الأس

مع ميكنة الحساب، تم تكييف الترميز مع القدرة العددية من خلال اصطلاحات الترميز الأسي. وقدّم المهندس الإسباني ليوناردو توريس كيفيدو المفهوم النظري لتمثيل الفاصلة العائمة في كتابه "مقالات في الأتمتة" عام 1914. ^{[ 19 ] [ 20 ]} وفي وقت لاحق، عام 1938 ، حقق المهندس الألماني كونراد تسوزه أول تطبيق عملي له في حاسوبه Z1. ^{[ 21 ]} في تصميم تسوزه، احتوى أحد المسجلات على تمثيل الأرقام الأولى، بينما احتوى مسجل آخر على تمثيل الأس. وقُدِّم تمثيل الفاصلة العائمة العشري الأكثر مرونة عام 1946 مع حاسوب مختبرات بيل . وفي نهاية المطاف، اعتمد التربويون والمهندسون الترميز العلمي للأعداد، بما يتوافق مع الإشارة الشائعة إلى رتبة المقدار في مقياس النسبة . ^{[ 21 ]}

فعلى سبيل المثال، في عام 1961، طورت مجموعة دراسة الرياضيات المدرسية الترميز فيما يتعلق بالوحدات المستخدمة في النظام المتري . ^{[ 22 ] [ 23 ]}

استُخدمت الأسس أيضًا لوصف وحدات القياس وأبعاد الكميات . على سبيل المثال، بما أن القوة تساوي الكتلة مضروبة في التسارع، فإنها تُقاس بوحدة كجم/م/ث² ^. وباستخدام M للكتلة، وL للطول، وT للزمن، يُستخدم التعبير MLT⁻² في ^{التحليل} البُعدي لوصف القوة. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

يمكن صياغة تعريف الأس كعملية ضرب متكررة باستخدام الاستقراء ، ^{[ 26 ]} ويمكن استخدام هذا التعريف بمجرد وجود عملية ضرب تجميعية :

الحالة الأساسية هي

${\displaystyle b^{1}=b}$

والتكرار هو​

${\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}$

خاصية التجميع في عملية الضرب تعني أنه لأي عددين صحيحين موجبين m و n ،

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},}$

و

${\displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.}$

كما ذكرنا سابقاً، فإن العدد (غير الصفري) المرفوع إلى القوة 0 يساوي 1 : ^{[ 27 ] [ 1 ]}

${\displaystyle b^{0}=1.}$

تُحسب هذه القيمة أيضًا باستخدام اصطلاح الضرب الفارغ ، والذي يمكن استخدامه في أي بنية جبرية تحتوي على عملية ضرب لها عنصر محايد . وبهذه الطريقة تصبح الصيغة

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$

وينطبق أيضاً على${\displaystyle n=0}$.

تُعدّ حالة 0 ⁰ مثيرة للجدل. ففي السياقات التي تُؤخذ فيها قوى الأعداد الصحيحة فقط في الاعتبار، تُسند القيمة 1 عمومًا إلى 0 ^0، ولكن في غير ذلك، قد يعتمد اختيار إسناد قيمة لها ونوع هذه القيمة على السياق.

يتم تعريف عملية الأسس ذات الأسس السالبة من خلال المتطابقة التالية، والتي تنطبق على أي عدد صحيح n وعدد غير صفري b : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$

رفع الصفر إلى أس سالب غير مُعرَّف، ولكن في بعض الظروف، قد يُفسَّر على أنه ما لا نهاية (${\displaystyle \infty }$). ^{[ 28 ]}

هذا التعريف للأس مع الأسس السالبة هو التعريف الوحيد الذي يسمح بتوسيع المتطابقة${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$إلى أسس سالبة (ضع في اعتبارك الحالة)${\displaystyle m=-n}$).

