الهيكل المحدب

ليس من الواضح أن التعريف الأول منطقي: لماذا ينبغي أن توجد مجموعة محدبة دنيا فريدة تحتوي على${\displaystyle X}$لكل${\displaystyle X}$ومع ذلك، فإن التعريف الثاني هو تقاطع جميع المجموعات المحدبة التي تحتوي على${\displaystyle X}$، وهي مجموعة محددة جيدًا. إنها مجموعة جزئية من كل مجموعة محدبة أخرى${\displaystyle Y}$الذي يحتوي${\displaystyle X}$، لأن${\displaystyle Y}$تُدرج هذه المجموعة ضمن المجموعات التي يتم تقاطعها. وبالتالي، فهي بالضبط المجموعة المحدبة الدنيا الوحيدة التي تحتوي على${\displaystyle X}$لذلك، فإن التعريفين الأولين متكافئان. ^{[ 2 ]}

تحتوي كل مجموعة محدبة على${\displaystyle X}$يجب (بافتراض أنها محدبة) أن تحتوي على جميع التوليفات المحدبة للنقاط في${\displaystyle X}$لذا فإن مجموعة جميع التركيبات المحدبة تقع ضمن تقاطع جميع المجموعات المحدبة التي تحتوي على${\displaystyle X}$وعلى العكس من ذلك، فإن مجموعة جميع التركيبات المحدبة هي نفسها مجموعة محدبة تحتوي على${\displaystyle X}$لذا فهي تحتوي أيضًا على تقاطع جميع المجموعات المحدبة التي تحتوي${\displaystyle X}$وبالتالي فإن التعريفين الثاني والثالث متكافئان. ^{[ 7 ]}

في الواقع، وفقًا لنظرية كاراثيودوري ، إذا${\displaystyle X}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle d}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n، كل تركيبة محدبة من عدد محدود من النقاط من${\displaystyle X}$وهو أيضًا مزيج محدب من على الأكثر${\displaystyle d+1}$النقاط في${\displaystyle X}$مجموعة التراكيب المحدبة لـ${\displaystyle (d+1)}$مجموعة النقاط هي مُعقَّد بسيط ؛ في المستوى يكون مثلثًا ، وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد يكون رباعي الأوجه. لذلك، فإن كل تركيبة محدبة من نقاط${\displaystyle X}$ينتمي إلى مُجَسَّم بسيط تنتمي رؤوسه إلى${\displaystyle X}$والتعريفان الثالث والرابع متكافئان. ^{[ 7 ]}

في بُعدين، يُقسّم الغلاف المحدب أحيانًا إلى جزأين: الغلاف العلوي والغلاف السفلي، ويمتدان بين أقصى نقطة يسارية وأقصى نقطة يمينية للغلاف. وبشكلٍ أعم، بالنسبة للأغلفة المحدبة في أي بُعد، يمكن تقسيم حدود الغلاف إلى نقاط متجهة للأعلى (نقاط يكون فيها الشعاع الصاعد منفصلًا عن الغلاف)، ونقاط متجهة للأسفل، ونقاط قصوى. أما بالنسبة للأغلفة ثلاثية الأبعاد، فإن الأجزاء المتجهة للأعلى والأسفل من الحدود تُشكّل أقراصًا طوبولوجية. ^{[ 8 ]}

الغلاف المحدب المغلق لمجموعة ما هو إغلاق الغلاف المحدب، والغلاف المحدب المفتوح هو الجزء الداخلي (أو في بعض المصادر الجزء الداخلي النسبي ) للغلاف المحدب. ^{[ 9 ]}

الغلاف المحدب المغلق لـ${\displaystyle X}$هو تقاطع جميع أنصاف الفضاءات المغلقة التي تحتوي${\displaystyle X}$إذا كان الغلاف المحدب لـ${\displaystyle X}$هي بالفعل مجموعة مغلقة بحد ذاتها (كما يحدث، على سبيل المثال، إذا${\displaystyle X}$إذا كانت مجموعة منتهية ( أو بشكل أعم مجموعة متراصة )، فإنها تساوي الغلاف المحدب المغلق. ومع ذلك، فإن تقاطع أنصاف الفضاءات المغلقة هو نفسه مغلق، لذلك عندما لا يكون الغلاف المحدب مغلقًا، لا يمكن تمثيله بهذه الطريقة. ^{[ 10 ]}

