دالة مقعرة لوغاريتميًا

الموسوعة الحرة

في التحليل المحدب ، تكون الدالة غير السالبة f  : R n → R + مقعرة لوغاريتميًا (أو مقعرة لوغاريتميًا اختصارًا) إذا كان مجالها مجموعة محدبة ، وإذا حققت المتباينة التالية:

و(θx+(1-θ)y)≥و(x)θو(y)1-θ{\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\geq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}

لكل x و y ∈ dom f و 0  < θ < 1.    إذا كانت f موجبة تمامًا، فهذا يكافئ القول بأن لوغاريتم الدالة، log ∘ f ، مقعر ؛ أي

سجل⁡و(θx+(1-θ)y)≥θسجل⁡و(x)+(1-θ)سجل⁡و(y){\displaystyle \log f(\theta x+(1-\theta )y)\geq \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)}

لكل x و y ∈ dom f و 0  < θ < 1    .

ومن أمثلة الدوال اللوغاريتمية المقعرة دوال المؤشر 0-1 للمجموعات المحدبة (والتي تتطلب تعريفًا أكثر مرونة)، ودالة غاوس .

وبالمثل، تكون الدالة محدبة لوغاريتميًا إذا حققت المتباينة العكسية

و(θx+(1-θ)y)≤و(x)θو(y)1-θ{\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\leq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}

لكل x و y ∈ dom f و 0  < θ < 1    .

بالنسبة للدوال المنفصلة غير السالبة f  : Z → R + ، تكون مقعرة لوغاريتميًا [ 1 ] إذا

و(ك)2≥و(ك+1)و(ك-1){\displaystyle f(k)^{2}\geq f(k+1)f(k-1)}

ملكيات

  • الدالة اللوغاريتمية المقعرة هي أيضاً شبه مقعرة . وينتج هذا عن كون اللوغاريتم رتيباً، مما يعني أن مجموعات المستوى الأعلى لهذه الدالة محدبة. [ 2 ]
  • كل دالة مقعرة غير سالبة على مجالها هي دالة مقعرة لوغاريتميًا. مع ذلك، ليس العكس صحيحًا بالضرورة. مثال على ذلك دالة غاوس f ( x )  = exp( -x² / 2 ) ، وهي دالة مقعرة لوغاريتميًا لأن log f ( x ) = -x² /2 دالة مقعرة لـ x . لكن f ليست مقعرة لأن مشتقتها الثانية موجبة عندما | x | > 1.     
و"(x)=هـ-x22(x2-1)≰0{\displaystyle f''(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}(x^{2}-1)\nleq 0}
  • من النقطتين أعلاه، التقعر⇒{\displaystyle \Rightarrow }التقعر اللوغاريتمي⇒{\displaystyle \Rightarrow }شبه تجويف .
  • تكون الدالة غير السالبة القابلة للتفاضل مرتين ذات المجال المحدب دالة لوغاريتمية مقعرة إذا وفقط إذا كان لكل x الذي يحقق f ( x )  >  0 ،
و(x)∇2و(x)⪯∇و(x)∇و(x)تي{\displaystyle f(x)\nabla ^{2}f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^{T}}, [ 2 ]
أي
و(x)∇2و(x)-∇و(x)∇و(x)تي{\displaystyle f(x)\nabla ^{2}f(x)-\nabla f(x)\nabla f(x)^{T}}يكون
شبه محددة سالبة . بالنسبة للدوال ذات متغير واحد، يتبسط هذا الشرط إلى
و(x)و"(x)≤(و′(x))2{\displaystyle f(x)f''(x)\leq (f'(x))^{2}}

العمليات التي تحافظ على التقعر اللوغاريتمي

  • النواتج: ناتج ضرب الدوال اللوغاريتمية المقعرة هو أيضًا دالة لوغاريتمية مقعرة. في الواقع، إذا كانت f و g دالتين لوغاريتميتين مقعرتين، فإن log f  و log g  مقعرتان بحكم التعريف. لذلك
سجلو(x)+سجلز(x)=سجل⁡(و(x)ز(x)){\displaystyle \log \,f(x)+\log \,g(x)=\log(f(x)g(x))}
الدالة f مقعرة، وبالتالي فإن f g  مقعرة لوغاريتميًا أيضًا.
  • الهوامش : إذا كانت الدالة f ( x , y )  : R n + m → R مقعرة لوغاريتميًا، فإن   
ز(x)=∫و(x،y)دy{\displaystyle g(x)=\int f(x,y)dy}
هي دالة مقعرة لوغاريتميًا (انظر متباينة بريكوبا-ليندلر ).
  • هذا يعني أن عملية الالتفاف تحافظ على التقعر اللوغاريتمي، لأن الدالة h ( x , y )  = f ( x - y ) g ( y ) تكون مقعرة لوغاريتميًا إذا كانت f و g مقعرتين لوغاريتميًا، وبالتالي  
(و*ز)(x)=∫و(x-y)ز(y)دy=∫ح(x،y)دy{\displaystyle (f*g)(x)=\int f(xy)g(y)dy=\int h(x,y)dy}
هي دالة مقعرة لوغاريتميًا.

