حقيقة فارغة

في الرياضيات والمنطق ، الحقيقة الفارغة هي عبارة شرطية أو كلية (وتحديداً عبارة كلية يمكن تحويلها إلى عبارة شرطية) تكون صحيحة لأن الشرط المسبق لا يمكن تحقيقه . ^{[ 1 ] [ 2} ] ^{[ 3 ]} مثال على هذه العبارة: "إذا كانت طوكيو في إسبانيا ^، فإن برج إيفل يقع في بوليفيا ".

يُقال أحيانًا إن العبارة صحيحة ظاهريًا لأنها لا تُضيف شيئًا في الواقع. ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، ستكون العبارة "جميع الهواتف المحمولة في الغرفة مُغلقة" (أو "لكل x في هذه الغرفة، إذا كان x هاتفًا محمولًا، فإن x مُغلق") صحيحة عندما لا توجد هواتف محمولة في الغرفة. في هذه الحالة، ستكون العبارة "جميع الهواتف المحمولة في الغرفة مُشغّلة " صحيحة ظاهريًا أيضًا. إن الجمع بين العبارتين: "جميع الهواتف المحمولة في الغرفة مُشغّلة وجميع الهواتف المحمولة في الغرفة مُغلقة" لا يمكن أن يكون صحيحًا إلا ظاهريًا، وهو ما يعني ضمنًا "عدم وجود هواتف محمولة في الغرفة".

تُستخدم العبارات الفارغة أيضًا كأداة بلاغية لخلق السخرية اللفظية . ومن الأمثلة الشائعة على ذلك عبارة "ملكة إنجلترا"؛ على سبيل المثال، "أنا سبّاحة ماهرة". "إذا كنتِ سبّاحة ماهرة، فأنا إذًا ملكة إنجلترا"، مستخدمةً استنتاجًا خاطئًا واضحًا للإيحاء بأن العبارة فارغة وبالتالي فإن مقدمتها خاطئة. ^{[ 5 ]}

تُعتبر هذه العبارات حقائق جوفاء، لأن كون المقدمة خاطئة يمنع استخدامها لاستنتاج أي شيء عن قيمة الصواب للنتيجة . وبعبارة أخرى، تكون العبارة الشرطية المبنية على الشرط المادي صحيحة عندما تكون المقدمة (مثل "طوكيو في إسبانيا") خاطئة، بغض النظر عما إذا كانت النتيجة ( مثل "برج إيفل في بوليفيا") صحيحة أم خاطئة، لأن الشرط المادي مُعرَّف على هذا النحو.

تشمل الأمثلة الشائعة في الكلام اليومي العبارات الشرطية المستخدمة كعبارات اصطلاحية عن عدم الاحتمال مثل "عندما يتجمد الجحيم  ..." و "عندما تستطيع الخنازير الطيران  ..."، مما يشير إلى أنه لن يقبل المتحدث أي اقتراح ذي صلة (عادة ما يكون خاطئًا أو سخيفًا) إلا بعد استيفاء الشرط المحدد (المستحيل).

في الرياضيات البحتة ، لا تُعدّ العبارات الصحيحة بشكل بديهي ذات أهمية في حد ذاتها، ولكنها تظهر بشكل متكرر كحالة أساسية في البراهين بالاستقراء الرياضي . ^{[ 6 ]} هذا المفهوم ذو صلة في الرياضيات البحتة ، وكذلك في أي مجال آخر يستخدم المنطق الكلاسيكي .

خارج نطاق الرياضيات، قد تكون العبارات التي تُصاغ على شكل حقيقة جوفاء، رغم صحتها المنطقية، مُضللة. إذ تُقدّم هذه العبارات ادعاءات معقولة حول أشياء موصوفة غير موجودة في الواقع . على سبيل المثال، قد يقول طفل لوالديه بصدق: "أكلتُ كل الخضراوات في طبقي"، مع أنه لم يكن هناك خضراوات في طبقه أصلاً. في هذه الحالة، قد يعتقد الوالد أن الطفل قد أكل بعض الخضراوات بالفعل، مع أن ذلك غير صحيح.