إذا كان الغلاف المحدب المفتوح لمجموعة${\displaystyle X}$يكون${\displaystyle d}$إذا كان عدد النقاط في الغلاف الخارجي يساوي عدد الأبعاد، فإن كل نقطة فيه تنتمي إلى غلاف خارجي محدب مفتوح ذي أبعاد لا تتجاوز${\displaystyle 2d}$نقاط${\displaystyle X}$تُقدّم مجموعات رؤوس المربع، أو ثماني السطوح المنتظم، أو متعدد السطوح المتقاطع ذي الأبعاد الأعلى، أمثلةً حيث يكون ذلك صحيحًا تمامًا${\displaystyle 2d}$النقاط مطلوبة. ^{[ 11 ]}

من الناحية الطوبولوجية، يكون الغلاف المحدب لمجموعة مفتوحة مفتوحًا دائمًا، وفي الفضاءات الإقليدية، يكون الغلاف المحدب لمجموعة متراصة متراصة دائمًا. مع ذلك، توجد مجموعات مغلقة لا يكون غلافها المحدب مغلقًا. ^{[ 12 ]} على سبيل المثال، المجموعة المغلقة

${\displaystyle \left\{(x,y)\mathop {\bigg |} y\geq {\frac {1}{1+x^{2}}}\right\}}$

(مجموعة النقاط التي تقع على أو فوق ساحرة أغنيسي ) لها نصف المستوى العلوي المفتوح كغلاف محدب لها. ^{[ 13 ]}

يمكن تعريف الأغلفة المحدبة بشكل أعم في فضاءات المتجهات الطوبولوجية اللانهائية الأبعاد ، ولكنها قد لا تحافظ على التراص في هذه الفضاءات. بدلاً من ذلك، يتم تعميم تراص الأغلفة المحدبة للمجموعات المتراصة، في الفضاءات الإقليدية المحدودة الأبعاد، بواسطة نظرية كرين-سموليان ، والتي تنص على أن الغلاف المحدب المغلق لمجموعة جزئية متراصة ضعيفًا من فضاء باناخ (مجموعة جزئية متراصة تحت الطوبولوجيا الضعيفة ) يكون متراصًا ضعيفًا. ^{[ 14 ]}

النقطة القصوى لمجموعة محدبة هي نقطة في المجموعة لا تقع على أي قطعة مستقيمة مفتوحة بين أي نقطتين أخريين من نفس المجموعة. بالنسبة للغلاف المحدب، يجب أن تكون كل نقطة قصوى جزءًا من المجموعة المعطاة، وإلا فلا يمكن تشكيلها كمجموعة محدبة من النقاط المعطاة. وفقًا لنظرية كرين-ميلمان ، فإن كل مجموعة محدبة متراصة في فضاء إقليدي (أو بشكل أعم في فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا ) هي الغلاف المحدب لنقاطها القصوى. ^{[ 15 ]} ومع ذلك، قد لا يصح هذا بالنسبة للمجموعات المحدبة غير المتراصة؛ على سبيل المثال، المستوى الإقليدي بأكمله وكرة الوحدة المفتوحة كلاهما محدب، لكن لا توجد لأي منهما نقاط قصوى. توسع نظرية شوكيه هذه النظرية من المجموعات المحدبة المحدودة للنقاط القصوى إلى مجموعات (تكاملات) غير محدودة في فضاءات أكثر عمومية. ^{[ 16 ]}

يتمتع عامل الغلاف المحدب بالخصائص المميزة لعامل الإغلاق : ^{[ 17 ]}

• وهو واسع النطاق ، مما يعني أن الغلاف المحدب لكل مجموعة${\displaystyle X}$هي مجموعة شاملة من${\displaystyle X}$.
• وهي غير متناقصة ، بمعنى أنه لكل مجموعتين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$مع${\displaystyle X\subseteq Y}$، الغلاف المحدب لـ${\displaystyle X}$هي مجموعة فرعية من الغلاف المحدب لـ${\displaystyle Y}$.
• إنها متطابقة ، بمعنى أنه لكل${\displaystyle X}$، الغلاف المحدب للغلاف المحدب لـ${\displaystyle X}$وهو نفسه الغلاف المحدب لـ${\displaystyle X}$.