التوزيعات المقعرة لوغاريتميًا

تُعدّ التوزيعات المقعرة لوغاريتميًا ضروريةً لعددٍ من الخوارزميات، مثل أخذ العينات بالرفض التكيفي . كل توزيع ذي كثافة لوغاريتمية مقعرة هو توزيع احتمالي ذو إنتروبيا قصوى بمتوسط ​​مُحدد μ ومقياس مخاطرة انحراف D. [ 3 ] في الواقع، العديد من التوزيعات الاحتمالية الشائعة هي توزيعات مقعرة لوغاريتميًا. بعض الأمثلة : [ 4 ]

لاحظ أن جميع قيود المعلمات لها نفس المصدر الأساسي: يجب أن يكون أس الكمية غير السالبة غير سالب حتى تكون الدالة مقعرة لوغاريتميًا.

التوزيعات التالية غير مقعرة لوغاريتميًا لجميع المعاملات:

لاحظ أن دالة التوزيع التراكمي (CDF) لجميع التوزيعات اللوغاريتمية المقعرة هي أيضًا لوغاريتمية مقعرة. ومع ذلك، فإن بعض التوزيعات غير اللوغاريتمية المقعرة لها أيضًا دوال توزيع تراكمي لوغاريتمية مقعرة.

فيما يلي بعض خصائص التوزيعات اللوغاريتمية المقعرة:

ددxسجل⁡(1-F(x))=-و(x)1-F(x){\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}}وهي متناقصة لأنها مشتقة دالة مقعرة.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ جونسون، أو.، 2007. التقعر اللوغاريتمي وخاصية الإنتروبيا القصوى لتوزيع بواسون. العمليات العشوائية وتطبيقاتها، 117(6)، ص 791-802.
  2. 1 2 بويد، ستيفن ؛ فاندنبيرغ، ليفين (2004). "الدوال اللوغاريتمية المقعرة والدوال اللوغاريتمية المحدبة" . التحسين المحدب . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 104-108 . ISBN  0-521-83378-7.
  3. ↑ غريتشوك، بوغدان؛ موليبوها، أنطون؛ زابارانكين، مايكل (مايو 2009). "مبدأ أقصى إنتروبيا مع مقاييس الانحراف العامة" (ملف PDF) . رياضيات بحوث العمليات . 34 (2): 445-467 . doi : 10.1287/moor.1090.0377 .
  4. ١ ٢ انظر باغنولي، مارك؛ بيرغستروم، تيد (٢٠٠٥). "الاحتمالية اللوغاريتمية المقعرة وتطبيقاتها" (ملف PDF) . النظرية الاقتصادية . ٢٦ (٢): ٤٤٥-٤٦٩ . doi : 10.1007/s00199-004-0514-4 . S2CID ١٠٤٦٦٨٨ . 
  5. 1 2 بريكوبا، أندراس (1971). "المقاييس المقعرة اللوغاريتمية مع تطبيق على البرمجة العشوائية" (ملف PDF) . مجلة العلوم الرياضية . 32 ( 3-4 ): 301-316 .

مراجع

  • بارندورف-نيلسن، أولي (1978). المعلومات والعائلات الأسية في النظرية الإحصائية . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء الرياضي. تشيتشستر: جون وايلي وأولاده المحدودة. 238 صفحة  + 9 صفحات تمهيدية. ISBN 0-471-99545-2MR 0489333​​ 
  • دارماذيكاري، سودهاكار؛ جواغ-ديف، كومار (1988). أحادية النمط، والتحدب، والتطبيقات . الاحتمالات والإحصاء الرياضي. بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس، ص.  278+14. ISBN 0-12-214690-5MR 0954608 .​ 
  • بفانزاجل، يوهان؛ بمساعدة ر. هامبوكر (1994). النظرية الإحصائية البارامترية . والتر دي جرويتر. رقم ISBN 3-11-013863-8MR 1291393​​ 
  • بيتشاريتش، يوسيب إي.؛ بروشان، فرانك ؛ تونغ، واي إل (1992). الدوال المحدبة، والترتيبات الجزئية، والتطبيقات الإحصائية . الرياضيات في العلوم والهندسة. المجلد  187. بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس، إنك. الصفحات:  467 صفحة + 14 صفحة تمهيدية. ISBN 0-12-549250-2MR 1162312 .​