دالة جزئية

في الرياضيات ، الدالة الجزئية f من مجموعة X إلى مجموعة Y هي دالة من مجموعة جزئية S من X (أو ربما X بأكملها) إلى Y. تُسمى المجموعة الجزئية S ، أي مجال f كدالة، مجال التعريف أو المجال الطبيعي لـ f . إذا كانت S تساوي X ، أي إذا كانت f معرفة على كل عنصر في X ، فإن f تُسمى دالة كلية .

بمعنى آخر، الدالة الجزئية هي علاقة ثنائية بين مجموعتين ، تربط كل عنصر من المجموعة الأولى بعنصر واحد على الأكثر من المجموعة الثانية؛ لذا فهي علاقة أحادية القيمة . وهذا يُعمم مفهوم الدالة (الكلية) بعدم اشتراط ارتباط كل عنصر من المجموعة الأولى بعنصر من المجموعة الثانية.

تُستخدم الدوال الجزئية غالبًا عندما يكون مجال تعريفها الدقيق غير معروف أو يصعب تحديده. ومع ذلك، حتى عندما يكون مجال التعريف الدقيق معروفًا، تُستخدم الدوال الجزئية في كثير من الأحيان للتبسيط والاختصار. هذا هو الحال في حساب التفاضل والتكامل ، حيث أن ناتج قسمة دالتين ، على سبيل المثال، هو دالة جزئية لا يمكن أن يحتوي مجال تعريفها على أصفار المقام؛ في هذا السياق، تُسمى الدالة الجزئية عمومًا ببساطة دالة .

في نظرية الحوسبة ، الدالة التكرارية العامة هي دالة جزئية من الأعداد الصحيحة إلى الأعداد الصحيحة؛ لا يمكن أن توجد خوارزمية لتحديد ما إذا كانت دالة عشوائية من هذا القبيل هي في الواقع دالة كلية.

عند استخدام رمز السهم للدوال، فإن الدالة الجزئية${\displaystyle f}$من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$تُكتب أحيانًا على النحو التالي:${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y,}$${\displaystyle f:X\nrightarrow Y,}$أو${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y.}$ومع ذلك، لا يوجد اتفاق عام، ويتم استخدام الترميز الأخير بشكل أكثر شيوعًا لخرائط التضمين أو التضمينات .

وبالتحديد، بالنسبة للدالة الجزئية${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y,}$وأي${\displaystyle x\in X,}$إما أن يكون لدى المرء أحد الأمرين التاليين:

• ${\displaystyle f(x)=y\in Y}$(هو عنصر واحد في Y )، أو
• ${\displaystyle f(x)}$غير مُعرَّف.

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f}$هل تقتصر دالة الجذر التربيعي على الأعداد الصحيحة؟

${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} ,}$

مُعرَّف بواسطة:

${\displaystyle f(n)=m}$إذا، وفقط إذا،${\displaystyle m^{2}=n,}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {Z} ,}$

ثم${\displaystyle f(n)}$يتم تعريفها فقط إذا${\displaystyle n}$مربع كامل (أي،${\displaystyle 0,1,4,9,16,\ldots }$). لذا${\displaystyle f(25)=5}$لكن${\displaystyle f(26)}$غير مُعرَّف.

تنشأ الدالة الجزئية من دراسة التطبيقات بين مجموعتين X و Y التي قد لا تكون معرفة على المجموعة X بأكملها . ^{[ 1 ]} ومن الأمثلة الشائعة على ذلك عملية الجذر التربيعي على الأعداد الحقيقية.${\displaystyle \mathbb {R} }$لأن الأعداد الحقيقية السالبة ليس لها جذور تربيعية حقيقية، يمكن اعتبار العملية دالة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} }$ل${\displaystyle \mathbb {R} .}$ مجال تعريف الدالة الجزئية هو المجموعة الجزئية S من X التي تُعرَّف عليها الدالة الجزئية؛ وفي هذه الحالة، يمكن أيضًا اعتبار الدالة الجزئية دالة من S إلى Y. في مثال عملية الجذر التربيعي، تتكون المجموعة S من الأعداد الحقيقية غير السالبة .${\displaystyle [0,+\infty ).}$

يُعدّ مفهوم الدالة الجزئية مفيدًا للغاية عندما يكون مجال تعريفها غير معروف أو حتى غير قابل للمعرفة. وللاطلاع على مثال من علوم الحاسوب يُبيّن هذه الحالة، انظر مشكلة التوقف .

