التحسين متعدد الأهداف

في علم الاقتصاد ، تنطوي العديد من المشكلات على أهداف متعددة، إلى جانب قيود على توليفات هذه الأهداف الممكنة. على سبيل المثال، يتحدد طلب المستهلك على السلع المختلفة من خلال عملية تعظيم المنافع المستمدة من تلك السلع، مع مراعاة قيد يعتمد على مقدار الدخل المتاح للإنفاق على تلك السلع وأسعارها. يسمح هذا القيد بشراء المزيد من سلعة ما فقط على حساب استهلاك كمية أقل من سلعة أخرى؛ وبالتالي، تتعارض الأهداف المختلفة (حيث يُفضل استهلاك المزيد من كل سلعة). من الطرق الشائعة لتحليل مثل هذه المشكلة استخدام رسم بياني لمنحنيات السواء ، التي تمثل التفضيلات، وقيد الميزانية ، الذي يمثل المفاضلات التي يواجهها المستهلك.

مثال آخر يتعلق بحدود إمكانيات الإنتاج ، التي تحدد توليفات السلع المختلفة التي يمكن لمجتمع ما إنتاجها بكميات محددة من الموارد المتنوعة. وتحدد هذه الحدود المفاضلات التي يواجهها المجتمع؛ فإذا كان المجتمع يستغل موارده استغلالاً كاملاً، فلا يمكن إنتاج المزيد من سلعة ما إلا على حساب إنتاج كمية أقل من سلعة أخرى. وعليه، يجب على المجتمع اتباع آلية ما للاختيار بين الإمكانيات المتاحة على هذه الحدود.

تتطلب عملية صنع السياسات الاقتصادية الكلية تحقيق التوازن بين أهداف متعددة. عادةً ما يتعين على البنك المركزي اختيار موقف للسياسة النقدية يوازن بين الأهداف المتنافسة، مثل خفض التضخم ، وخفض البطالة ، وخفض عجز الميزان التجاري ، وغيرها. ولتحقيق ذلك، يستخدم البنك المركزي نموذجًا للاقتصاد يصف كميًا مختلف الروابط السببية فيه؛ حيث يُحاكي النموذج بشكل متكرر في ظل مواقف مختلفة محتملة للسياسة النقدية، وذلك للحصول على قائمة بالنتائج المتوقعة المحتملة لمختلف المتغيرات ذات الأهمية. من حيث المبدأ، يمكنه استخدام دالة هدف إجمالية لتقييم مجموعات النتائج المتوقعة البديلة، إلا أن البنوك المركزية في الواقع العملي تستخدم عملية غير كمية، قائمة على التقدير، لترتيب البدائل واتخاذ القرار بشأن السياسة.

في مجال التمويل ، تتمثل إحدى المشكلات الشائعة في اختيار محفظة استثمارية عند وجود هدفين متعارضين: الرغبة في تحقيق أعلى قيمة متوقعة لعوائد المحفظة، والرغبة في تقليل المخاطر ، والتي تُقاس عادةً بالانحراف المعياري لعوائد المحفظة، إلى أدنى حد ممكن. يُعبَّر عن هذه المشكلة عادةً برسم بياني، حيث يُظهر الحد الأمثل أفضل توليفات المخاطر والعوائد المتوقعة المتاحة، بينما تُظهر منحنيات السواء تفضيلات المستثمر لمختلف توليفات المخاطر والعوائد المتوقعة. تُسمى مشكلة تحسين دالة القيمة المتوقعة ( العزم الأول ) والانحراف المعياري ( الجذر التربيعي للعزم المركزي الثاني ) لعوائد المحفظة بنموذج القرار ذي العزمين .

في الهندسة والاقتصاد ، تنطوي العديد من المشكلات على أهداف متعددة لا يمكن وصفها بمقولة "كلما زاد كان أفضل" أو "كلما قل كان أفضل"؛ بل يوجد هدف مثالي لكل هدف، والرغبة هي الاقتراب قدر الإمكان من القيمة المرجوة لكل هدف. على سبيل المثال، عادةً ما يكون هناك توازن بين الأداء والتكلفة في أنظمة الطاقة ^{[ 5 ] [ 6 ]} ، أو قد يرغب المرء في تعديل استهلاك الوقود وتوجيه صاروخ بحيث يصل إلى مكان ووقت محددين؛ أو قد يرغب في إجراء عمليات سوق مفتوحة بحيث يكون كل من معدل التضخم ومعدل البطالة أقرب ما يمكن إلى قيمهما المرغوبة.

