خط التقارب

يكون الخط x = a خطًا مقاربًا رأسيًا لمنحنى الدالة y = ƒ ( x ) إذا كانت إحدى العبارات التالية على الأقل صحيحة:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,}$

أين${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}}$هي النهاية عندما تقترب قيمة x من القيمة a من اليسار (من قيم أصغر)، و${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}}$هي النهاية عندما يقترب x من a من اليمين.

على سبيل المثال، إذا كانت ƒ( x ) = x /( x – 1)، فإن البسط يقترب من 1 والمقام يقترب من 0 عندما تقترب x من 1.

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x}{x-1}}=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}{\frac {x}{x-1}}=-\infty }$

والمنحنى له خط تقارب رأسي عند x = 1.

قد تكون الدالة ƒ ( x ) معرفة عند النقطة a أو لا ، وقيمتها الدقيقة عند النقطة x = a لا تؤثر على خط التقارب. على سبيل المثال، بالنسبة للدالة

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\text{إذا كان }}x>0,\\5&{\text{إذا كان }}x\leq 0.\end{cases}}}$

للدالة ƒ ( x ) نهاية تساوي +∞ عندما x → 0 ^، ولها خط تقارب رأسي عند x = 0 ، على الرغم من أن ƒ (0) = 5. يتقاطع منحنى هذه الدالة مع خط التقارب الرأسي مرة واحدة فقط، عند النقطة (0, 5). من المستحيل أن يتقاطع منحنى دالة ما مع خط تقارب رأسي (أو خط رأسي عمومًا ) في أكثر من نقطة واحدة. علاوة على ذلك، إذا كانت الدالة متصلة عند كل نقطة معرفة عليها، فمن المستحيل أن يتقاطع منحنىها مع أي خط تقارب رأسي.  

ومن الأمثلة الشائعة على خط التقارب الرأسي حالة الدالة الكسرية عند النقطة x بحيث يكون المقام صفرًا والبسط غير صفري.

إذا كانت للدالة خط تقارب رأسي، فليس بالضرورة أن يكون لمشتقة الدالة خط تقارب رأسي في نفس المكان. مثال على ذلك:

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}+\sin({\tfrac {1}{x}})\quad }$في${\displaystyle \quad x=0}$.

لهذه الدالة خط تقارب رأسي عند${\displaystyle x=0,}$لأن

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=+\infty ,}$

و

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim _{x\to 0^{-}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=-\infty }$.

مشتق من${\displaystyle f}$هي الوظيفة

${\displaystyle f'(x)={\frac {-(\cos({\tfrac {1}{x}})+1)}{x^{2}}}}$.

بالنسبة لتسلسل النقاط

${\displaystyle x_{n}={\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)\pi }},\quad }$ل${\displaystyle \quad n=0,1,2,\ldots }$

ذلك يقترب${\displaystyle x=0}$من اليسار ومن اليمين، القيم${\displaystyle f'(x_{n})}$هم باستمرار${\displaystyle 0}$لذلك، فإن كلا الحدين أحاديي الجانب لـ${\displaystyle f'}$في${\displaystyle 0}$لا يمكن أن يكون أيًا منهما${\displaystyle +\infty }$ولا${\displaystyle -\infty }$. لذلك${\displaystyle f'(x)}$لا يوجد خط تقارب رأسي عند${\displaystyle x=0}$.

الخطوط التقاربية الأفقية هي خطوط أفقية يقترب منها منحنى الدالة عندما x → ± ∞ . الخط الأفقي y  = c هو خط تقاربي أفقي للدالة y = ƒ ( x ) إذا كان   

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=c}$أو${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=c}$.

في الحالة الأولى، يكون للدالة ƒ ( x ) خط تقارب y  = c عندما يؤول x إلى − ∞ ، وفي الحالة الثانية يكون للدالة ƒ ( x ) خط تقارب y = c عندما يؤول x إلى +∞ .   

على سبيل المثال، تحقق دالة الظل العكسي ما يلي:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}}$و${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}.}$

لذا فإن الخط y = – π /2 هو خط تقارب أفقي لدالة الظل العكسي عندما تقترب x من –∞ ، و y = π /2 هو خط تقارب أفقي لدالة الظل العكسي عندما تقترب x من +∞ .