في حال كان مجال التعريف S مساوياً للمجموعة الكاملة X ، يُقال إن الدالة الجزئية كلية . وبالتالي، فإن الدوال الجزئية الكلية من X إلى Y تتطابق مع الدوال من X إلى Y.

يمكن تعميم العديد من خصائص الدوال لتشمل الدوال الجزئية. يُقال إن الدالة الجزئية أحادية أو شاملة أو تقابلية عندما تكون الدالة الناتجة عن تقييد الدالة الجزئية على مجال تعريفها أحادية أو شاملة أو تقابلية، على التوالي.

لأن الدالة تكون شاملة بشكل بديهي عند تقييدها بصورتها، فإن مصطلح التقابل الجزئي يشير إلى دالة جزئية تكون أحادية. ^{[ 2 ]}

يمكن عكس الدالة الجزئية أحادية التقابل إلى دالة جزئية أحادية التقابل، كما أن الدالة الجزئية التي تكون أحادية وشاملة في آنٍ واحد لها دالة أحادية التقابل كدالة عكسية. علاوة على ذلك، يمكن عكس الدالة أحادية التقابل إلى دالة جزئية تقابلية.

يمكن تعميم مفهوم التحويل ليشمل الدوال الجزئية أيضًا. التحويل الجزئي هو دالة${\displaystyle f:A\rightharpoonup B,}$حيث كلاهما${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي مجموعات جزئية من مجموعة ما${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]}

للتسهيل، نرمز إلى مجموعة جميع الدوال الجزئية بـ${\displaystyle f:X\rightharpoonup Y}$من مجموعة${\displaystyle X}$إلى مجموعة${\displaystyle Y}$بواسطة${\displaystyle [X\rightharpoonup Y].}$ هذه المجموعة هي اتحاد مجموعات الدوال المعرفة على مجموعات جزئية من${\displaystyle X}$بنفس النطاق المشترك${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle [X\rightharpoonup Y]=\bigcup _{D\subseteq X}[D\to Y],}$

يُكتب الأخير أيضًا على النحو التالي${\textstyle \bigcup _{D\subseteq {X}}Y^{D}.}$في الحالة المحدودة، يكون عدد عناصرها هو

${\displaystyle |[X\rightharpoonup Y]|=(|Y|+1)^{|X|},}$

لأن أي دالة جزئية يمكن تمديدها إلى دالة بأي قيمة ثابتة${\displaystyle c}$غير مدرج في${\displaystyle Y,}$بحيث يكون المجال المقابل هو${\displaystyle Y\cup \{c\},}$عملية حقنية (فريدة وقابلة للعكس بالتقييد).

يمثل الرسم البياني الأول في أعلى المقال دالة جزئية، وهي ليست دالة حقيقية لأن العنصر 1 في المجموعة اليسرى لا يرتبط بأي عنصر في المجموعة اليمنى. بينما يمثل الرسم البياني الثاني دالة حقيقية لأن كل عنصر في المجموعة اليسرى يرتبط بعنصر واحد فقط في المجموعة اليمنى.

• الاستمرار التحليلي – توسيع نطاق الدالة التحليلية (الرياضيات) 
• الدالة متعددة القيم – الدالة الرياضية المعممة 
• المؤثر المعرف بكثافة – مؤثر خطي على مجموعة فرعية كثيفة من نطاقه الظاهر 

• مارتن ديفيس (1958)، الحوسبة وعدم قابلية الحل ، شركة ماكجرو هيل للنشر، نيويورك. أعيد نشره بواسطة دوفر عام 1982. رقم ISBN 0-486-61471-9.
• ستيفن كلين (1952)، مقدمة في ما وراء الرياضيات ، دار نشر نورث هولاند، أمستردام، هولندا، الطبعة العاشرة مع تصحيحات أضيفت في الطبعة السابعة (1974). ISBN 0-7204-2103-9.
• هارولد س. ستون (1972)، مقدمة في تنظيم الحاسوب وهياكل البيانات ، شركة ماكجرو هيل للنشر، نيويورك.