ينطبق التعريف نفسه على العناصر القابلة للعكس في أحادي الضرب ، أي بنية جبرية ، ذات ضرب تجميعي وعنصر محايد ضربي يُرمز له بـ 1 (على سبيل المثال، المصفوفات المربعة ذات بُعد معين). وبالتحديد، في مثل هذه البنية، يُرمز عادةً إلى معكوس العنصر القابل للعكس x بـ${\displaystyle x^{-1}.}$

الهويات التالية ، والتي تسمى غالبًاتنطبق قواعد الأس على جميع الأسس الصحيحة، بشرط أن يكون الأساس غير صفري: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m}\cdot b^{n}&=b^{m+n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\b^{n}\cdot c^{n}&=(b\cdot c)^{n}\end{aligned}}}$

على عكس الجمع والضرب، فإن عملية الأسس ليست عملية تبديلية : على سبيل المثال،${\displaystyle 2^{3}=8}$لكن عكس المعاملات يعطي قيمة مختلفة${\displaystyle 3^{2}=9}$وعلى عكس الجمع والضرب، فإن عملية الأسس ليست تجميعية : على سبيل المثال، (2³ ⁾ ² ⁼ 8² ⁼ 64 ، بينما 2 ^{(3² ) =} 2⁹ ⁼ 512. وبدون أقواس، يكون الترتيب التقليدي للعمليات في الأسس المتسلسلة باستخدام الترميز العلوي من الأعلى إلى الأسفل (أو التجميعية من اليمين )، وليس من الأسفل إلى الأعلى (أو التجميعية من اليسار ). ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]} أي،

${\displaystyle b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},}$

وهو ما يختلف عموماً عن

${\displaystyle \left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.}$

يمكن عادةً حساب قوى المجموع من قوى الحدود المجمعة باستخدام صيغة ذات الحدين

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{ni}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(ni)!}}a^{i}b^{ni}.}$

مع ذلك، لا تصح هذه الصيغة إلا إذا كانت الحدود قابلة للتبديل (أي أن ab = ba )، وهو ما يُفترض ضمنيًا إذا كانت تنتمي إلى بنية تبديلية . وإلا، إذا كانت a و b ، على سبيل المثال، مصفوفتين مربعتين من نفس الحجم، فلا يمكن استخدام هذه الصيغة. ويترتب على ذلك أنه في الجبر الحاسوبي ، يجب تغيير العديد من الخوارزميات التي تتضمن أسسًا صحيحة عندما لا تكون قواعد الأسس قابلة للتبديل. تستخدم بعض أنظمة الجبر الحاسوبي العامة ترميزًا مختلفًا (أحيانًا ^^ بدلًا من ^ ) للأسس ذات القواعد غير التبديلية، والتي تُسمى حينها بالأسس غير التبديلية .

بالنسبة للأعداد الصحيحة غير السالبة n و m ، فإن قيمة n/ ^m هي عدد الدوال التي تربط مجموعة من m عنصرًا بمجموعة من n عنصرًا (انظر الأسس الأصلية ). يمكن تمثيل هذه الدوال على شكل m - tuples من مجموعة من n عنصرًا (أو على شكل كلمات من m حرفًا من أبجدية من n حرفًا). ترد بعض الأمثلة لقيم محددة لـ m و n في الجدول التالي:

نهاية متتالية قوى عدد أكبر من واحد تتباعد؛ بمعنى آخر، تنمو المتتالية بلا حدود:

${\displaystyle b^{n}\rightarrow \infty {\text{ as }}n\rightarrow \infty {\text{ when }}b>1}$

يمكن قراءة هذا على النحو التالي: " b مرفوعًا للأس n يميل إلى +∞ عندما n يميل إلى اللانهاية عندما يكون b أكبر من واحد".

قوى العدد الذي قيمته المطلقة أقل من واحد تميل إلى الصفر:

${\displaystyle b^{n}\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty {\text{ when }}\left|b\right|<1}$

أي قوة للواحد هي دائماً واحد:

${\displaystyle b^{n}=1{\text{ for all }}n{\text{ for }}b=1}$

قوى العدد السالب${\displaystyle b\leq -1}$تتناوب بين القيم الموجبة والسالبة حيث يتناوب n بين الزوجي والفردي، وبالتالي لا تميل إلى أي حد مع نمو n .

إذا كان العدد المرفوع للأس يتغير ويقترب من 1 عندما يقترب الأس من اللانهاية، فإن النهاية ليست بالضرورة واحدة من النهايات المذكورة أعلاه. ومن الحالات المهمة بشكل خاص ما يلي:

${\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}\rightarrow e{\text{ as }}n\rightarrow \infty }$

انظر قسم  الدالة الأسية أدناه.