غالبًا ما تخضع هذه المشكلات لقيود المساواة الخطية التي تمنع تحقيق جميع الأهداف بشكل كامل في آن واحد، لا سيما عندما يكون عدد المتغيرات القابلة للتحكم أقل من عدد الأهداف، وعندما يُولّد وجود الصدمات العشوائية حالة من عدم اليقين. ويُستخدم عادةً دالة هدف تربيعية متعددة الأهداف ، حيث تزداد التكلفة المرتبطة بكل هدف تربيعيًا مع بُعد الهدف عن قيمته المثالية. وبما أن هذه المشكلات تتضمن عادةً تعديل المتغيرات المتحكم بها في نقاط زمنية مختلفة و/أو تقييم الأهداف في نقاط زمنية مختلفة، تُستخدم تقنيات التحسين بين الفترات الزمنية . ^{[ 7 ]}

يمكن تحسين تصميم المنتجات والعمليات بشكل كبير باستخدام تقنيات النمذجة والمحاكاة والتحسين الحديثة. السؤال الأساسي في التصميم الأمثل هو قياس ما هو جيد أو مرغوب فيه في التصميم. قبل البحث عن التصاميم المثلى، من المهم تحديد الخصائص التي تُسهم بشكل أكبر في القيمة الإجمالية للتصميم. يتضمن التصميم الجيد عادةً معايير/أهدافًا متعددة مثل تكلفة رأس المال/الاستثمار، وتكلفة التشغيل، والربح، والجودة و/أو استعادة المنتج، والكفاءة، وسلامة العملية ، ووقت التشغيل، وما إلى ذلك. لذلك، في التطبيقات العملية، غالبًا ما يُقاس أداء تصميم العمليات والمنتجات وفقًا لأهداف متعددة. عادةً ما تكون هذه الأهداف متضاربة، أي أن تحقيق القيمة المثلى لهدف واحد يتطلب بعض التنازلات في هدف أو أكثر.

على سبيل المثال، عند تصميم مصنع للورق، يمكن السعي إلى تقليل رأس المال المستثمر فيه وتحسين جودة الورق في آنٍ واحد. إذا كان تصميم المصنع يعتمد على سعة تخزين كبيرة، وجودة الورق تعتمد على معايير محددة، فإن مشكلة التصميم الأمثل للمصنع قد تشمل أهدافًا مثل: (1) تقليل التباين المتوقع لهذه المعايير عن قيمها الاسمية، (2) تقليل وقت التوقف المتوقع، (3) تقليل تكلفة الاستثمار في سعة التخزين. في هذه الحالة، يُعدّ الحد الأقصى لحجم أبراج التخزين متغيرًا تصميميًا. يُعدّ هذا المثال للتصميم الأمثل لمصنع ورق تبسيطًا للنموذج المستخدم في المرجع ^{[ 8 ]} . كما طُبّق تحسين التصميم متعدد الأهداف في الأنظمة الهندسية في حالات مثل تحسين تخطيط لوحة التحكم ^{[ 9 ]} ، وتحسين شكل الجنيح باستخدام مناهج علمية [ ¹⁰ ]، وتصميم تقنية CMOS النانوية ^{[ 11 ]} ، وتصميم النظام على شريحة ، وتصميم أنظمة الري التي تعمل بالطاقة الشمسية [12]، ^{وتحسين أنظمة قوالب} الرمل ^{[ 13 ] [ 14 ]} ، وتصميم المحركات ^{[ 15 ] [ 16 ] ،} والنشر الأمثل لأجهزة الاستشعار ^{[ 17 ] ،} والتصميم الأمثل لوحدات التحكم ^{[ 18 ] [ 19 ] .}

يُستخدم التحسين متعدد الأهداف بشكل متزايد في الهندسة الكيميائية والتصنيع . في عام 2009، استخدم فيانداكا وفراغا الخوارزمية الجينية متعددة الأهداف (MOGA) لتحسين عملية امتزاز تأرجح الضغط (عملية الفصل الدوري). تضمنت مشكلة التصميم تحقيق أقصى قدر من استخلاص النيتروجين ونقائه. وقد اقتربت النتائج من حدود باريتو بشكل جيد مع وجود توازنات مقبولة بين الأهداف. ^{[ 20 ]}

في عام ٢٠١٠، حلّ سيندين وزملاؤه مشكلة متعددة الأهداف تتعلق بالمعالجة الحرارية للأغذية. تناولوا دراستي حالة (مشكلة ثنائية الأهداف وأخرى ثلاثية الأهداف) باستخدام نماذج ديناميكية غير خطية. استخدموا منهجًا هجينًا يتألف من طريقة تشيبيشيف الموزونة وطريقة تقاطع الحدود الطبيعية. وقد مكّن هذا المنهج الهجين المبتكر من بناء مجموعة باريتو المثلى للمعالجة الحرارية للأغذية. ^{[ ٢١ ]}

في عام 2013، أجرى غانيسان وزملاؤه دراسةً لتحسين عملية إعادة تشكيل ثاني أكسيد الكربون والأكسدة الجزئية للميثان باستخدام خوارزمية متعددة الأهداف. تمثلت دوال الهدف في تحويل الميثان، وانتقائية أول أكسيد الكربون، ونسبة الهيدروجين إلى أول أكسيد الكربون. استخدم غانيسان طريقة تقاطع الحدود العادية (NBI) بالتزامن مع تقنيتين تعتمدان على أسراب الجسيمات (خوارزمية البحث الجاذبي (GSA) وخوارزمية تحسين سرب الجسيمات (PSO)) لمعالجة المشكلة. ^{[ 22 ]} وقد طرحت تطبيقاتٌ أخرى، تشمل عمليات الاستخلاص الكيميائي ^{[ 23 ]} وإنتاج الإيثانول الحيوي ^{[ 24 ]،} مشاكلَ مماثلةً متعددة الأهداف.

