مساحة الحلقة

في علم الطوبولوجيا ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، يُعرف فضاء الحلقات ΩX لفضاء طوبولوجي مُؤشَّر X بأنه فضاء الحلقات (المُؤشَّرة) في X ، أي الدوال المُؤشَّرة المُتصلة من الدائرة ^{المُؤشَّرة} S1 إلى X ، والمُزوَّدة بطوبولوجيا مفتوحة مُتراصة . يُمكن ضرب حلقتين عن طريق التسلسل . بهذه العملية، يُصبح فضاء الحلقات فضاءً من _النوع A∞ . أي أن عملية الضرب تجميعية متماسكة تماثليًا .

مجموعة مكونات المسار لـ Ω X ، أي مجموعة فئات التكافؤ القائمة على التماثل للحلقات القائمة في X ، هي مجموعة ، المجموعة الأساسية π ₁ ( X ).

يتم تشكيل مساحات الحلقات المتكررة لـ X عن طريق تطبيق Ω عددًا من المرات.

يوجد بناء مماثل للفضاءات الطوبولوجية التي لا تحتوي على نقطة أساس. فضاء الحلقات الحرة للفضاء الطوبولوجي X هو فضاء التطبيقات من الدائرة S1 إلى X ذات الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة. يُرمز عادةً إلى فضاء الحلقات الحرة لـ X بالرمز ∑ ^...${\displaystyle {\mathcal {L}}X}$.

باعتبارها دالة ، فإن بناء فضاء الحلقات الحرة مترافقٌ من اليمين مع الضرب الديكارتي مع الدائرة، بينما بناء فضاء الحلقات مترافقٌ من اليمين مع التعليق المختزل . هذا الترافق يفسر جزءًا كبيرًا من أهمية فضاءات الحلقات في نظرية التماثل المستقر . (ظاهرة مشابهة في علوم الحاسوب هي التكرار الجزئي ، حيث يكون الضرب الديكارتي مترافقًا مع دالة التماثل ). يُشار إلى هذا بشكل غير رسمي باسم ثنائية إيكمان-هيلتون .

فضاء الحلقة هو فضاء مزدوج لتعليق نفس الفضاء؛ وتُسمى هذه الازدواجية أحيانًا ازدواجية إيكمان-هيلتون . الملاحظة الأساسية هي أن

${\displaystyle [\Sigma Z,X]\approxeq [Z,\Omega X]}$

أين${\displaystyle [A,B]}$هي مجموعة فئات التماثل للتطبيقات${\displaystyle A\rightarrow B}$، و${\displaystyle \Sigma A}$هو تعليق A، و${\displaystyle \approxeq }$يشير إلى التشاكل الطبيعي . هذا التشاكل هو في الأساس تشاكل كاري ، بتردد القسمة اللازمة لتحويل المنتجات إلى منتجات مختزلة.

على العموم،${\displaystyle [A,B]}$لا يمتلك بنية جماعية للمساحات العشوائية${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$ومع ذلك، يمكن إثبات أن${\displaystyle [\Sigma Z,X]}$و${\displaystyle [Z,\Omega X]}$تمتلك هياكل مجموعات طبيعية عندما${\displaystyle Z}$و${\displaystyle X}$تكون مدببة ، والتماثل المذكور آنفًا هو من تلك المجموعات. ^{[ 1 ]} وبالتالي، بوضع${\displaystyle Z=S^{k-1}}$(ال${\displaystyle k-1}$(الكرة) تعطي العلاقة

${\displaystyle \pi _{k}(X)\approxeq \pi _{k-1}(\Omega X)}$.

ويترتب على ذلك أن مجموعة التماثل تُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle \pi _{k}(X)=[S^{k},X]}$ويمكن الحصول على الكرات عن طريق تعليق بعضها البعض، أي${\displaystyle S^{k}=\Sigma S^{k-1}}$[ ^{2 ]​}

• دورية بوت
• فضاء إيلنبرغ-ماكلين
• حلقة حرة
• المجموعة الأساسية
• تخمين غراي
• قائمة البنى الطوبولوجية
• مجموعة لوب
• المسار (الطوبولوجيا)
• الطيف (الطوبولوجيا)
• فضاء المسار (الطوبولوجيا الجبرية)

• آدامز، جون فرانك (1978)، فضاءات الحلقات اللانهائية ، دراسات حوليات الرياضيات، المجلد  90، مطبعة جامعة برينستون ، رقم ISBN 978-0-691-08207-3، MR 0505692 
• ماي، ج. بيتر (1972)، هندسة فضاءات الحلقات المتكررة ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  271، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/BFb0067491 ، ISBN 978-3-540-05904-2، MR 0420610