أما القيود الأخرى، وخاصة تلك المتعلقة بالتعبيرات التي تتخذ شكلاً غير محدد ، فقد تم وصفها في القسم §  حدود الصلاحيات أدناه.

الدوال الحقيقية من الشكل${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$، أين${\displaystyle c\neq 0}$تُسمى أحيانًا دوال القوة. ^{[ 32 ]} عندما${\displaystyle n}$هو عدد صحيح و${\displaystyle n\geq 1}$توجد عائلتان أساسيتان: لـ${\displaystyle n}$بل وحتى لـ${\displaystyle n}$غريب. بشكل عام بالنسبة لـ${\displaystyle c>0}$، متى${\displaystyle n}$بل إنه كذلك${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$ستميل إلى ما لا نهاية موجبة مع ازدياد${\displaystyle x}$وكذلك باتجاه اللانهاية الموجبة مع تناقص${\displaystyle x}$جميع الرسوم البيانية من عائلة دوال القوى الزوجية لها الشكل العام التالي:${\displaystyle y=cx^{2}}$وتصبح أكثر تسطحاً في المنتصف مع${\displaystyle n}$يزداد. ^{[ 33 ]} الدوال ذات هذا النوع من التناظر (${\displaystyle f(-x)=f(x)}$تُسمى هذه الدوال بالدوال الزوجية .

متى${\displaystyle n}$غريب،${\displaystyle f(x)}$ينعكس السلوك التقاربي من إيجابي${\displaystyle x}$إلى سلبي${\displaystyle x}$. ل${\displaystyle c>0}$،${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$كما ستميل القيمة نحو اللانهاية الموجبة مع ازدياد${\displaystyle x}$لكن باتجاه اللانهاية السالبة مع تناقص${\displaystyle x}$جميع الرسوم البيانية من عائلة دوال القوى الفردية لها الشكل العام التالي:${\displaystyle y=cx^{3}}$وتصبح أكثر تسطحاً في المنتصف مع${\displaystyle n}$يزداد ويفقد كل استواء هناك في الخط المستقيم لـ${\displaystyle n=1}$الدوال ذات هذا النوع من التناظر (${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$تُسمى هذه الدوال بالدوال الفردية .

ل${\displaystyle c<0}$^{[ 33 ]}​

بما أن أي عدد غير نسبي يمكن التعبير عنه كنهاية لتسلسل من الأعداد النسبية، فإن رفع عدد حقيقي موجب b إلى أس حقيقي اختياري x يمكن تعريفه عن طريق الاستمرارية مع القاعدة ^{[ 34 ].}

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),}$

حيث تُؤخذ النهاية على القيم النسبية لـ r فقط. هذه النهاية موجودة لكل قيمة موجبة لـ b ولكل قيمة حقيقية لـ x .

على سبيل المثال، إذا كان x = π ، فإن التمثيل العشري غير المنتهي π = 3.14159... ويمكن استخدام رتابة القوى النسبية للحصول على فترات محدودة بقوى نسبية صغيرة قدر الإمكان، ويجب أن تحتوي على${\displaystyle b^{\pi }:}$

${\displaystyle \left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots }$

إذن، تشكل الحدود العليا والحدود الدنيا للفترات متتاليتين لهما نفس النهاية، ويرمز لهما بـ${\displaystyle b^{\pi }.}$

هذا يحدد${\displaystyle b^{x}}$لكل قيمة موجبة b وحقيقية x كدالة متصلة لـ b و x . انظر أيضًا التعبير المحدد جيدًا . ^{[ 35 ]}

يمكن تعريف الدالة الأسية على النحو التالي :${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$أين${\displaystyle e\approx 2.718}$هو عدد أويلر ، ولكن لتجنب الاستدلال الدائري ، لا يمكن استخدام هذا التعريف هنا. بدلاً من ذلك، نقدم تعريفًا مستقلاً للدالة الأسية.${\displaystyle \exp(x),}$و من${\displaystyle e=\exp(1)}$بالاعتماد فقط على قوى الأعداد الصحيحة الموجبة (الضرب المتكرر). ثم نلخص برهان أن هذا يتوافق مع التعريف السابق:${\displaystyle \exp(x)=e^{x}.}$

