اللانهائي المطلق

📅 آخر تحديث: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

اللانهاية المطلقة هي امتداد لفكرة اللانهاية التي طرحها عالم الرياضيات جورج كانتور . ربط كانتور اللانهاية المطلقة بالله . [ 1 ] [ 2 ] : 175 [ 3 ] : 556 ويربط البعض اللانهاية المطلقة بخصائص رياضية متنوعة ، بما في ذلك مبدأ الانعكاس : فكل خاصية يمكن نسبتها إلى اللانهاية المطلقة موجودة في شيء أصغر منها. [ 4 ]

وجهة نظر كانتور

قال كانتور:

تم تمييز اللانهائي الحقيقي بثلاث علاقات: أولاً، كما يتجلى في الكمال الأسمى ، في الوجود المستقل تمامًا، خارج نطاق العالم، في الله، حيث أسميه اللانهائي المطلق أو ببساطة المطلق؛ ثانيًا، بقدر ما يُمثَّل في العالم المخلوق التابع؛ ثالثًا، كما يمكن تصوره بشكل مجرد في الفكر ككمية رياضية أو عدد أو نوع من أنواع الترتيب. في العلاقتين الأخيرتين، حيث يكشف بوضوح عن نفسه على أنه محدود وقادر على مزيد من التكاثر، وبالتالي مألوف للمحدود، أسميه ما وراء اللانهائي وأقارنه بشدة بالمطلق. [ 5 ]

باستخدام التعبير اللاتيني " in Deo" (في الله)، يُعرّف كانتور اللانهاية المطلقة بالله (GA 175–176، 376، 378، 386، 399). ووفقًا لكانتور، فإن اللانهاية المطلقة تتجاوز الفهم الرياضي ، ويجب تفسيرها من منظور اللاهوت السلبي . [ 6 ]

وقد ذكر كانتور الفكرة أيضًا في رسائله إلى ريتشارد ديديكيند (النص بين قوسين مربعين غير موجود في الأصل): [ 8 ]

تُسمى التعددية [ويبدو أنه يقصد ما نسميه الآن مجموعة ] مرتبة ترتيبًا جيدًا إذا حققت شرط أن يكون لكل تعددية فرعية عنصر أول ؛ وأُطلق على هذه التعددية اختصارًا اسم "متتالية". ... الآن، أتصور نظام جميع الأعداد [الترتيبية] وأرمز له بـ Ω . ... النظام Ω بترتيبه الطبيعي وفقًا للقيمة المطلقة هو "متتالية". لنضف الآن 0 كعنصر إضافي إلى هذه المتتالية، ونضعه، كما هو واضح، في الموضع الأول؛ فنحصل حينها على متتالية Ω ′ : 0، 1، 2، 3، ... ω₀ ، ω₀ + 1، ...، γ، ... والتي يمكن للمرء أن يتأكد بسهولة من أن كل عدد γ يظهر فيها هو من نوع [أي من نوع الترتيب] متتالية جميع عناصرها السابقة (بما في ذلك 0). (تتمتع المتتالية Ω بهذه الخاصية أولًا لـ ω₀ + 1. [ يجب أن تكون ω₀ + 1 هي ω₀ .]) الآن، لا يمكن أن تكون Ω ′ (وبالتالي Ω أيضًا ) متعددة متسقة. لأنه لو كانت Ω ′ متسقة، لكانت، كمجموعة مرتبة جيدًا، مجموعةً يقابلها عدد δ أكبر من جميع أعداد النظام Ω ؛ إلا أن العدد δ ينتمي أيضًا إلى النظام Ω ، لأنه يشمل جميع الأعداد. وبالتالي، سيكون δ أكبر من δ ، وهو تناقض. لذلك:

إن النظام Ω لجميع الأعداد [الترتيبية] هو تعددية غير متسقة ولا نهائية مطلقة.

مفارقة بورالي-فورتي

تبدو فكرة استحالة وجود مجموعة الأعداد الترتيبية منطقيًا متناقضة للكثيرين. ويرتبط هذا بمفارقة بورالي-فورتي التي تنص على استحالة وجود عدد ترتيبي أعظم . ويمكن إرجاع جميع هذه المشكلات إلى فكرة أنه لكل خاصية يمكن تعريفها منطقيًا، توجد مجموعة من جميع الأشياء التي تمتلك تلك الخاصية. ومع ذلك، وكما في حجة كانتور (أعلاه)، فإن هذه الفكرة تُفضي إلى صعوبات.

وبشكل أعم، وكما أشار إليه إيه دبليو مور ، لا يمكن أن تنتهي عملية تكوين المجموعات ، وبالتالي لا وجود لما يُسمى بمجموع كل المجموعات ، أو التسلسل الهرمي للمجموعات . فأي مجموع من هذا القبيل سيكون في حد ذاته مجموعة، وبالتالي يقع في مكان ما ضمن التسلسل الهرمي ، ومن ثم لا يحتوي على كل مجموعة.

يُعدّ حلٌّ نموذجيٌّ لهذه المشكلة موجودًا في نظرية زيرميلو للمجموعات ، والتي لا تسمح بتكوين مجموعاتٍ غير مقيدةٍ من خصائص عشوائية. بل يُمكننا تكوين مجموعة جميع العناصر التي تمتلك خاصيةً مُعينةً وتقع ضمن مجموعةٍ مُعينة (بديهية زيرميلو للفصل ). وهذا يسمح بتكوين مجموعاتٍ بناءً على الخصائص، بمعنىً محدود، مع الحفاظ (على الأرجح) على اتساق النظرية.

