أكبر عنصر وأصغر عنصر

ترتبط العناصر الأكبر ارتباطًا وثيقًا بالحدود العليا .

يترك${\displaystyle (P,\leq )}$لنفترض أنها مجموعة مرتبة مسبقًا ولندعها${\displaystyle S\subseteq P.}$الحد الأعلى لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle (P,\leq )}$هو عنصر${\displaystyle u}$بحيث${\displaystyle u\in P}$و${\displaystyle s\leq u}$للجميع${\displaystyle s\in S.}$والأهم من ذلك، أن الحد الأعلى لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle P}$ليس من الضروري أن يكون عنصراً من${\displaystyle S.}$

لو${\displaystyle g\in P}$ثم${\displaystyle g}$يُعدّ هذا العنصر الأهم في${\displaystyle S}$إذا وفقط إذا${\displaystyle g}$يمثل الحد الأعلى لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle (P,\leq )}$و${\displaystyle g\in S.}$وعلى وجه الخصوص، أي عنصر من العناصر الكبرى${\displaystyle S}$وهو أيضًا حد أعلى لـ${\displaystyle S}$(في${\displaystyle P}$) ولكن الحد الأعلى لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle P}$يُعدّ هذا العنصر الأهم في${\displaystyle S}$إذا وفقط إذا كان ينتمي إلى${\displaystyle S.}$ في الحالة الخاصة حيث${\displaystyle P=S,}$تعريف "${\displaystyle u}$يمثل الحد الأعلى لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle S}$يصبح:${\displaystyle u}$هو عنصر بحيث${\displaystyle u\in S}$و${\displaystyle s\leq u}$للجميع${\displaystyle s\in S,}$وهو ما يتطابق تماماً مع تعريف العنصر الأكبر المذكور سابقاً.${\displaystyle g}$يُعدّ هذا العنصر الأهم في${\displaystyle S}$إذا وفقط إذا${\displaystyle g}$يمثل الحد الأعلى لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle S}$.

لو${\displaystyle u}$يمثل الحد الأعلى لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle P}$هذا ليس حدًا أعلى لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle S}$(وهذا لا يمكن أن يحدث إلا إذا${\displaystyle u\not \in S}$) ثم${\displaystyle u}$لا يمكن أن يكون العنصر الأكبر من${\displaystyle S}$(مع ذلك، قد يكون من الممكن أن يكون عنصر آخر هو العنصر الأكبر من${\displaystyle S}$). على وجه الخصوص، من الممكن لـ${\displaystyle S}$أن لا يكون هناك عنصر أعظم وأن يكون هناك حد أعلى لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle P}$.

حتى لو كانت لمجموعة ما حدود عليا، فليس بالضرورة أن يكون لها عنصر أكبر، كما يتضح من مثال الأعداد الحقيقية السالبة . ويوضح هذا المثال أيضًا أن وجود حد أعلى أصغر (العدد صفر في هذه الحالة) لا يستلزم بالضرورة وجود عنصر أكبر.

لا ينبغي الخلط بين أكبر عنصر في مجموعة جزئية من مجموعة مرتبة مسبقًا وبين العنصر الأقصى في المجموعة، وهي عناصر ليست أصغر تمامًا من أي عنصر آخر في المجموعة.

يترك${\displaystyle (P,\leq )}$لنفترض أنها مجموعة مرتبة مسبقًا ولندعها${\displaystyle S\subseteq P.}$ عنصر${\displaystyle m\in S}$ويُقال إنه عنصر أقصى من${\displaystyle S}$إذا تحقق الشرط التالي:

حينما${\displaystyle s\in S}$يرضي${\displaystyle m\leq s,}$ثم بالضرورة${\displaystyle s\leq m.}$

لو${\displaystyle (P,\leq )}$إذا كانت مجموعة مرتبة جزئياً${\displaystyle m\in S}$هو عنصر أقصى من${\displaystyle S}$إذا وفقط إذا لم يكن هناك أي${\displaystyle s\in S}$بحيث${\displaystyle m\leq s}$و${\displaystyle s\neq m.}$ عنصر أقصى من${\displaystyle (P,\leq )}$يُعرَّف بأنه العنصر الأقصى في المجموعة الجزئية${\displaystyle S:=P.}$

يمكن أن تحتوي المجموعة على عدة عناصر قصوى دون أن يكون لها عنصر أعظم. ومثل الحدود العليا والعناصر القصوى، قد لا توجد عناصر أعظم.

في المجموعة المرتبة ترتيبًا كليًا، يتطابق العنصر الأعظم مع العنصر الأكبر، ويُسمى أيضًا بالقيمة العظمى . وفي حالة قيم الدوال، يُسمى أيضًا بالقيمة العظمى المطلقة ، لتجنب الخلط بينه وبين القيمة العظمى المحلية . ^{[ 1 ]} أما المصطلحان المقابلان فهما القيمة الصغرى والقيمة الصغرى المطلقة . ويُطلق عليهما معًا اسم القيم القصوى المطلقة . وينطبق استنتاج مماثل على العناصر الأصغر.