توجد طرق عديدة متكافئة لتعريف الدالة الأسية ، إحداها هي

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

يمتلك المرء${\displaystyle \exp(0)=1,}$والهوية الأسية (أو قاعدة الضرب)${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$وينطبق الأمر نفسه، لأن

${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}}\right)^{n},}$

والحد من الدرجة الثانية${\displaystyle {\frac {xy}{n^{2}}}}$لا يؤثر ذلك على الحد، مما يؤدي إلى${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$.

يمكن تعريف عدد أويلر على النحو التالي:${\displaystyle e=\exp(1)}$ويترتب على المعادلات السابقة أن${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$عندما يكون x عددًا صحيحًا (وهذا ناتج عن تعريف الأس بالضرب المتكرر). إذا كان x عددًا حقيقيًا،${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$النتائج من التعريفات الواردة في الأقسام السابقة، باستخدام الهوية الأسية إذا كان x عددًا نسبيًا، واستمرارية الدالة الأسية خلاف ذلك.

تتقارب النهاية التي تحدد الدالة الأسية لكل قيمة مركبة لـ x ، وبالتالي يمكن استخدامها لتوسيع تعريف${\displaystyle \exp(z)}$وبالتالي${\displaystyle e^{z},}$من الأعداد الحقيقية إلى أي وسيط مركب z . لا تزال هذه الدالة الأسية الموسعة تحقق متطابقة الأس، وتستخدم بشكل شائع لتعريف الأس للأساس والأس المركبين.

يُتيح تعريف e^ ^x كدالة أسية تعريف b^ ^x لكل عدد حقيقي موجب b ، بدلالة الدالتين الأسية واللوغاريتمية . وبالتحديد، فإن حقيقة أن اللوغاريتم الطبيعي ln( x ) هو معكوس الدالة الأسية e^ ^x تعني أن لدينا

${\displaystyle b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}}$

لكل b > 0. للحفاظ على الهوية${\displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},}$يجب على المرء أن يمتلك

${\displaystyle b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}}$

لذا،${\displaystyle e^{x\ln b}}$يمكن استخدام هذا كتعريف بديل لـ b ^x لأي عدد حقيقي موجب b . ويتفق هذا مع التعريف المذكور أعلاه باستخدام الأسس النسبية والاستمرارية، مع ميزة إمكانية التوسع بسهولة إلى أي أس مركب.

يمكن كتابة كل عدد مركب غير صفري z بالصيغة القطبية على النحو التالي:

${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$

أين${\displaystyle \rho }$هي القيمة المطلقة لـ z ، و${\displaystyle \theta }$هي وسيطها . يتم تعريف الوسيط حتى مضاعف صحيح لـ 2π ؛ وهذا يعني أنه إذا${\displaystyle \theta }$إذا كان هو وسيط عدد مركب، فإن${\displaystyle \theta +2k\pi }$وهو أيضًا وسيط لنفس العدد المركب لكل عدد صحيح${\displaystyle k}$.

يُحصل على الصورة القطبية لحاصل ضرب عددين مركبين بضرب القيم المطلقة وجمع الوسائط. وبناءً على ذلك، يمكن الحصول على الصورة القطبية للجذر النوني لعدد مركب بأخذ الجذر النوني للقيمة المطلقة وقسمة وسيطها على ن .