في عام ٢٠١٣، اقترح أباكاروف وآخرون تقنية بديلة لحل مسائل التحسين متعددة الأهداف في هندسة الأغذية . ^{[ ٢٥ ]} استُخدمت طريقة دوال التجميع، وخوارزمية البحث العشوائي التكيفي، وطريقة دوال الجزاء لحساب المجموعة الأولية للحلول غير المهيمنة أو الحلول المثلى وفقًا لمبدأ باريتو. كما استُخدمت عملية التحليل الهرمي والطريقة الجدولية معًا لاختيار أفضل بديل من بين المجموعة الفرعية المحسوبة من الحلول غير المهيمنة لعمليات التجفيف التناضحي. ^{[ ٢٦ ]}

في عام ٢٠١٨، صاغ بيرس وزملاؤه مسألة توزيع المهام على العمال البشريين والروبوتات كمسألة تحسين متعددة الأهداف، مع الأخذ في الاعتبار وقت الإنتاج والتأثير المريح على العامل البشري كهدفين رئيسيين. استخدم نهجهم برنامجًا خطيًا مختلطًا للأعداد الصحيحة لحل مسألة التحسين، وذلك لإيجاد مجموع مرجح للهدفين، ومن ثم حساب مجموعة من الحلول المثلى وفقًا لمبدأ باريتو . أظهر تطبيق هذا النهج على العديد من مهام التصنيع تحسينات في هدف واحد على الأقل في معظم المهام، وفي كلا الهدفين في بعض العمليات. ^{[ ٢٧ ]}

يهدف نظام إدارة موارد الراديو إلى تلبية معدلات نقل البيانات المطلوبة من قبل مستخدمي شبكة الهاتف المحمول. ^{[ 28 ]} وتتمثل الموارد الرئيسية في الفترات الزمنية، وحزم التردد، وقدرات الإرسال. لكل مستخدم دالة هدف خاصة به، والتي قد تمثل، على سبيل المثال، مزيجًا من معدل نقل البيانات، وزمن الاستجابة، وكفاءة الطاقة. تتعارض هذه الأهداف نظرًا لندرة موارد التردد، مما يستدعي إعادة استخدام التردد المكاني بكفاءة ، الأمر الذي يُسبب تداخلًا كبيرًا بين المستخدمين في حال عدم التحكم به بشكل صحيح. تُستخدم تقنيات MIMO متعددة المستخدمين حاليًا للحد من هذا التداخل من خلال التشفير المُسبق التكيفي . يسعى مُشغل الشبكة إلى تحقيق تغطية واسعة ومعدلات نقل بيانات عالية، ولذلك يسعى إلى إيجاد حل أمثل وفقًا لمبدأ باريتو، يُوازن بين إجمالي إنتاجية بيانات الشبكة وعدالة الاستخدام بطريقة مُلائمة.

غالبًا ما تُحل إدارة موارد الراديو عن طريق التوحيد القياسي؛ أي اختيار دالة منفعة الشبكة التي تسعى إلى تحقيق التوازن بين الإنتاجية وعدالة المستخدمين. ويؤثر اختيار دالة المنفعة تأثيرًا كبيرًا على التعقيد الحسابي لمسألة التحسين أحادية الهدف الناتجة. ^{[ 28 ]} على سبيل المثال، تُنتج دالة المنفعة الشائعة لمعدل المجموع المرجح مسألةً صعبة الحل (NP-hard) ذات تعقيد يتناسب أُسّيًا مع عدد المستخدمين، بينما تُنتج دالة منفعة العدالة القصوى الدنيا المرجحة مسألة تحسين شبه محدبة ذات تعقيد يتناسب فقط مع عدد المستخدمين بمعامل كثير الحدود. ^{[ 29 ]}

تُعدّ إعادة تشكيل نظام توزيع الطاقة، من خلال تبادل الروابط الوظيفية بين عناصره، أحد أهم الإجراءات لتحسين أدائه التشغيلي. وتُعرّف مشكلة التحسين من خلال إعادة تشكيل نظام توزيع الطاقة، تاريخيًا، بأنها مشكلة هدف واحد ذات قيود. فمنذ عام 1975، حين طرح ميرلين وباك ^{[ 30 ]} فكرة إعادة تشكيل نظام التوزيع لتقليل فقد الطاقة الفعّالة، وحتى يومنا هذا، اقترح العديد من الباحثين طرقًا وخوارزميات متنوعة لحل مشكلة إعادة التشكيل كمشكلة هدف واحد. وقد اقترح بعض الباحثين مناهج قائمة على مبدأ باريتو الأمثل (بما في ذلك فقد الطاقة الفعّالة ومؤشرات الموثوقية كأهداف). ولتحقيق هذا الغرض، استُخدمت طرق مختلفة تعتمد على الذكاء الاصطناعي، منها: الخوارزمية الجينية الدقيقة ^{[ 31 ]} ، وتبادل الفروع ^{[ 32 ]} ، وتحسين سرب الجسيمات ^{[ 33 ]} ، وخوارزمية الفرز الجيني غير المهيمنة ^{[ 34 ] .}