قد تفتقر الدوال إلى خطوط تقارب أفقية على أحد جانبيها أو كليهما، أو قد يكون لها خط تقارب أفقي واحد متماثل في كلا الاتجاهين. على سبيل المثال، الدالة ƒ( x ) = 1/( x² ⁺ 1) لها خط تقارب أفقي عند y  =  0 عندما تؤول x إلى كل من −∞ و + ∞ ، وذلك على التوالي.

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=0.}$

من بين الدوال الشائعة الأخرى التي لها خط تقارب أفقي واحد أو اثنين، الدالة x ↦ 1/ x (التي لها شكل قطع زائد عند تمثيلها بيانيًا)، ودالة غاوس.${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}),}$دالة الخطأ ، والدالة اللوجستية .

عندما لا يكون الخط المقارب الخطي موازيًا للمحور السيني أو الصادي ، يُسمى خطًا مقاربًا مائلًا . وتكون الدالة ƒ ( x ) مقاربة للخط المستقيم y = mx + n (حيث m ≠ 0) إذا  

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0\,{\mbox{ or }}\lim _{x\to -\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0.}$

في الحالة الأولى يكون الخط y = mx + n خطًا مائلًا مقاربًا لـ ƒ ( x ) عندما يؤول x إلى +∞، وفي الحالة الثانية يكون الخط y = mx + n خطًا مائلًا مقاربًا لـ ƒ ( x ) عندما يؤول x إلى − ∞.

مثال على ذلك هو الدالة ƒ ( x )  = x + 1/ x ، والتي لها خط تقارب مائل y = x (أي m = 1، n = 0) كما هو موضح في النهايات       

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }\left[\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-x\right]}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0.}$

يُعطى الخط المقارب المائل للدالة f ( x ) بالمعادلة y = mx + n . تُحسب قيمة m أولاً وتُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle m\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}f(x)/x}$

حيث يكون a إما${\displaystyle -\infty }$أو${\displaystyle +\infty }$بحسب الحالة المدروسة. من الممارسات الجيدة التعامل مع الحالتين بشكل منفصل. إذا لم تكن هذه النهاية موجودة، فلا يوجد خط تقارب مائل في ذلك الاتجاه.

بمعرفة قيمة m ، يمكن حساب قيمة n باستخدام

${\displaystyle n\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{x\rightarrow a}(f(x)-mx)}$

حيث يجب أن تكون قيمة a هي نفسها المستخدمة سابقًا. إذا لم توجد هذه النهاية، فلن يكون هناك خط تقارب مائل في ذلك الاتجاه، حتى لو كانت النهاية التي تحدد m موجودة. وإلا فإن y = mx + n هو خط التقارب المائل للدالة ƒ ( x ) عندما تقترب x من a .

على سبيل المثال، الدالة ƒ ( x ) = ( 2x² + ^3x + 1)/ x لها

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2}$وثم

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left({\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2x\right)=3}$

بحيث يكون y = 2 x + 3 هو خط التقارب لـ ƒ ( x ) عندما يؤول x إلى +∞.

الدالة ƒ ( x ) = ln x لها

${\displaystyle m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$وثم

${\displaystyle n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x}$، وهو أمر غير موجود.

لذا فإن الدالة y = ln x ليس لها خط تقارب عندما تقترب x من +∞.

للدالة الكسرية خط تقارب أفقي واحد على الأكثر أو خط تقارب مائل (منحرف)، وربما العديد من خطوط التقارب الرأسية.

تحدد درجة البسط ودرجة المقام ما إذا كانت هناك خطوط تقارب أفقية أو مائلة أم لا. تُعرض الحالات في الجدول أدناه، حيث: deg _num هي درجة البسط، و deg den _هي درجة المقام.

حالات الخطوط التقاربية الأفقية والمائلة للدوال الكسرية

درجة عدد - درجة دن	الخطوط المقاربة بشكل عام	مثال	على سبيل المثال، خط التقارب
< 0	${\displaystyle y=0}$	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$	${\displaystyle y=0}$
= 0	ص = نسبة المعاملات الرئيسية	${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}+7}{3x^{2}+x+12}}}$	${\displaystyle y={\frac {2}{3}}}$
= 1	ص = ناتج قسمة البسط على المقام باستخدام طريقة إقليدس	${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{2}+3x+5}{x}}=2x+3+{\frac {5}{x}}}$	${\displaystyle y=2x+3}$
> 1	لا أحد	${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{4}}{3x^{2}+1}}}$	لا يوجد خط تقارب خطي، ولكن يوجد خط تقارب منحني

لا تظهر خطوط التقارب الرأسية إلا عندما يكون المقام صفرًا (إذا كان كل من البسط والمقام صفرًا، تتم مقارنة تكرارات الصفر). على سبيل المثال، الدالة التالية لها خطوط تقارب رأسية عند x = 0 و x = 1، ولكن ليس عند x = 2.