عند تطبيقها على مجموعة محدودة من النقاط، تُصبح هذه العملية مُعامل الإغلاق لسطح مضاد ، أي السطح المضاد المُغلف لمجموعة النقاط. يُمكن تمثيل كل سطح مضاد بهذه الطريقة بواسطة أغلفة محدبة من النقاط في فضاء إقليدي ذي بُعد كافٍ. ^{[ 18 ]}

تتبادل عمليتا بناء الغلاف المحدب وحساب مجموع مينكوفسكي ، بمعنى أن مجموع مينكوفسكي للأغلفة المحدبة للمجموعات يعطي نفس نتيجة الغلاف المحدب لمجموع مينكوفسكي لنفس المجموعات. وهذا يمثل خطوة نحو نظرية شابلي-فولكمان التي تحدد المسافة بين مجموع مينكوفسكي وغلافه المحدب. ^{[ 19 ]}

تتمثل العملية الثنائية الإسقاطية لإنشاء الغلاف المحدب لمجموعة من النقاط في إنشاء تقاطع عائلة من أنصاف الفضاءات المغلقة التي تحتوي جميعها على نقطة الأصل (أو أي نقطة أخرى محددة). ^{[ 20 ]}

الغلاف المحدب لمجموعة نقاط منتهية${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{d}}$يشكل مضلعًا محدبًا عندما${\displaystyle d=2}$أو بشكل أعم، متعدد السطوح المحدب في${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$تُسمى كل نقطة طرفية في الغلاف رأسًا ، وبحسب نظرية كرين-ميلمان، فإن كل متعدد سطوح محدب هو الغلاف المحدب لرؤوسه. وهو متعدد السطوح المحدب الوحيد الذي تنتمي رؤوسه إلى الغلاف المحدب.${\displaystyle S}$وهذا يشمل كل${\displaystyle S}$[ ^{3 ]} بالنسبة لمجموعات النقاط في الوضع العام ^، يكون الغلاف المحدب متعدد السطوح تبسيطيًا . ^{[ 21 ]}

وفقًا لنظرية الحد الأعلى ، فإن عدد أوجه الغلاف المحدب لـ${\displaystyle n}$النقاط في${\displaystyle d}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n هو${\displaystyle O(n^{\lfloor d/2\rfloor })}$[ ^{22 ]} على وجه الخصوص، في بعدين وثلاثة أبعاد، يكون عدد الأوجه خطيًا على الأكثر ^في${\displaystyle n}$[ ^{23 ]​}

يُحيط الغلاف المحدب لمضلع بسيط بالمضلع نفسه، ويُقسّمه إلى مناطق، إحداها المضلع نفسه. أما المناطق الأخرى، المحصورة بين سلسلة مضلعية من المضلع وحافة واحدة من الغلاف المحدب، فتُسمى جيوبًا . يُؤدي حساب نفس التفكيك بشكل متكرر لكل جيب إلى تكوين وصف هرمي للمضلع المعطى يُسمى شجرة الفروق المحدبة الخاصة به . ^{[ 24 ]} يؤدي عكس الجيب حول حافته المحدبة إلى توسيع المضلع البسيط المعطى إلى مضلع له نفس المحيط ومساحة أكبر، وتنص نظرية إردوش-ناغي على أن عملية التوسيع هذه تنتهي في النهاية. ^{[ 25 ]}

المنحنى الناتج عن الحركة البراونية في المستوى، عند أي لحظة زمنية ثابتة، لديه احتمال 1 أن يكون له غلاف محدب تشكل حدوده منحنى قابلاً للتفاضل باستمرار . ومع ذلك، لأي زاوية${\displaystyle \theta }$في النطاق${\displaystyle \pi /2<\theta <\pi }$ستكون هناك أوقات أثناء الحركة البراونية حيث تلامس الجسيمات المتحركة حدود الغلاف المحدب عند نقطة زاوية${\displaystyle \theta }$إن بُعد هاوسدورف لهذه المجموعة من الأوقات الاستثنائية هو (باحتمالية عالية)${\displaystyle 1-\pi /2\theta }$[ ^{26 ]​}