يُمكن للتفتيش الذاتي للبنية التحتية أن يُقلل التكاليف والمخاطر والآثار البيئية، فضلاً عن ضمان صيانة دورية أفضل للأصول التي يتم فحصها. عادةً ما يُنظر إلى تخطيط مثل هذه المهام على أنه مسألة تحسين أحادية الهدف، حيث يهدف المرء إلى تقليل الطاقة أو الوقت المُستغرق في فحص الهيكل المستهدف بالكامل. ^{[ 35 ]} ومع ذلك، بالنسبة للهياكل المعقدة في العالم الحقيقي، فإن تغطية 100% من هدف الفحص ليس أمرًا ممكنًا، وقد يكون من الأفضل النظر إلى وضع خطة فحص على أنه مسألة تحسين متعددة الأهداف، حيث يهدف المرء إلى زيادة تغطية الفحص إلى أقصى حد وتقليل الوقت والتكاليف. وقد أشارت دراسة حديثة إلى أن تخطيط الفحص متعدد الأهداف لديه بالفعل القدرة على التفوق على الطرق التقليدية في الهياكل المعقدة. ^{[ 36 ]}

تعتمد طريقة دالة المنفعة على افتراض توفر دالة منفعة صانع القرار . ويتم رسم خريطة لها.${\displaystyle u\colon Y\rightarrow \mathbb {R} }$دالة منفعة إذا كان لكل${\displaystyle \mathbf {y} ^{1},\mathbf {y} ^{2}\in Y}$وهذا يعني أن${\displaystyle u(\mathbf {y} ^{1})>u(\mathbf {y} ^{2})}$إذا كان صانع القرار يفضل${\displaystyle \mathbf {y} ^{1}}$ل${\displaystyle \mathbf {y} ^{2}}$، و${\displaystyle u(\mathbf {y} ^{1})=u(\mathbf {y} ^{2})}$إذا كان صانع القرار غير مبالٍ بين${\displaystyle \mathbf {y} ^{1}}$و${\displaystyle \mathbf {y} ^{2}}$تحدد دالة المنفعة ترتيب متجهات القرار (تذكر أن المتجهات يمكن ترتيبها بطرق مختلفة).${\displaystyle u}$إذا تم الحصول على النتيجة، يكفي حلها

${\displaystyle \max \;u(\mathbf {f} (\mathbf {x} )){\text{ بشرط }}\mathbf {x} \in X,}$

لكن من الناحية العملية، من الصعب للغاية إنشاء دالة منفعة تمثل بدقة تفضيلات صانع القرار، ^{[ 2 ]} خاصة وأن جبهة باريتو غير معروفة قبل بدء عملية التحسين.

تفترض الطريقة المعجمية إمكانية ترتيب الأهداف حسب أهميتها. نفترض أن دوال الهدف مرتبة حسب الأهمية بحيث${\displaystyle f_{1}}$هو الأهم و${\displaystyle f_{k}}$الأقل أهمية بالنسبة لصانع القرار. وبناءً على هذا الافتراض، يمكن استخدام طرق متنوعة للوصول إلى الحل الأمثل معجميًا. تجدر الإشارة إلى أنه لا يتم تحديد هدف أو قيمة مستهدفة لأي من الأهداف هنا، مما يميزها عن طريقة برمجة الأهداف المعجمية .

يُعدّ تحويل مسألة التحسين متعددة الأهداف إلى مسألة قياسية طريقةً مسبقة، أي صياغة مسألة تحسين أحادية الهدف بحيث تكون الحلول المثلى لهذه المسألة هي حلول باريتو المثلى لمسألة التحسين متعددة الأهداف. ^{[ 3 ]} إضافةً إلى ذلك، يُشترط غالبًا إمكانية الوصول إلى كل حل باريتو أمثل باستخدام بعض معايير التحويل القياسي. ^{[ 3 ]} وباستخدام معايير مختلفة للتحويل القياسي، نحصل على حلول باريتو مثلى مختلفة. الصيغة العامة لتحويل مسألة التحسين متعددة الأهداف إلى مسألة قياسية هي:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\min &g(f_{1}(x),\ldots ,f_{k}(x),\theta )\\{\text{st}}&x\in X_{\theta }\end{array}}}$

أين${\displaystyle \theta }$هو مُعامل متجه، المجموعة${\displaystyle X_{\theta }\subseteq X}$هي مجموعة تعتمد على المعامل${\displaystyle \theta }$، و${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{k+1}\rightarrow \mathbb {R} }$هي دالة.

ومن الأمثلة المعروفة جداً ما يلي:

• التحويل الخطي القياسي

${\displaystyle \min _{x\in X}\sum _{i=1}^{k}w_{i}f_{i}(x)}$

حيث أوزان الأهداف${\displaystyle w_{i}>0}$هي معلمات التحويل إلى قيمة عددية.

