هيبوكلويد

في الهندسة ، يُعرف المنحنى الهايبوسيكلويد بأنه منحنى مستوٍ خاص ينتج عن أثر نقطة ثابتة على دائرة صغيرة تتدحرج داخل دائرة أكبر. وكلما زاد نصف قطر الدائرة الأكبر، أصبح المنحنى الهايبوسيكلويد أقرب إلى المنحنى الدائري الناتج عن دحرجة دائرة على خط مستقيم.

وصف الفلكي والرياضي الفارسي ناصر الدين الطوسي، في القرن الثالث عشر، المنحنى الهيبوسيكلويدي ذو الحدين، المعروف باسم زوج الطوسي، لأول مرة في كتابه "تحرير المجسطي" . ^{[ 1 ] [ 2 ]} وصف الرسام الألماني ومنظر عصر النهضة الألماني ألبرخت دورر المنحنيات الإبيتروكويدية عام 1525، ولاحقًا ركز رومر وبرنولي على بعض المنحنيات الهيبوسيكلويدية المحددة، مثل النجم، عامي 1674 و1691 على التوالي. ^{[ 3 ]}

إذا كان نصف قطر الدائرة المتدحرجة r ، ونصف قطر الدائرة الثابتة R = kr ، فإن المعادلات البارامترية للمنحنى يمكن أن تُعطى بأحد الطريقتين التاليتين: $$$$$ أو: $${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right)\end{aligned}}}$$

إذا كان k عددًا صحيحًا، فإن المنحنى يكون مغلقًا، وله k نقطة انعطاف حادة (أي زوايا حادة، حيث يكون المنحنى غير قابل للتفاضل ). وبالتحديد عندما k = 2، يكون المنحنى خطًا مستقيمًا وتُسمى الدوائر الناتجة أزواج طوسي . وكان ناصر الدين الطوسي أول من وصف هذه المنحنيات تحت الدائرية وتطبيقاتها في الطباعة عالية السرعة . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

لو${\displaystyle k}$هو عدد نسبي ، على سبيل المثال${\displaystyle k=p/q}$إذا تم التعبير عنها ككسر غير قابل للاختزال ، فإن المنحنى يكون${\displaystyle p}$النتوءات.

لإغلاق المنحنى وإكمال النمط المتكرر الأول:

• ${\displaystyle \theta }$= 0 إلى q دورات
• ${\displaystyle \alpha }$= 0 إلى p دورات
• عدد دورات الدائرة المتدحرجة = عدد دورات pq

إذا كان k عددًا غير نسبي ، فإن المنحنى لا يغلق أبدًا، ويملأ الفراغ بين الدائرة الأكبر ودائرة نصف قطرها R − 2 r .

كل منحنى هابيسيكلويد (لأي قيمة لـ r ) هو منحنى قصير للجهد الجاذبي داخل كرة متجانسة نصف ^قطرها R. [ ^{6 ]}

المساحة المحصورة داخل منحنى هيبوسيكلويد تُعطى بالعلاقة التالية: ^{[ 3 ] [ 7 ]}

$${\displaystyle A={\frac {(k-1)(k-2)}{k^{2}}}\pi R^{2}=(k-1)(k-2)\pi r^{2}}$$

يُعطى طول قوس المنحنى الهيبوسيكلويد بالصيغة التالية: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle s={\frac {8(k-1)}{k}}R=8(k-1)r}$$

• أمثلة على المنحنى تحت الدائري
• 
  k=3 → شكل دلتويد
• 
  k=4 → كويكب
• 
  k=5
• 
  k=6
• 
  k=2.1 = 21/10
• 
  k=3.8 = 19/5
• 
  k=5.5 = 11/2
• 
  k=7.2 = 36/5

المنحنى الهيبوسيكلويد هو نوع خاص من المنحنى الهيبوتروكويد ، وهو نوع معين من الروليت .

يُعرف الشكل الهيبوسيكلويدي ذو الثلاثة رؤوس باسم الشكل الدلتاوي .

يُعرف المنحنى الهيبوسيكلويدي ذو الأربع قمم باسم النجمة .

يُعد الشكل المخروطي ذو "النتوءين" حالة متدهورة ولكنها لا تزال مثيرة للاهتمام للغاية، والمعروفة باسم زوج توسي .