بالنسبة للغلاف المحدب لمنحنى فضائي أو مجموعة محدودة من المنحنيات الفضائية في وضع عام في الفضاء ثلاثي الأبعاد، فإن أجزاء الحدود البعيدة عن المنحنيات هي أسطح قابلة للتطوير ومُسطّرة . ^{[ 27 ]} تشمل الأمثلة: الشكل البيضاوي ، وهو الغلاف المحدب لدائرتين في مستويين متعامدين، تمر كل منهما بمركز الأخرى، ^{[ 28 ]} والشكل الكروي المخروطي، وهو الغلاف المحدب لنصفي دائرتين في مستويين متعامدين لهما مركز مشترك، والأشكال D، وهي الأشكال المحدبة المُستمدة من نظرية ألكسندروف للتفرد لسطح مُشكّل من خلال لصق مجموعتين مستويتين محدبتين متساويتين في المحيط. ^{[ 29 ]}

الغلاف المحدب أو الغلاف المحدب السفلي للدالة${\displaystyle f}$في فضاء متجهي حقيقي، تكون الدالة التي يكون رسمها البياني هو الغلاف المحدب السفلي للرسم البياني لـ${\displaystyle f}$هي الدالة المحدبة القصوى الوحيدة التي يهيمن عليها${\displaystyle f}$[ ^{30 ]} يمكن توسيع التعريف ليشمل الغلاف المحدب لمجموعة من الدوال (المستمدة من الغلاف المحدب لاتحاد مخططاتها، أو بشكل مكافئ من قيمتها الصغرى عند نقطة معينة ⁾ ، وبهذا الشكل، يكون ثنائياً لعملية المرافق المحدب . ^{[ 31 ]}

Newton polygons of univariate polynomials and Newton polytopes of multivariate polynomials are convex hulls of points derived from the exponents of the terms in the polynomial, and can be used to analyze the asymptotic behavior of the polynomial and the valuations of its roots.^[49] Convex hulls and polynomials also come together in the Gauss–Lucas theorem, according to which the roots of the derivative of a polynomial all lie within the convex hull of the roots of the polynomial.^[50]

In spectral analysis, the numerical range of a normal matrix is the convex hull of its eigenvalues.^[51] The Russo–Dye theorem describes the convex hulls of unitary elements in a C*-algebra.^[52] In discrete geometry, both Radon's theorem and Tverberg's theorem concern the existence of partitions of point sets into subsets with intersecting convex hulls.^[53]

The definitions of a convex set as containing line segments between its points, and of a convex hull as the intersection of all convex supersets, apply to hyperbolic spaces as well as to Euclidean spaces. However, in hyperbolic space, it is also possible to consider the convex hulls of sets of ideal points, points that do not belong to the hyperbolic space itself but lie on the boundary of a model of that space. The boundaries of convex hulls of ideal points of three-dimensional hyperbolic space are analogous to ruled surfaces in Euclidean space, and their metric properties play an important role in the geometrization conjecture in low-dimensional topology.^[54] Hyperbolic convex hulls have also been used as part of the calculation of canonicaltriangulations of hyperbolic manifolds, and applied to determine the equivalence of knots.^[55]

انظر أيضًا إلى القسم الخاص بالحركة البراونية لتطبيق الأغلفة المحدبة على هذا الموضوع، والقسم الخاص بالمنحنيات الفضائية لتطبيقها على نظرية الأسطح القابلة للتطوير .

في الإحصاء القوي ، يُعد الغلاف المحدب أحد المكونات الرئيسية لمخطط الحقيبة ، وهو أسلوب لتصوير انتشار نقاط العينة ثنائية الأبعاد. تشكل خطوط كفاف عمق توكي مجموعة متداخلة من المجموعات المحدبة، حيث يكون الغلاف المحدب هو الأبعد، ويعرض مخطط الحقيبة أيضًا مضلعًا آخر من هذه المجموعة المتداخلة، وهو خط كفاف عمق 50%. ^{[ 56 ]}

في نظرية القرار الإحصائي ، تُعرَّف مجموعة المخاطر لقاعدة قرار عشوائية بأنها الغلاف المحدب لنقاط المخاطر لقواعد القرار الحتمية الأساسية. ^{[ 57 ]}