• ${\displaystyle \epsilon }$طريقة القيد (انظر، على سبيل المثال ^{[ 2 ]} )

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\min &f_{j}(x)\\{\text{st}}&x\in X\\&f_{i}(x)\leq \epsilon _{i}{\text{ for }}i\in \{1,\ldots ,k\}\setminus \{j\}\end{array}}}$

حيث الحدود العليا${\displaystyle \epsilon _{j}}$المعايير كما هو موضح أعلاه و${\displaystyle f_{j}}$الهدف هو تقليله إلى أدنى حد.

ومن الأمثلة الأكثر تقدماً ما يلي:

• مشاكل قياس الإنجاز لـ Wierzbicki ^{[ 41 ]}

يمكن صياغة أحد الأمثلة على مشاكل قياس الإنجاز على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\min &\max _{i=1,\ldots ,k}\left[{\frac {f_{i}(x)-{\bar {z}}_{i}}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\right]+\rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\\{\text{s.t. }}&x\in S\end{aligned}}}$

حيث المصطلح${\displaystyle \rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}}$يُطلق عليه اسم مصطلح التوسيع،${\displaystyle \rho >0}$ثابت صغير، و${\displaystyle z^{nadir}}$و${\displaystyle z^{utop}}$يمثلان متجهي النظير والمثالي على التوالي. في المسألة المذكورة أعلاه، تُعرف المعلمة باسم نقطة المرجع .${\displaystyle {\bar {z}}}$تمثل قيم دالة الهدف التي يفضلها صانع القرار.

• برمجة سين متعددة الأهداف ^{[ 42 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\max &{\frac {\sum _{j=1}^{r}Z_{j}}{W_{j}}}-{\frac {\sum _{j=r+1}^{s}Z_{j}}{W_{r+1}}}\\{\text{s.t. }}&AX=b\\&X\geq 0\end{array}}}$

أين${\displaystyle W_{j}}$يمثل القيم المثلى الفردية (المطلقة) لأهداف التعظيم${\displaystyle r}$والتقليل${\displaystyle r+1}$ل${\displaystyle s}$.

• الحجم الفائق / تسلسل تشيبيشيف ^{[ 43 ]}

${\displaystyle \min _{x\in X}\max _{i}{\frac {f_{i}(x)}{w_{i}}}}$

حيث أوزان الأهداف${\displaystyle w_{i}>0}$تمثل هذه المعاملات معلمات التحويل القياسي. إذا تم توزيع المعاملات/الأوزان بشكل منتظم في الربع الموجب، فإنه يتبين أن هذا التحويل القياسي يتقارب بشكل مؤكد إلى جبهة باريتو ، ^{[ 43 ]} حتى عندما تكون الجبهة غير محدبة.

تُستبدل عملية التحويل القياسي السلس لتشيبشيف ^{[ 44 ]} ، والتي تُسمى أيضًا التحويل القياسي السلس لتشيبشيف (STCH)، مُعامل الحد الأقصى غير القابل للتفاضل في التحويل القياسي الكلاسيكي لتشيبشيف بمُعامل الحد الأقصى الناعم اللوغاريتمي السلس، مما يجعل التحسين القياسي القائم على التدرج قابلاً للتطبيق. وعلى عكس طرق التحويل القياسي التقليدية، فإنها تضمن استكشاف جبهة باريتو بأكملها، سواء كانت محدبة أو مقعرة.

تعريف

لمسألة تصغير ذات دوال هدف${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$والمتجه الهدف المثالي${\displaystyle z^{\mathrm {ideal} }\in \mathbb {R} ^{k}}$، دالة تشيبيشيف القياسية السلسة هي

${\displaystyle g_{u}^{\mathrm {STCH} }\!{\bigl (}x\mid {\boldsymbol {\lambda }}{\bigr )}=u\,\ln \!{\Bigl (}\sum _{i=1}^{k}\exp \!{\bigl (}{\tfrac {\lambda _{i}\,[\,f_{i}(x)-z_{i}^{\mathrm {ideal} }\,]}{u}}{\bigr )}{\Bigr )},\qquad u>0,\;{\boldsymbol {\lambda }}\in \Delta _{k-1},}$

أين${\displaystyle u}$هو معامل التنعيم و${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}$هو متجه وزن على مُركب الاحتمالية${\displaystyle \Delta _{k-1}}$.

مثل${\displaystyle u\to 0^{+}}$يتقارب هذا مع شكل تشيبيشيف الكلاسيكي (غير الأملس).

${\displaystyle g^{\mathrm {TCH} }\!{\bigl (}x\mid {\boldsymbol {\lambda }}{\bigr )}=\max _{i}\lambda _{i}\,[\,f_{i}(x)-z_{i}^{\mathrm {ideal} }\,].}$

المعلمة${\displaystyle u}$يتحكم في المفاضلة بين قابلية التفاضل ودقة التقريب: القيم الأصغر تعطي تطابقًا أقرب مع عملية القياس الكلاسيكية لتشيبشيف ولكنها تقلل من ثابت ليبشيتز للتدرج، بينما القيم الأكبر تعطي سطحًا أكثر سلاسة على حساب تقريب أقل دقة.