${\displaystyle \left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}.}$

لو${\displaystyle 2\pi }$يُضاف إلى${\displaystyle \theta }$لا يتغير العدد المركب، ولكن هذا يضيف${\displaystyle 2i\pi /n}$إلى وسيط الجذر النوني ، ويُعطي جذرًا نونيًا جديدًا . يمكن القيام بذلك ن مرة (${\displaystyle k=0,1,...,n-1}$), ويوفر الجذور النونية للعدد المركب:

${\displaystyle \left(\rho e^{i(\theta +2k\pi )}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i(\theta +2k\pi )}{n}}.}$

من المعتاد اختيار أحد الجذور النونية كجذر رئيسي . والخيار الشائع هو اختيار الجذر النوني الذي يحقق الشرط التالي :${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi ,}$أي أن الجذر النوني هو الجذر الذي له أكبر جزء حقيقي، وإذا وُجد جذران، فالجذر ذو الجزء التخيلي الموجب هو الجذر النوني الرئيسي. هذا يجعل الجذر النوني الرئيسي دالة متصلة في كامل المستوى المركب، باستثناء القيم الحقيقية السالبة للعدد تحت الجذر . هذه الدالة تساوي الجذر النوني المعتاد للأعداد الحقيقية الموجبة تحت الجذر. أما بالنسبة للأعداد الحقيقية السالبة تحت الجذر، والأسس الفردية، فإن الجذر النوني الرئيسي ليس حقيقيًا، على الرغم من أن الجذر النوني المعتاد حقيقي . يُبين الاستمرار التحليلي أن الجذر النوني الرئيسي هو الدالة المركبة القابلة للتفاضل الوحيدة التي تُمدد الجذر النوني المعتاد إلى المستوى المركب دون الأعداد الحقيقية غير الموجبة.

إذا تم تحريك العدد المركب حول الصفر عن طريق زيادة وسيطه، فبعد زيادة قدرها${\displaystyle 2\pi ,}$يعود العدد المركب إلى موضعه الأصلي، وتُبدَّل جذوره النونية بشكل دائري (تُضرب في$e^{2i\pi /n}$وهذا يدل على أنه لا يمكن تعريف دالة الجذر النوني التي تكون متصلة في المستوى المركب بأكمله.

جذور الوحدة

الجذور النونية للوحدة هي${\displaystyle n}$الأعداد المركبة بحيث${\displaystyle \omega ^{n}=1}$، حيث​${\displaystyle n}$⁠ هو عدد صحيح موجب. تظهر هذه الأعداد في مجالات مختلفة من الرياضيات، مثل تحويل فورييه المنفصل أو الحلول الجبرية للمعادلات الجبرية ( مُحلِّل لاغرانج ).

الجذور النونية للوحدة هي${\displaystyle n}$القوى الأولى لـ${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/n}}$أي​${\displaystyle 1=\omega ^{0}=\omega ^{n}}$،​​${\displaystyle \omega =\omega ^{1}}$،​​${\displaystyle \omega ^{2}}$...​​${\displaystyle \omega ^{n-1}}$تُسمى الجذور النونية للوحدة التي تتمتع بهذه الخاصية المولدةبالجذور النونية الأولية للوحدة ؛ ولها الشكل التالي :${\displaystyle \omega ^{k}=e^{2k\pi i/n}}$حيث k عدد أولي نسبيًا مع n . الجذر التربيعي الأولي الوحيد للوحدة هو${\displaystyle -1;}$الجذور الرابعة البدائية للوحدة هي${\displaystyle i}$و​${\displaystyle -i}$⁠ .

تسمح الجذور النونية للوحدة بالتعبير عن جميع الجذور النونية لعدد مركب z على أنها حاصل ضرب n من الجذور النونية المعطاة لـ z مع جذر نوني للوحدة .

هندسياً، تقع الجذور النونية للوحدة على دائرة الوحدة في المستوى المركب عند رؤوس مضلع منتظم ذي n ضلعًا مع رأس واحد على العدد الحقيقي 1.

كما هو الرقم${\displaystyle e^{2k\pi i/n}}$إذا كان الجذر النوني الأولي للوحدة ذو أصغر قيمة موجبة ، يُطلق عليه الجذر النوني الأولي الرئيسي للوحدة ، ويُختصر أحيانًا إلى الجذر النوني الرئيسي للوحدة ، على الرغم من أن هذا المصطلح قد يُخلط بينه وبين القيمة الرئيسية لـ${\displaystyle 1^{1/n}}$، وهو 1. ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

يؤدي تعريف الأس باستخدام قواعد مركبة إلى صعوبات مشابهة لتلك الموضحة في القسم السابق، باستثناء أنه يوجد، بشكل عام، عدد لا نهائي من القيم الممكنة لـ$z^{w}$إذن، إما أن يتم تعريف قيمة رئيسية غير متصلة لقيم z الحقيقية وغير الموجبة، أو$z^{w}$تُعرَّف بأنها دالة متعددة القيم .