دور (عدم) قابلية المقارنة في التمييز بين العناصر الأكبر والعناصر القصوى

أحد أهم الفروق بين العنصر الأعظم${\displaystyle g}$وعنصر أقصى${\displaystyle m}$من مجموعة تم طلبها مسبقًا${\displaystyle (P,\leq )}$يتعلق الأمر بالعناصر التي يمكن مقارنتها بها. عنصران${\displaystyle x,y\in P}$يقال إنها قابلة للمقارنة إذا${\displaystyle x\leq y}$أو${\displaystyle y\leq x}$يُطلق عليهم اسم غير قابلين للمقارنة إذا لم يكونوا قابلين للمقارنة. لأن أوامر ما قبل الطلب انعكاسية (مما يعني أن${\displaystyle x\leq x}$ينطبق هذا على جميع العناصر${\displaystyle x}$), كل عنصر${\displaystyle x}$تكون المجموعة قابلة للمقارنة دائمًا مع نفسها. وبالتالي، فإن أزواج العناصر الوحيدة التي قد تكون غير قابلة للمقارنة هي الأزواج المختلفة . ومع ذلك، بشكل عام، قد تحتوي المجموعات المرتبة مسبقًا (وحتى المجموعات المرتبة جزئيًا الموجهة ) على عناصر غير قابلة للمقارنة.

بحسب التعريف، عنصر${\displaystyle g\in P}$يُعدّ هذا العنصر الأهم في${\displaystyle (P,\leq )}$لو${\displaystyle s\leq g,}$لكل${\displaystyle s\in P}$لذا، بحسب تعريفها، فإن أعظم عنصر من${\displaystyle (P,\leq )}$يجب أن يكون، على وجه الخصوص، قابلاً للمقارنة مع كل عنصر في${\displaystyle P.}$ هذا ليس مطلوبًا من العناصر القصوى. العناصر القصوى من${\displaystyle (P,\leq )}$لا يُشترط أن تكون قابلة للمقارنة مع كل عنصر في${\displaystyle P.}$ وذلك لأن تعريف "العنصر الأقصى" - على عكس تعريف "العنصر الأكبر" - يتضمن شرطًا مهمًا . الشرط المحدد لـ${\displaystyle m\in P}$أن يكون عنصرًا أقصى من${\displaystyle (P,\leq )}$يمكن إعادة صياغتها على النحو التالي:

للجميع${\displaystyle s\in P,}$لو${\displaystyle m\leq s}$(لذا فإن العناصر التي لا يمكن مقارنتها بـ${\displaystyle m}$(يتم تجاهلها) ثم${\displaystyle s\leq m.}$

مثال حيث تكون جميع العناصر قصوى ولكن لا يوجد عنصر هو الأكبر.

لنفترض أن${\displaystyle S}$هي مجموعة تحتوي على عنصرين (مختلفين) على الأقل ، وتُعرّف ترتيبًا جزئيًا.${\displaystyle \,\leq \,}$على${\displaystyle S}$بإعلان ذلك${\displaystyle i\leq j}$إذا وفقط إذا${\displaystyle i=j.}$ لو${\displaystyle i\neq j}$ينتمي إلى${\displaystyle S}$إذن لا هذا ولا ذاك${\displaystyle i\leq j}$ولا${\displaystyle j\leq i}$يثبت ذلك، مما يدل على أن جميع أزواج العناصر المتميزة (أي غير المتساوية) في${\displaystyle S}$وهي متقاربة . وبالتالي،${\displaystyle (S,\leq )}$لا يمكن أن يكون له عنصر أعظم (لأن العنصر الأعظم من${\displaystyle S}$يجب أن يكون، على وجه الخصوص، قابلاً للمقارنة مع كل عنصر من عناصر${\displaystyle S}$لكن${\displaystyle S}$لا يوجد عنصر من هذا القبيل). ومع ذلك، كل عنصر${\displaystyle m\in S}$هو عنصر أقصى من${\displaystyle (S,\leq )}$لأن هناك عنصر واحد فقط في${\displaystyle S}$وهذا قابل للمقارنة مع${\displaystyle m}$و${\displaystyle \geq m,}$ذلك العنصر هو${\displaystyle m}$نفسها (والتي هي بالطبع${\displaystyle \leq m}$). ^{[ ملاحظة 1 ]}

في المقابل، إذا كانت المجموعة مرتبة مسبقًا${\displaystyle (P,\leq )}$يحتوي على عنصر أعظم${\displaystyle g}$ثم${\displaystyle g}$سيكون بالضرورة عنصرًا أقصى من${\displaystyle (P,\leq )}$وعلاوة على ذلك، نتيجة للعنصر الأكبر${\displaystyle g}$كونها قابلة للمقارنة بكل عنصر من عناصر${\displaystyle P,}$لو${\displaystyle (P,\leq )}$وإذا كانت مرتبة جزئياً أيضاً، فمن الممكن استنتاج أن${\displaystyle g}$هو العنصر الأقصى الوحيد لـ${\displaystyle (P,\leq ).}$ ومع ذلك، لم يعد استنتاج التفرد مضمونًا إذا كانت المجموعة المرتبة مسبقًا${\displaystyle (P,\leq )}$ولا يكون مرتبًا جزئيًا أيضًا. على سبيل المثال، لنفترض أن${\displaystyle R}$هي مجموعة غير فارغة وتُعرّف ترتيبًا جزئيًا${\displaystyle \,\leq \,}$على${\displaystyle R}$بإعلان ذلك${\displaystyle i\leq j}$ينطبق هذا دائماً على الجميع${\displaystyle i,j\in R.}$المجموعة الموجهة المرتبة مسبقًا${\displaystyle (R,\leq )}$يكون الترتيب جزئياً إذا وفقط إذا${\displaystyle R}$يحتوي على عنصر واحد فقط. جميع أزواج العناصر من${\displaystyle R}$وهي قابلة للمقارنة، وكل عنصر من عناصرها${\displaystyle R}$هو عنصر أعظم (وبالتالي عنصر أقصى أيضًا) من${\displaystyle (R,\leq ).}$لذا على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle R}$إذا كان يحتوي على عنصرين على الأقل${\displaystyle (R,\leq )}$يحتوي على عناصر عظيمة متعددة ومميزة .