ملكيات

• السلاسة والتعقيد —${\displaystyle g_{u}^{\mathrm {STCH} }}$قابلة للتفاضل باستمرار مع${\displaystyle L}$تدرج ليبشيتز. عندما يكون كل${\displaystyle f_{i}}$الدالة محدبة، و${\displaystyle \varepsilon }$يمكن الوصول إلى النقطة المثلى في${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/\varepsilon )}$تكرارات من الدرجة الأولى؛ هبوط التدرج الفرعي على${\displaystyle g^{\mathrm {TCH} }}$الاحتياجات${\displaystyle {\mathcal {O}}(1/\varepsilon ^{2})}$^{[ 44 ]}​
• أمثلية باريتو — لأي${\displaystyle u>0}$كل من يقلل من شأن${\displaystyle g_{u}^{\mathrm {STCH} }(\cdot \mid {\boldsymbol {\lambda }})}$هو حل باريتو الأمثل بشكل ضعيف؛ إذا كان كل${\displaystyle \lambda _{i}>0}$(أو إذا كان الحل الأمثل فريدًا) فهو الحل الأمثل وفقًا لمبدأ باريتو. ^{[ 44 ]}
• الشمولية - هناك حد أدنى${\displaystyle u^{*}>0}$بحيث يكون، من أجل${\displaystyle 0<u<u^{*}}$، يمكن الحصول على كل نقطة باريتو المثلى كقيمة صغرى لـ${\displaystyle g_{u}^{\mathrm {STCH} }}$بالنسبة لبعض متجهات الوزن${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$عندما تكون جبهة باريتو محدبة، ينطبق هذا على جميع الحالات.${\displaystyle u>0}$[ ^{44 ]​}

على سبيل المثال، غالبًا ما يتم إجراء تحسين المحفظة الاستثمارية من خلال تحليل متوسط ​​التباين . في هذا السياق، تُعتبر المجموعة الكفؤة مجموعة فرعية من المحافظ الاستثمارية التي يتم تحديد معاييرها بواسطة متوسط ​​عائد المحفظة.${\displaystyle \mu _{P}}$في مشكلة اختيار أسهم المحفظة لتقليل تباين عائد المحفظة${\displaystyle \sigma _{P}}$رهناً بقيمة معينة من${\displaystyle \mu _{P}}$انظر نظرية فصل صناديق الاستثمار المشتركة لمزيد من التفاصيل. بدلاً من ذلك، يمكن تحديد المجموعة الفعالة عن طريق اختيار أسهم المحفظة لتعظيم الدالة.${\displaystyle \mu _{P}-b\sigma _{P}}$تتكون مجموعة المحافظ الاستثمارية الفعالة من الحلول التالية:${\displaystyle b}$يتراوح من الصفر إلى اللانهاية.

تتضمن بعض عمليات التحويل العددي المذكورة أعلاه تطبيق مبدأ المينيماكس ، حيث يتم دائمًا تحسين أسوأ الأهداف المختلفة. ^{[ 45 ]}

من الأمثلة المعروفة على طرق الاستدلال اللاحق القائمة على البرمجة الرياضية: تقاطع الحدود الطبيعية (NBI) ^{[ 46 ]} ، وتقاطع الحدود الطبيعية المعدل (NBIm) ^{[ 47 ]} ، والقيد الطبيعي (NC) ^{[ 48 ] [ 49 ]} ، والتحسين المتتالي لباريتو (SPO) ^{[ 50 ]} ، ومجال البحث الموجه (DSD) ^{[ 51 ]} ، والتي تحل مشكلة التحسين متعدد الأهداف من خلال بناء عدة تحويلات قياسية. ينتج عن حل كل تحويل قياسي حل باريتو أمثل، سواء محليًا أو عالميًا. تُبنى التحويلات القياسية لطرق NBI وNBIm وNC وDSD للحصول على نقاط باريتو موزعة بالتساوي تُعطي تقريبًا جيدًا لمجموعة نقاط باريتو الحقيقية.

تُعدّ الخوارزميات التطورية من الأساليب الشائعة لتوليد حلول باريتو المثلى لمسائل التحسين متعددة الأهداف. وتعتمد معظم خوارزميات التحسين التطوري متعددة الأهداف (EMO) على مخططات تصنيف باريتو. وقد أصبحت خوارزميات تطورية مثل خوارزمية الفرز الجيني غير المهيمنة-II (NSGA-II) ^{[ 52 ]} ، ونسختها الموسعة NSGA-III ^{[ 53 ] [ 54 ]} ، وخوارزمية قوة باريتو التطورية 2 (SPEA-2) ^{[ 55 ]} ، ومتغيرات التطور التفاضلي متعددة الأهداف ، أساليب قياسية، على الرغم من أهمية بعض المخططات القائمة على تحسين سرب الجسيمات والتقسية المحاكاة ^{[ 56 ]} . وتتمثل الميزة الرئيسية للخوارزميات التطورية، عند تطبيقها لحل مسائل التحسين متعددة الأهداف، في أنها تُولّد عادةً مجموعات من الحلول، مما يسمح بحساب تقريب لجبهة باريتو بأكملها. إن العيب الرئيسي للخوارزميات التطورية هو بطء سرعتها وعدم إمكانية ضمان أمثلية باريتو للحلول؛ فمن المعروف فقط أنه لا يوجد حل واحد مهيمن على حل آخر.