في جميع الحالات، يُستخدم اللوغاريتم المركب لتعريف الأس المركب على النحو التالي:

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$

أين${\displaystyle \log z}$هو شكل من أشكال اللوغاريتم المركب المستخدم، وهو دالة أو دالة متعددة القيم بحيث

${\displaystyle e^{\log z}=z}$

لكل قيمة z في مجال تعريفها .

المجموعة الضربية هي مجموعة تحتوي على عملية تجميعية ترمز لها بالضرب، ولها عنصر محايد ، بحيث يكون لكل عنصر معكوس.

إذاً، إذا كانت G مجموعة،${\displaystyle x^{n}}$يتم تعريفها لكل${\displaystyle x\in G}$وكل عدد صحيح n .

تشكل مجموعة جميع قوى عنصر من زمرة زمرة جزئية . الزمرة (أو الزمرة الجزئية) التي تتكون من جميع قوى عنصر معين x هي الزمرة الدورية المولدة بواسطة x . إذا كانت جميع قوى x مختلفة، فإن الزمرة تكون متماثلة مع الزمرة الجمعية.${\displaystyle \mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة. وإلا، فإن المجموعة الدورية تكون منتهية (أي أن عدد عناصرها منتهٍ)، ويكون عدد عناصرها هو رتبة x . إذا كانت رتبة x هي n ، فإن${\displaystyle x^{n}=x^{0}=1,}$وتتكون المجموعة الدورية المتولدة بواسطة x من القوى الأولى n لـ x (بدءًا من الأس 0 أو 1 بشكل غير مبال ).

يلعب ترتيب العناصر دورًا أساسيًا في نظرية الزمر . فعلى سبيل المثال، يكون ترتيب أي عنصر في زمرة منتهية دائمًا قاسمًا لعدد عناصر الزمرة (ترتيب الزمرة ). وتُعدّ الترتيبات الممكنة لعناصر الزمرة مهمة في دراسة بنية الزمرة (انظر نظريات سيلو )، وفي تصنيف الزمر البسيطة المنتهية .

يُستخدم الترميز العلوي أيضًا للدلالة على المرافق ؛ أي g ^h = h ⁻¹ gh ، حيث g و h عنصران من زمرة. لا ينبغي الخلط بين هذا الترميز والأسس، لأن الرقم العلوي ليس عددًا صحيحًا. يكمن الدافع وراء هذا الترميز في أن المرافق يخضع لبعض قوانين الأسس، وهي:${\displaystyle (g^{h})^{k}=g^{hk}}$و${\displaystyle (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.}$

في حلقة ، قد يحدث أن بعض العناصر غير الصفرية تحقق${\displaystyle x^{n}=0}$لبعض الأعداد الصحيحة n . يُقال عن هذا العنصر أنه عنصر عديم القوة . في الحلقة التبديلية ، تُشكّل العناصر عديمة القوة مثاليًا يُسمى الجذر الصفري للحلقة.

إذا اختُزل الجذر الصفري إلى المثالي الصفري (أي، إذا${\displaystyle x\neq 0}$يشير إلى${\displaystyle x^{n}\neq 0}$لكل عدد صحيح موجب n ، يُقال إن الحلقة التبديلية مختزلة . الحلقات المختزلة مهمة في الهندسة الجبرية ، لأن حلقة الإحداثيات لمجموعة جبرية أفينية هي دائمًا حلقة مختزلة.

بشكل أعم، إذا كان لدينا مثالي I في حلقة تبديلية R ، فإن مجموعة عناصر R التي لها قوة في I تُسمى مثاليًا، وتُسمى جذر I. الجذر الصفري هو جذر المثالي الصفري . المثالي الجذري هو مثالي يساوي جذره. في حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$على حقل k ، يكون المثالي جذريًا إذا وفقط إذا كان مجموعة جميع كثيرات الحدود التي تساوي صفرًا على مجموعة جبرية أفينية (وهذه نتيجة لنظرية هيلبرت Nullstellensatz ).