في التحسين التوافقي والتوافقية متعددة الأوجه ، تُعدّ الأغلفة المحدبة لمتجهات مؤشرات حلول المسائل التوافقية من العناصر الأساسية للدراسة. إذا أمكن تحديد أوجه هذه المجسمات، التي تُوصف بأنها تقاطعات أنصاف فضاءات، فإنه يُمكن استخدام خوارزميات قائمة على البرمجة الخطية لإيجاد الحلول المثلى. ^{[ 58 ]} في التحسين متعدد الأهداف ، يُستخدم نوع مختلف من الأغلفة المحدبة، وهو الغلاف المحدب لمتجهات أوزان الحلول. يُمكن تعظيم أي توليفة شبه محدبة من الأوزان من خلال إيجاد كل رأس من رؤوس الغلاف المحدب وفحصه، وغالبًا ما يكون ذلك أكثر كفاءة من فحص جميع الحلول الممكنة. ^{[ 59 ]}

في نموذج آرو-ديبرو للتوازن الاقتصادي العام ، يُفترض أن يكون لدى الأفراد مجموعات ميزانيات محدبة وتفضيلات محدبة . يمكن استخدام هذه الافتراضات المتعلقة بالتحدب في الاقتصاد لإثبات وجود توازن. عندما تكون البيانات الاقتصادية الفعلية غير محدبة ، يمكن جعلها محدبة بأخذ الأغلفة المحدبة. يمكن استخدام نظرية شابلي-فولكمان لإظهار أن هذا التقريب دقيق بالنسبة للأسواق الكبيرة، ويؤدي إلى "شبه توازن" للسوق الأصلي غير المحدب. ^{[ 60 ]}

في النمذجة الهندسية ، تتمثل إحدى الخصائص الرئيسية لمنحنى بيزير في وقوعه داخل الغلاف المحدب لنقاط التحكم الخاصة به. ويمكن استخدام ما يُسمى بـ"خاصية الغلاف المحدب"، على سبيل المثال، في الكشف السريع عن تقاطعات هذه المنحنيات. ^{[ 61 ]}

في هندسة تصميم القوارب والسفن، يُعد محيط السلسلة مقياسًا لحجم السفينة الشراعية، ويُحدد باستخدام الجزء المحدب من مقطع عرضي لهيكل السفينة . ويختلف عن محيط الغلاف الخارجي ، وهو محيط المقطع العرضي نفسه، باستثناء القوارب والسفن ذات الهيكل المحدب. ^{[ 62 ]}

يُعرف الغلاف المحدب في علم السلوك الحيواني، وهو دراسة سلوك الحيوانات، باسم المضلع المحدب الأدنى، حيث يُعدّ أسلوبًا كلاسيكيًا، وإن كان مبسطًا، لتقدير النطاق المكاني للحيوان بناءً على النقاط التي رُصد فيها. ^{[ 63 ]} قد تؤدي القيم الشاذة إلى جعل المضلع المحدب الأدنى كبيرًا جدًا، مما دفع إلى ابتكار أساليب مُخففة لا تتضمن سوى مجموعة فرعية من الملاحظات، على سبيل المثال عن طريق اختيار إحدى الطبقات المحدبة القريبة من نسبة مُستهدفة من العينات، ^{[ 64 ]} أو في طريقة الغلاف المحدب المحلي عن طريق دمج الأغلفة المحدبة لمناطق الجوار. ^{[ 65 ]}

في الفيزياء الكمومية ، تُعرف فضاءات حالات أي نظام كمومي - أي مجموعة جميع الطرق التي يمكن بها تحضير النظام - بأنها غلاف محدب، حيث تمثل نقاطه القصوى مؤثرات شبه موجبة تُعرف بالحالات النقية، بينما تُسمى نقاطه الداخلية بالحالات المختلطة. ^{[ 66 ]} تُثبت نظرية شرودنغر -هاميلتون-جونز-ويليامز أن أي حالة مختلطة يمكن كتابتها في الواقع كمزيج محدب من الحالات النقية بطرق متعددة. ^{[ 67 ]}

تم تحديد الغلاف المحدب في الديناميكا الحرارية بواسطة جوزيا ويلارد جيبس ​​(1873)، ^{[ 69 ]} على الرغم من أن البحث نُشر قبل تسمية الغلاف المحدب بهذا الاسم. في مجموعة طاقات لعدة نسب ستويكيومترية لمادة ما، تكون القياسات على الغلاف المحدب السفلي فقط هي المستقرة. عند إزالة نقطة من الغلاف ثم حساب المسافة بينها وبين الغلاف الجديد، فإن هذه المسافة تمثل درجة استقرار الطور. ^{[ 70 ]}