تم مؤخرًا تطوير نموذج آخر لتحسين الأهداف المتعددة يعتمد على الابتكار باستخدام الخوارزميات التطورية. ^{[ 57 ]} يبحث هذا النموذج عن حلول جديدة في فضاء الأهداف (أي البحث عن الابتكار ^{[ 58 ]} في فضاء الأهداف) بالإضافة إلى البحث عن حلول غير مهيمنة. يُشبه البحث عن الابتكار أحجارًا صغيرة تُوجه البحث إلى أماكن لم تُستكشف من قبل. وهو مفيد بشكل خاص في التغلب على التحيز والركود، وكذلك في توجيه البحث في مسائل تحسين الأهداف المتعددة.

تُعدّ أساليب التعلّم العميق الشرطية مناهج جديدة لتوليد العديد من الحلول المثلى وفقًا لمبدأ باريتو. وتتلخص الفكرة في استخدام قدرة الشبكات العصبية العميقة على التعميم لتعلم نموذج لجبهة باريتو بأكملها انطلاقًا من عدد محدود من أمثلة المفاضلات على طول تلك الجبهة، وهي مهمة تُعرف باسم " تعلم جبهة باريتو" . ^{[ 59 ]} تتناول عدة مناهج هذا الإطار، بما في ذلك استخدام الشبكات الفائقة ^{[ 59 ]} واستخدام خوارزمية التدرج التبايني لستين. ^{[ 60 ]}

فيما يلي قائمة بالأساليب اللاحقة المعروفة:

• التطور الموجه بالتقريب (أول خوارزمية لتنفيذ وتحسين المفهوم الرسمي للتقريب من علوم الحاسوب النظرية بشكل مباشر) ^{[ 61 ]}
• خوارزمية بنسون للبرامج الخطية متعددة الأهداف وللبرامج المحدبة متعددة الأهداف
• مجال البحث الموجه (DSD) ^{[ 62 ]}
• طريقة القيد ε ^{[ 63 ] [ 64 ]}
• IOSO (التحسين غير المباشر على أساس التنظيم الذاتي)
• MOEA/D (خوارزمية تطورية متعددة الأهداف تعتمد على التفكيك) ^{[ 65 ]}

• تقاطع الحدود الطبيعية المعدل (NBIm) ^{[ 47 ]}
• التفرع والتقييد متعدد الأهداف ^{[ 66 ] [ 67 ] [ 68 ]}
• تحسين سرب الجسيمات متعدد الأهداف
• تقاطع الحدود العادية (NBI) ^{[ 46 ]}
• القيد الطبيعي (NC) ^{[ 48 ] [ 49 ]}
• يستخدم NSGA-II (خوارزمية الفرز الجيني غير المهيمنة II) الفرز غير المهيمن ومسافة الازدحام للاختيار والحفاظ على التنوع ^{[ 52 ].}
• يستخدم NSGA-III (خوارزمية الفرز الجيني غير المهيمنة III) نقاط مرجعية وهو مصمم لتحسين الأهداف المتعددة ^{[ 69 ].}
• شبكات باريتو الفائقة ^{[ 59 ]}
• PGEN (توليد سطح باريتو للحالات المحدبة متعددة الأهداف) ^{[ 70 ]}
• تحسين البحث التفاعلي (باستخدام التعلم الآلي لتكييف الاستراتيجيات والأهداف)، ^{[ 71 ] [ 72 ]} مُنفَّذ في LIONsolver
• SMS-EMOA (خوارزمية اختيار متعددة الأهداف تطورية تعتمد على مقياس S). تستخدم هذه الخوارزمية الاختيار بناءً على مؤشر الحجم الفائق (مقياس S) لتقريب جبهة باريتو. ^{[ 73 ]}
• SPEA2 (خوارزمية التطور القوي باريتو 2)، وهي خوارزمية تطورية قائمة على السكان تستخدم إحصاءات هيمنة باريتو للتقارب وتقدير الكثافة للحفاظ على التنوع ^{[ 74 ].}
• خوارزمية المجموعات الفرعية القائمة على الجدة ^{[ 57 ]}
• تحسين باريتو المتتالي (SPO) ^{[ 50 ]}

توجد طرق تفاعلية مختلفة تتضمن أنواعًا مختلفة من معلومات التفضيلات. ويمكن تحديد ثلاثة أنواع بناءً على