إذا كانت A مصفوفة مربعة، فإن حاصل ضرب A في نفسها n مرة يسمى قوة المصفوفة .${\displaystyle A^{0}}$تُعرَّف بأنها مصفوفة الوحدة، ^{[ 42 ]} وإذا كانت A قابلة للعكس، فإن${\displaystyle A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}}$.

تظهر قوى المصفوفات غالبًا في سياق الأنظمة الديناميكية المنفصلة ، ​​حيث تعبر المصفوفة A عن انتقال من متجه الحالة x لنظام ما إلى الحالة التالية Ax للنظام. ^{[ 43 ]} هذا هو التفسير القياسي لسلسلة ماركوف ، على سبيل المثال.${\displaystyle A^{2}x}$هي حالة النظام بعد خطوتين زمنيتين، وهكذا:${\displaystyle A^{n}x}$تمثل حالة النظام بعد n خطوة زمنية. قوة المصفوفة${\displaystyle A^{n}}$هي مصفوفة الانتقال بين الحالة الحالية والحالة عند الزمن n خطوة في المستقبل. لذا، فإن حساب قوى المصفوفة يُكافئ حل تطور النظام الديناميكي. في كثير من الحالات، يمكن حساب قوى المصفوفة بسهولة باستخدام القيم الذاتية والمتجهات الذاتية .

إلى جانب المصفوفات، يمكن أيضاً رفع المؤثرات الخطية الأكثر عمومية إلى أسس. ومن الأمثلة على ذلك مؤثر الاشتقاق في حساب التفاضل والتكامل.${\displaystyle d/dx}$، وهو مؤثر خطي يعمل على الدوال${\displaystyle f(x)}$لإعطاء وظيفة جديدة${\displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)}$القوة النونية لمؤثر التفاضل هي المشتقة النونية :

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).}$

تُعنى هذه الأمثلة بالأسس المنفصلة للمؤثرات الخطية، ولكن في كثير من الحالات، يُفضّل أيضًا تعريف قوى هذه المؤثرات بأسس متصلة. هذه هي نقطة انطلاق النظرية الرياضية لأنصاف الزمر . ^{[ 44 ]} وكما أن حساب قوى المصفوفات ذات الأسس المنفصلة يحل الأنظمة الديناميكية المنفصلة، ​​فإن حساب قوى المصفوفات ذات الأسس المتصلة يحل الأنظمة ذات الديناميكيات المتصلة. تشمل الأمثلة طرق حل معادلة الحرارة ، ومعادلة شرودنغر ، ومعادلة الموجة ، وغيرها من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تتضمن تطورًا زمنيًا. تُسمى الحالة الخاصة لرفع مؤثر المشتقة إلى قوة غير صحيحة بالمشتقة الكسرية، والتي تُعد ، إلى جانب التكامل الكسري ، إحدى العمليات الأساسية في حساب التفاضل والتكامل الكسري .

الحقل هو بنية جبرية تُعرَّف فيها عمليات الضرب والجمع والطرح والقسمة، وتُحقق خصائص أن الضرب تجميعي ، وأن لكل عنصر غير صفري معكوس ضربي . وهذا يعني أن الأسس ذات الأسس الصحيحة مُعرَّفة جيدًا، باستثناء القوى غير الموجبة للصفر . ومن الأمثلة الشائعة حقل الأعداد المركبة ، والأعداد الحقيقية ، والأعداد النسبية ، التي سبق ذكرها في هذه المقالة، وجميعها حقول لانهائية .

الحقل المنتهي هو حقل يحتوي على عدد محدود من العناصر. هذا العدد من العناصر إما عدد أولي أو قوة عدد أولي ؛ أي أنه يأخذ الشكل التالي:${\displaystyle q=p^{k},}$حيث p عدد أولي، و k عدد صحيح موجب. لكل قيمة لـ q ، توجد حقول تحتوي على q عنصرًا. جميع الحقول التي تحتوي على q عنصرًا متماثلة ، مما يسمح، بشكل عام، بالعمل كما لو كان هناك حقل واحد فقط يحتوي على q عنصرًا، يُرمز له بـ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$