أعلاه، فإن دائرة أبولونيوس لهذه النقاط الثلاث هي مجموعة النقاط P التي تكون فيها القيمة المطلقة للنسبة التبادلية مساوية للواحد. $${\displaystyle {\bigl |}[A,B;C,P]{\bigr |}=1.}$$

وبعبارة أخرى، فإن P هي نقطة على دائرة أبولونيوس إذا وفقط إذا كانت النسبة التبادلية [ A ، B ؛ C ، P ] على دائرة الوحدة في المستوى المركب.

إذا كانت C هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة AB ، فإن مجموعة النقاط P التي تحقق شرط أبولونيوس $${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$ ليس دائرة، بل خط.

وبالتالي، إذا كانت A و B و C نقاطًا مختلفة في المستوى، فإن المحل الهندسي للنقاط P التي تحقق المعادلة المذكورة أعلاه يُسمى "دائرة معممة". وقد تكون دائرة حقيقية أو خطًا مستقيمًا. وبهذا المعنى، يُعد الخط المستقيم دائرة معممة ذات نصف قطر لانهائي.

بتعريف الدائرة على أنها مجموعة النقاط التي تبعد مسافة ثابتة عن نقطة ما، يمكن اعتبار أشكال مختلفة دوائر وفقًا لتعريفات مختلفة للمسافة. في معيار p ، تُحدد المسافة بواسطة $${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$ في الهندسة الإقليدية، p = 2، مما يعطي الشكل المألوف $${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{2}}}.}$$

في هندسة سيارات الأجرة ، p = 1. دوائر سيارات الأجرة عبارة عن مربعات أضلاعها موجهة بزاوية 45 درجة بالنسبة لمحاور الإحداثيات. بينما يكون طول كل ضلع${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$باستخدام المقياس الإقليدي ، حيث r هو نصف قطر الدائرة، فإن طولها في هندسة سيارات الأجرة يساوي 2r . وبالتالي، فإن محيط الدائرة يساوي 8r . ومن ثم، فإن قيمة النظير الهندسي لـ${\displaystyle \pi }$القيمة 4 في هذا الشكل الهندسي. صيغة دائرة الوحدة في هندسة سيارات الأجرة هي${\displaystyle |x|+|y|=1}$في الإحداثيات الديكارتية و $${\displaystyle r={\frac {1}{\left|\sin \theta \right|+\left|\cos \theta \right|}}}$$ في الإحداثيات القطبية.

الدائرة التي نصف قطرها 1 (باستخدام هذه المسافة) هي جوار فون نيومان لمركزها.

الدائرة التي نصف قطرها r، والمستخدمة في حساب مسافة تشيبيشيف ( المقياس L∞ ) على مستوى ثنائي الأبعاد _، هي أيضاً مربع طول ضلعه 2r موازٍ لمحاور الإحداثيات. لذا، يمكن اعتبار مسافة تشيبيشيف في المستوى الثنائي مكافئة، بالتدوير والقياس، لمسافة سيارة الأجرة في المستوى الثنائي. مع ذلك، لا يمكن تعميم هذا التكافؤ بين _{مقياسي L1} وL∞ على الأبعاد الأعلى .

الدائرة هي الكرة الفائقة أحادية البعد (الكرة أحادية البعد).

في علم الطوبولوجيا ، لا تقتصر الدائرة على المفهوم الهندسي فحسب، بل تشمل جميع تماثلاتها . وتكون دائرتان طوبولوجيتان متكافئتين إذا أمكن تحويل إحداهما إلى الأخرى عن طريق تشويه R³ على نفسها (يُعرف باسم ^{التماثل} المحيطي ). ^{[ 24 ]}

الدائرة الموجهة هي دائرة عادية يتم تمثيل اتجاهها بقيمة ثنائية مرتبطة بها، وهي إما${\displaystyle 1}$أو${\displaystyle -1}$الاستثناء الوحيد هو دائرة نصف قطرها صفر، والتي يكون اتجاهها مساوياً لـ${\displaystyle 0}$النقطة تُعادل دائرة موجهة نصف قطرها صفر. إذا كانت الدائرة الموجهة لها اتجاه يساوي${\displaystyle 1}$إذا كان اتجاه الدائرة " عكس اتجاه عقارب الساعة "، فإن اتجاهها يساوي${\displaystyle -1}$عندئذٍ يكون اتجاهها " مع عقارب الساعة ". يُعرَّف نصف قطر الدائرة الموجهة (المُوَجَّهة) بأنه نصف القطر${\displaystyle r}$ناتج ضرب الدائرة غير الموجهة الأساسية في اتجاهها. ويُفترض اتجاه الدائرة في قياس الزوايا الموجهة .