بيان${\displaystyle S}$تكون "صحيحة بشكل فارغ" إذا كانت تشبه عبارة شرطية مادية${\displaystyle P\Rightarrow Q}$، حيث السابق${\displaystyle P}$من المعروف أن هذا غير صحيح. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 4 ]}

تشمل العبارات الصحيحة بشكل فارغ والتي يمكن اختزالها ( مع التحويلات المناسبة ) إلى هذا الشكل الأساسي (الشرط المادي) العبارات الكمية العالمية التالية :

• ${\displaystyle \forall x:P(x)\Rightarrow Q(x)}$، حيث يكون الأمر كذلك${\displaystyle \forall x:\neg P(x)}$[ ^{3 ]​}
• ${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$، حيث المجموعة${\displaystyle A}$فارغ . ​
  • هذا الشكل المنطقي${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$يمكن تحويلها إلى صيغة الشرط المادي لتسهيل تحديد الشرط السابق . في المثال أعلاه${\displaystyle S}$يمكن كتابة عبارة "جميع الهواتف المحمولة في الغرفة مغلقة" بشكل رسمي على النحو التالي:${\displaystyle \forall x\in A:Q(x)}$أين${\displaystyle A}$هي مجموعة جميع الهواتف المحمولة في الغرفة و${\displaystyle Q(x)}$يكون "${\displaystyle x}$"مُطفأ". يمكن كتابة هذا في عبارة شرطية مادية${\displaystyle \forall x\in B:P(x)\Rightarrow Q(x)}$أين${\displaystyle B}$هي مجموعة كل الأشياء الموجودة في الغرفة (بما في ذلك الهواتف المحمولة إذا كانت موجودة في الغرفة)، وهي المقدمة${\displaystyle P(x)}$يكون "${\displaystyle x}$"هو هاتف محمول"، وما يترتب على ذلك${\displaystyle Q(x)}$يكون "${\displaystyle x}$"تم إيقاف تشغيله".
• ${\displaystyle \forall \xi :Q(\xi )}$، حيث الرمز${\displaystyle \xi }$يقتصر على نوع ليس له ممثلون.

تظهر الحقائق الفارغة في أغلب الأحيان في المنطق الكلاسيكي بقيمتين صحيحتين . ومع ذلك، يمكن أن تظهر الحقائق الفارغة أيضًا في المنطق الحدسي ، على سبيل المثال، في نفس الحالات المذكورة أعلاه. في الواقع، إذا${\displaystyle P}$إذا كان ذلك خطأً،${\displaystyle P\Rightarrow Q}$سيؤدي ذلك إلى حقيقة فارغة في أي منطق يستخدم الشرط المادي ؛ ^{[ 7 ]} إذا${\displaystyle P}$إذا كانت كذبة ضرورية ، فإنها ستؤدي أيضًا إلى حقيقة فارغة في ظل الشرط الصارم .

قد تحاول بعض أنواع المنطق غير الكلاسيكية الأخرى، مثل منطق الصلة ، تجنب الحقائق الفارغة باستخدام الشروط البديلة (مثل حالة الشرط المضاد للواقع ).

تتضمن العديد من بيئات البرمجة آلية للاستعلام عما إذا كان كل عنصر في مجموعة عناصر يحقق شرطًا معينًا. ومن الشائع أن يكون هذا الاستعلام صحيحًا دائمًا بالنسبة لمجموعة فارغة. على سبيل المثال:

• في جافا سكريبت ، تُنفّذ دالة المصفوفةevery دالة رد نداء مُحددة مرة واحدة لكل عنصر موجود في المصفوفة، وتتوقف فقط (إذا وُجد عنصر تُرجع دالة رد النداء فيه القيمة false). والجدير بالذكر أن استدعاء الدالة everyعلى مصفوفة فارغة سيُرجع القيمة true في جميع الحالات. ^{[ 8 ]}
• في لغة بايثونall() ، تُرجع الدالة المدمجة القيمة TrueTrue فقط عندما تكون جميع عناصر الكائن القابل للتكرار (في هذا المثال، قائمة) Trueفارغة أو عندما يكون الكائن القابل للتكرار فارغًا all([1,1])==True; all([1,1,0])==False; all([])==True. ^{[ 9 ]} ويمكن التعبير عن ذلك بطريقة أقل غموضًا بالقول إنها all()تُرجع القيمة True عندما لا يكون أي من العناصر فارغًا False.
• في لغة Rust ، Iterator::allتقبل الدالة مُكرِّرًا وشرطًا، ولا تُرجع قيمة trueإلا إذا كان الشرط يُرجع قيمة trueلجميع العناصر التي ينتجها المُكرِّر، أو إذا لم ينتج المُكرِّر أي عناصر. ^{[ 10 ]}
• في لغة SQL، قد تختلف وظيفة هذه الدالة ANY_VALUEتبعًا لسلوك نظام إدارة قواعد البيانات العلائقية (RDBMS) فيما يتعلق بقيم NULLnull ، حيث قد تُرجع بعض أنظمة إدارة قواعد البيانات العلائقية قيمة فارغة حتى في حال وجود nullقيم غير فارغة. ^{[ 11 ]} وقد لا تسمح بعض أنظمة إدارة قواعد البيانات باستخدامها في عبارات filter(...)OR over(.. ).
• في لغة Kotlinall ، تُرجع دالة المجموعة قيمة trueعندما تكون المجموعة فارغة.
• في لغة C#All ، تُرجع دالة Linq قيمة trueعندما تكون المجموعة فارغة.
• في لغة C++ ، std::all_ofتُرجع الدالة template قيمة trueلمجموعة فارغة. ^{[ 12 ]}
• في لغة أغدا ، يُعتبر النوع الفارغ (على سبيل المثال، ⊥النوع المُعرَّف بدون دوال إنشاء) "خاطئًا" على مستوى النوع، وفقًا لتطابق كاري-هوارد . يمكن مطابقة مُعامل من هذا النوع مع نمط "عبثي"، والمعادلة التي تحتوي على هذا النمط ليس لها طرف أيمن. يمكن تعريف مبدأ " ex falso quodlibet" بهذه الطريقة كدالة . تُعدّ هذه الدالة برهانًا على صحة القضية الفارغة لكل قضية (أي نوع) . على سبيل المثال، هي برهان على .efq : ∀ {n} {a : Set n} → ⊥ → aefq⊥ → aa⊥ → ⊥

توضح هذه الأمثلة، أحدها من الرياضيات والآخر من اللغة الطبيعية ، مفهوم الحقائق الفارغة:

• "لأي عدد صحيح x ، إذا كان x > 5 فإن x > 3. " ^{[ 13 ]} - هذه العبارة صحيحة بشكل غير فارغ (لأن بعض الأعداد الصحيحة أكبر من 5 بالفعل)، ولكن بعض نتائجها صحيحة بشكل فارغ فقط: على سبيل المثال، عندما يكون x هو العدد الصحيح 2، فإن العبارة تعني الحقيقة الفارغة "إذا كان 2 > 5 فإن 2 > 3 ".
• إن عبارة "كل أبنائي ماعز" هي حقيقة جوفاء عندما يقولها شخص ليس لديه أبناء. وبالمثل، فإن عبارة "ليس من أبنائي ماعز" ستكون أيضاً حقيقة جوفاء عندما يقولها الشخص نفسه.

• الشرط المضاد للواقع (علم اللغة)
• وصف دقيق
• قوانين دي مورغان – وتحديداً القانون الذي ينص على أن العبارة العامة صحيحة حتى في حالة عدم وجود مثال مضاد:${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv \neg \exists x\,\neg P(x)}$
• مجموع فارغ وناتج فارغ
• دالة فارغة
• مفارقات التداعيات المادية ، وخاصة مبدأ الانفجار
• الافتراض المسبق ، السؤال المزدوج
• الوضع الراهن (فلسفة)
• التكرار المنطقي – نوع آخر من العبارات الصحيحة التي تفشل أيضاً في نقل أي معلومات جوهرية
• التفاهة (في الرياضيات) والانحطاط (في الرياضيات)