أي سطح سفلي دائري ذو قيمة صحيحة k ، وبالتالي k من الرؤوس، يمكنه أن يتحرك بسلاسة داخل سطح سفلي دائري آخر ذي k + 1 من الرؤوس، بحيث تكون رؤوس السطح السفلي الدائري الأصغر متصلة دائمًا بالسطح الأكبر. تبدو هذه الحركة كـ"تدحرج"، مع أنها ليست تدحرجًا بالمعنى الدقيق للميكانيكا الكلاسيكية، لأنها تتضمن انزلاقًا.

يمكن ربط الأشكال شبه الدائرية بمجموعات وحدوية خاصة ، يُرمز لها بـ SU( k )، والتي تتكون من مصفوفات وحدوية من الرتبة k × k ذات محدد يساوي 1. على سبيل المثال، القيم المسموح بها لمجموع عناصر القطر الرئيسي لمصفوفة في SU(3) هي تحديدًا النقاط الواقعة في المستوى المركب داخل شكل شبه دائري ذي ثلاثة رؤوس (شكل دلتاوي). وبالمثل، فإن مجموع عناصر القطر الرئيسي لمصفوفات SU(4) يعطي نقاطًا داخل شكل نجمي، وهكذا.

بفضل هذه النتيجة، يمكن استخدام حقيقة أن SU( k ) تقع داخل SU( k+1 ) كمجموعة جزئية لإثبات أن سطحًا دائريًا ذا k رؤوس يتحرك بسلاسة داخل سطح دائري ذي k +1 رأس. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

المنحنى التطوري للمنحنى تحت الدائري هو نسخة مكبرة من المنحنى تحت الدائري نفسه، بينما المنحنى الملتف للمنحنى تحت الدائري هو نسخة مصغرة منه. ^{[ 10 ]}

شكل قاعدة المنحنى الهيبوسيكلويدي ذي القطب الموجود في مركزه هو منحنى وردي .

الخط المتساوي البصري للمنحنى تحت الدائري هو منحنى تحت دائري.

يمكن رسم منحنيات مشابهة للمنحنيات الهيبوسيكلويدية باستخدام لعبة سبيروغراف . وبالتحديد، يمكن لسبيروغراف رسم المنحنيات الهيبوتروكويدية والإبيتروكويدية .

يتضمن شعار فريق بيتسبرغ ستيلرز، المستوحى من شعار ستيلمارك، ثلاثة كويكبات ( أشكال نصف دائرية ذات أربعة رؤوس ). وفي عموده الأسبوعي على موقع NFL.com بعنوان "محلل صباح الثلاثاء"، يشير غريغ إيستربروك غالبًا إلى فريق ستيلرز باسم "الأشكال النصف دائرية". كما استوحى فريق كرة القدم التشيلي "سي دي هواشيباتو " شعاره من شعار ستيلرز، ولذلك يتضمن أشكالًا نصف دائرية.

يضم ديكور الموسم الأول من برنامج "ذا برايس إز رايت " الذي قدمه درو كاري، كويكبات على الأبواب الرئيسية الثلاثة، وبطاقة السعر العملاقة، ومنطقة القرص الدوار. أُزيلت الكويكبات من الأبواب والقرص الدوار عندما تحول البرنامج إلى البث عالي الدقة بدءًا من عام 2008، ولم يتبق منها سوى بطاقة السعر العملاقة حتى اليوم. ^{[ 11 ]}

• سايكلوجون
• الدويري
• إبيتروكويد
• علم مدينة بورتلاند بولاية أوريغون ، والذي يتميز بمنحنى هيبوسيكلويد ^{[ 12 ]}
• هيبتروكويد
• قائمة الدوال الدورية
• محرك موراي ذو الشكل الهيبوسيكلويدي ، الذي يستخدم زوجًا من الوصلات كبديل للعمود المرفقي
• الروليت (المنحنى)
• حالات خاصة: زوجان من التوزي ، والكويكب النجمي ، والعضلة الدالية
• سبيروغراف

• ج. دينيس لورانس (1972). فهرس المنحنيات المستوية الخاصة . منشورات دوفر. الصفحات 168، 171-173 . ISBN  0-486-60288-5.

• وايسستين، اريك دبليو. “Hypocycloid” . عالم الرياضيات .
• "Hypocycloid" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "المنحنى تحت الدائري" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
• أداة جافا سكريبت مجانية لإنشاء منحنيات هايبوكيلويد
• رسوم متحركة للمنحنيات فوق الدائرية، والمحيطية الدائرية، والهايبو الدائرية
• رسم منحنى هايبسيكلويد — جيوفون
• سنايدر، جون. "كرة ذات منحنى براكيستوكرون نفق" . مشروع عروض وولفرام .عرض توضيحي متكرر يُظهر خاصية البراكيستوكرون للهيبوسيكلويد