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-5x+6}{x^{3}-3x^{2}+2x}}={\frac {(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}}}$

الخطوط التقاربية المائلة للدوال الكسرية

عندما تكون درجة بسط دالة كسرية أكبر بواحدة بالضبط من درجة مقامها، فإن للدالة خط تقارب مائل. خط التقارب هو الحد متعدد الحدود الناتج عن قسمة البسط على المقام. تحدث هذه الظاهرة لأنه عند قسمة الكسر، يكون هناك حد خطي وباقي. على سبيل المثال، لنأخذ الدالة

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x+1}}=x+{\frac {1}{x+1}}}$

كما هو موضح على اليمين. مع ازدياد قيمة x ، تقترب الدالة f من الخط التقاربي y = x . وذلك لأن الحد الآخر، 1/( x + 1)، يقترب من الصفر.

إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام بأكثر من 1، ولم يقسم المقام البسط، فسيكون هناك باقي غير صفري يؤول إلى الصفر مع زيادة x ، لكن الناتج لن يكون خطيًا، ولن يكون للدالة خط تقارب مائل.

إذا كانت الدالة المعروفة لها خط تقارب (مثل y = 0 لـ f (x) = e ^x )، فإن إزاحاتها لها أيضًا خط تقارب.

• إذا كان x = a خط تقارب رأسي للدالة f ( x )، فإن x = a + h هو خط تقارب رأسي للدالة f ( x - h ).
• إذا كان y = c خطًا تقاربيًا أفقيًا للدالة f ( x )، فإن y = c + k هو خط تقاربي أفقي للدالة f ( x ) + k

إذا كانت دالة معروفة لها خط تقارب، فإن قياس الدالة له أيضًا خط تقارب.

• إذا كانت y = ax + b خط تقارب للدالة f ( x )، فإن y = cax + cb خط تقارب للدالة cf ( x ).

على سبيل المثال، الدالة f ( x )= e ^{x -1} +2 لها خط تقارب أفقي y =0+2=2، وليس لها خطوط تقارب رأسية أو مائلة.

ليكن A  : ( a , b ) → R² منحنىً مستويًا وسيطيًا، إحداثياته ​​A ( t )  =  ( x ⁽ t ), y ( t ))، وليكن B منحنىً آخر (غير وسيطي). لنفترض، كما في السابق، أن المنحنى A يؤول إلى اللانهاية. يُسمى المنحنى B خطًا مقاربًا منحنيًا للمنحنى A إذا كانت أقصر مسافة من النقطة A ( t ) إلى أي نقطة على B تؤول إلى الصفر عندما t → b . يُشار أحيانًا إلى B ببساطة على أنه خط مقارب للمنحنى A ، عندما لا يكون هناك خطر الخلط بينه وبين الخطوط المقاربة الخطية. ^{[ 9 ]}  

على سبيل المثال، الدالة

${\displaystyle y={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}}$

للدالة خط تقارب منحني y = x² ⁺ 2x + 3 ، وهو ما يُعرف بخط التقارب المكافئ لأنه قطع مكافئ وليس خطًا مستقيمًا. ^{[ 10 ]}

تُستخدم الخطوط المقاربة في إجراءات رسم المنحنيات . يعمل الخط المقارب كدليل يُظهر سلوك المنحنى باتجاه اللانهاية. ^{[ 11 ]} وللحصول على تقريبات أفضل للمنحنى، استُخدمت أيضًا الخطوط المقاربة المنحنية ^{[ 12 ]} على الرغم من أن مصطلح المنحنى المقارب يبدو الأكثر شيوعًا. ^{[ 13 ]}

الخطوط المقاربة لمنحنى جبري في المستوى الأفيني هي الخطوط التي تمس المنحنى المسقط عند نقطة في اللانهاية . ^{[ 14 ]} على سبيل المثال، يمكن تحديد الخطوط المقاربة للقطع الزائد الواحدي بهذه الطريقة. غالبًا ما تُدرس الخطوط المقاربة للمنحنيات الحقيقية فقط، ^{[ 15 ]} على الرغم من أنها تُعدّ منطقية أيضًا عند تعريفها بهذه الطريقة للمنحنيات على أي حقل . ^{[ 16 ]}

يتقاطع منحنى مستوٍ من الدرجة n مع خط تقاربه عند n − 2 نقطة على الأكثر، وفقًا لنظرية بيزو ، لأن التقاطع عند اللانهاية يكون ذا تعدد لا يقل عن اثنين. بالنسبة للقطع المخروطي ، يوجد زوج من الخطوط لا يتقاطع مع القطع المخروطي عند أي نقطة عقدية: هذان الخطان هما خطا تقارب القطع المخروطي.