1. معلومات المفاضلة،
2. نقاط مرجعية، و
3. تصنيف الدوال الهدفية. ^{[ 75 ]}

من جهة أخرى، يتضمن النوع الرابع من توليد عينة صغيرة من الحلول ما يلي: ^{[ 76 ] [ 77 ].} ومن الأمثلة على الأساليب التفاعلية التي تستخدم معلومات المفاضلة طريقة زيونتس-والينيوس ^{[ 78 ]} ، حيث يُعرض على صانع القرار عدة مفاضلات بين الأهداف في كل تكرار، ويُتوقع منه تحديد ما إذا كان يُفضل أو لا يُفضل أو لا يُبالي بكل مفاضلة. في الأساليب القائمة على نقطة مرجعية (انظر على سبيل المثال ^{[ 79 ] [ 80 ]} )، يُتوقع من صانع القرار في كل تكرار تحديد نقطة مرجعية تتكون من القيم المرغوبة لكل هدف، ثم يتم حساب حل باريتو الأمثل المقابل وعرضه عليه للتحليل. في الأساليب التفاعلية القائمة على التصنيف، يُفترض أن يُعطي صانع القرار تفضيلاته في شكل تصنيف الأهداف في حل باريتو الأمثل الحالي إلى فئات مختلفة، موضحًا كيفية تغيير قيم الأهداف للحصول على حل أفضل. بعد ذلك، تُؤخذ معلومات التصنيف في الاعتبار عند حساب الحلول المثلى الجديدة (الأكثر تفضيلًا) وفقًا لمبدأ باريتو. في طريقة المقايضة المُرضية (STOM) ^{[ 81 ]} ، تُستخدم ثلاث فئات: أهدافٌ يجب تحسين قيمها، وأخرى يمكن تخفيفها، وثالثة مقبولة كما هي. أما في طريقة NIMBUS ^{[ 82 ] [ 83 ]} ، فتُستخدم فئتان إضافيتان: أهدافٌ يجب تحسين قيمها حتى حدٍّ مُحدد، وثالثة يمكن تخفيفها حتى حدٍّ مُحدد.

في حالة المسائل ذات الهدفين، يتم عادةً إطلاع صانع القرار على جبهة باريتو من خلال تمثيلها بصريًا: جبهة باريتو، التي تُسمى غالبًا منحنى المفاضلة في هذه الحالة، يمكن رسمها على مستوى الهدف. يوفر منحنى المفاضلة معلومات كاملة عن قيم الأهداف والمفاضلات بينها، مما يوضح كيفية ارتباط تحسين أحد الأهداف بتدهور الهدف الآخر أثناء التحرك على طول منحنى المفاضلة. يأخذ صانع القرار هذه المعلومات في الاعتبار عند تحديد نقطة الهدف الأمثل لباريتو. طُرحت فكرة تقريب جبهة باريتو وتمثيلها بصريًا لمسائل القرار الخطية ذات الهدفين من قِبل س. غاس وت. ساعاتي. ^{[ 88 ]} طُوّرت هذه الفكرة وطُبّقت في المسائل البيئية من قِبل ج. ل. كوهون. ^{[ 89 ] يُقدّم المرجع [ 90 ]} مراجعة لطرق تقريب جبهة باريتو لمختلف مسائل القرار ذات عدد قليل من الأهداف (هدفان في الغالب).

توجد فكرتان عامتان لتصوير جبهة باريتو في مسائل اتخاذ القرار متعددة الأهداف ذات الرتبة العالية (المسائل التي تتضمن أكثر من هدفين). تعتمد إحداهما، والتي تُطبّق في حالة وجود عدد قليل نسبيًا من نقاط الأهداف التي تُمثّل جبهة باريتو، على استخدام تقنيات التصوير المُطوّرة في الإحصاء (مخططات متنوعة، إلخ؛ انظر القسم الفرعي ذي الصلة أدناه). أما الفكرة الثانية، فتقترح عرض مقاطع عرضية ثنائية الأهداف (شرائح) لجبهة باريتو. وقد قدّمها دبليو إس مايزل عام 1973 ^{[ 91 ]} ، حيث جادل بأن هذه الشرائح تُطلع صانع القرار على المفاضلات بين الأهداف. تُعرف الأشكال التي تعرض سلسلة من شرائح جبهة باريتو ثنائية الأهداف لمسائل ثلاثية الأهداف باسم خرائط القرار. وهي تُعطي صورة واضحة للمفاضلات بين المعايير الثلاثة. وتتمثل عيوب هذا النهج في الحقيقتين التاليتين. أولًا، تتسم الإجراءات الحسابية لبناء شرائح الهدفين لجبهة باريتو بعدم الاستقرار، نظرًا لأن جبهة باريتو عادةً ما تكون غير مستقرة. ثانيًا، لا يمكن تطبيقها إلا في حالة وجود ثلاثة أهداف فقط. في ثمانينيات القرن الماضي، طُبقت فكرة WS Meisel بشكل مختلف، وذلك في صورة تقنية خرائط القرار التفاعلية (IDM). ^{[ 92 ]} ومؤخرًا، اقترح N. Wesner ^{[ 93 ]} استخدام مزيج من مخطط فين ومخططات التشتت المتعددة لمساحة الهدف لاستكشاف جبهة باريتو واختيار الحلول المثلى.