مع أن هذا يحل المشكلة المنطقية، إلا أنه يمكن القول بأن المشكلة الفلسفية لا تزال قائمة. يبدو من الطبيعي أن توجد مجموعة من الأفراد، طالما أن هؤلاء الأفراد موجودون. بل يمكن القول إن نظرية المجموعات البسيطة مبنية على هذا المفهوم. ورغم أن حل زيرميلو يسمح للفئة بوصف كيانات عشوائية (ربما "كبيرة")، فإن هذه المسندات في اللغة الوصفية قد لا يكون لها وجود رسمي (أي كمجموعة) ضمن النظرية. على سبيل المثال، ستكون فئة جميع المجموعات فئة حقيقية . هذا الأمر غير مُرضٍ فلسفيًا للبعض، وقد حفّز أعمالًا إضافية في نظرية المجموعات وغيرها من طرق صياغة أسس الرياضيات، مثل كتاب "الأسس الجديدة" لويلارد فان أورمان كواين .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ §3.2، إغناسيو جانيه (مايو 1995). "دور المطلق اللامتناهي في مفهوم كانتور للمجموعة". إركنتنيس . 42 (3): 375-402 . doi : 10.1007/BF01129011 . JSTOR 20012628. S2CID 122487235. اعتبر كانتور (1) المطلق تجليًا لله [...] عندما يُطرح المطلق لأول مرة في كتاب "الأسس"، يُربط بالله. "إن المطلق اللامتناهي الحقيقي، الموجود في الله، لا يقبل أي نوع من التحديد" (كانتور 1883ب، ص 175). هذه ليست ملاحظة عابرة، لأن كانتور واضح جدًا ومُصرّ على العلاقة بين المطلق والله.  
  2. 1 2 3 جورج كانتور (1932). إرنست زيرميلو (محرر). Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts . برلين: دار نشر فون يوليوس سبرينغر.ورد ذكره باسم Cantor 1883b من قبل Jané؛ مع سيرة ذاتية بقلم أدولف فرانكل؛ أعيد طبعه في هيلدسهايم: جورج أولمز، 1962، وبرلين: سبرينغر-فيرلاغ، 1980، ISBN 3-540-09849-6.
  3. ^ جورج كانتور (1883). "Ueber unendliche، خطي Punktmannichfaltigkeiten (5)" . الرياضيات أنالن . 21 (4): 545 – 591.المقال الأصلي.
  4. ↑ اللانهاية: أبحاث وحدود جديدة بقلم مايكل هيلر و دبليو هيو وودين (2011)، ص 11 .
  5. ↑ https://www.uni-siegen.de/fb6/phima/lehre/phima10/quellentexte/handout-phima-teil4b.pdf اقتباس مترجم من الألمانية:
    Es wurde das Aktual-Unendliche (AU.) nach drei Beziehungen unterschieden: erstens، sofern es in der höchsten Vollkommenheit، im völlig unabhängigen außerweltlichen Sein، in Deo realisiert ist، wo ich es Absolut Unendliches oder kurzweg المطلقات nenne؛ zweitens, sofern es in der abhängigen, kreatürlichen Welt vertreten ist; drittens، sofern es als mathématique Größe، Zahl oder Ordnungstypus vom Denken in Abstracto aufgefaßt werden kann. In den beiden Letzten Beziehungen, wo es offenbar als beschränktes, noch weiterer Vermehrung fähiges und insofern dem Endlichen verwandtes A.-U. كما تعلمون، ليس هذا هو Transfinitum und Setze هو قوة مطلقة.
    [Ca-a, [ 2 ] ص. 378].
  6. ↑ غوتشميدت، ريكو؛ كارل ، ميرلين (2024). "اللاهوت السلبي لللانهائية المطلقة: المنشد، والرياضيات، والتواضع" . المجلة الدولية لفلسفة الدين . 95. سبرينغر : 233-256 . doi : 10.1007/s11153-023-09897-8 . ISSN 0020-7047 . OCLC 10146601115. تاريخ الاسترجاع: 18 يناير 2025 .  (مراجعة النظراء، الوصول المفتوح ). متاح أيضًا على موقع KOPS Universität Konstanz .
  7. ^ إعادة اكتشاف مراسلات كانتور-ديديكيند ، I. Grattan-Guinness، Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 76 (1974/75)، الصفحات من 104 إلى 139، في ص. 126 وما يليها.
  8. ↑ Gesammelte Abhandlungen ، [ 2 ] جورج كانتور، تحرير إرنست زيرميلو، هيلدسهايم: دار نشر جورج أولمز، 1962، الصفحات 443-447؛ تُرجمت إلى الإنجليزية في From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 ، تحرير جان فان هيجينورت، كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة جامعة هارفارد، 1967، الصفحات 113-117. يُزعم أن كلا المرجعين رسالة من كانتور إلى ديديكيند، مؤرخة في 28 يوليو 1899. ومع ذلك، كمااكتشف إيفور غراتان-غينيس ، [ 7 ] فإن هذا في الواقع عبارة عن دمج من قِبل محرر كانتور، إرنست زيرميلو ، لرسالتين من كانتور إلى ديديكيند، الأولى مؤرخة في 28 يوليو والثانية مؤرخة في 3 أغسطس.

فهرس