يُعرَّف المنحنى الجبري المستوي بمعادلة على الصورة P ( x , y )  =  0 حيث P متعددة حدود من الدرجة n

${\displaystyle P(x,y)=P_{n}(x,y)+P_{n-1}(x,y)+\cdots +P_{1}(x,y)+P_{0}}$

حيث P _k متجانسة من الدرجة k . يؤدي تلاشي العوامل الخطية للحد ذي الدرجة الأعلى P _n إلى تحديد خطوط التقارب للمنحنى: بوضع Q = P n _، إذا كان P _n ( x , y ) = ( ax − by ) Q _{n − 1} ( x , y ) ، فإن الخط

${\displaystyle Q'_{x}(b,a)x+Q'_{y}(b,a)y+P_{n-1}(b,a)=0}$

يكون خطًا مقاربًا إذا${\displaystyle Q'_{x}(b,a)}$و${\displaystyle Q'_{y}(b,a)}$ليس كلاهما صفرًا. إذا${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=0}$و${\displaystyle P_{n-1}(b,a)\neq 0}$لا يوجد خط تقارب، لكن المنحنى له فرع يشبه فرع القطع المكافئ. يُسمى هذا الفرع بـالفرع المكافئ ، حتى عندما لا يحتوي على أي قطع مكافئ يمثل خطًا مقاربًا منحنيًا. إذا${\displaystyle Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0,}$يحتوي المنحنى على نقطة شاذة عند اللانهاية والتي قد تحتوي على عدة خطوط تقارب أو فروع مكافئة.

في مجموعة الأعداد المركبة ، ينقسم P _{_n} إلى عوامل خطية، يُحدد كل منها خطًا تقاربيًا (أو عدة خطوط تقاربية في حالة وجود عوامل متعددة). أما في مجموعة الأعداد الحقيقية، فينقسم P_{_n} إلى عوامل خطية أو تربيعية. العوامل الخطية فقط هي التي تُقابل الفروع اللانهائية (الحقيقية) للمنحنى، ولكن إذا كان للعامل الخطي تعدد أكبر من واحد، فقد يحتوي المنحنى على عدة خطوط تقاربية أو فروع قطع مكافئ. وقد يحدث أيضًا أن يُقابل عامل خطي متعدد فرعين مترافقين مركبين ، ولا يُقابل أي فرع لانهائي من المنحنى الحقيقي. على سبيل المثال، لا يحتوي المنحنى x ^⁴ + y ^² - 1 = 0 على أي نقاط حقيقية خارج المربع .${\displaystyle |x|\leq 1,|y|\leq 1}$، لكن الحد الأعلى رتبة يعطي العامل الخطي x بتعددية 4، مما يؤدي إلى المقارب الوحيد x = 0.

القطع الزائد

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

يحتوي على خطي تقارب

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x.}$

معادلة اتحاد هذين الخطين هي

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$

وبالمثل، القطع الزائد

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

يقال إن لها مخروطًا تقاربيًا ^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.}$

تقترب المسافة بين القطع الزائد والمخروط من الصفر عندما تقترب المسافة من نقطة الأصل من اللانهاية.

بشكل عام، ضع في اعتبارك سطحًا له معادلة ضمنية ${\displaystyle P_{d}(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z)+\cdots P_{0}=0,}$ حيث${\displaystyle P_{i}}$هي كثيرات حدود متجانسة من الدرجة${\displaystyle i}$و${\displaystyle P_{d-1}=0}$ثم المعادلة${\displaystyle P_{d}(x,y,z)=0}$يُعرّف هذا المخروط بأنه مخروط مركزه نقطة الأصل. ويُسمى مخروطًا تقاربيًا ، لأن المسافة إلى المخروط من نقطة على السطح تقترب من الصفر عندما تقترب تلك النقطة على السطح من اللانهاية.