الكائن الصفري (الجبر)

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 4 صور
الموسوعة الحرة
التحويلات من وإلى الكائن الصفري

في الجبر ، يُعدّ العنصر الصفري لبنية جبرية معينة ، بالمعنى الموضح أدناه، أبسط عنصر في تلك البنية. كمجموعة، هو عنصر منفرد ، وكعنصر أساسي، له بنية تافهة ، وهي أيضًا زمرة تبديلية . تُعرف بنية الزمرة التبديلية المذكورة عادةً بالجمع ، ويُسمى العنصر الوحيد فيها بالصفر ، لذا يُرمز للعنصر نفسه عادةً بالرمز {0} . يُشار غالبًا إلى العنصر التافه ( لفئة محددة ) لأن كل عنصر تافه متماثل مع أي عنصر آخر (تحت تماثل وحيد).

تشمل أمثلة الكائن الصفري، على سبيل المثال لا الحصر، ما يلي:

يتم وصف هذه الكائنات بشكل مشترك ليس فقط بناءً على بنية المجموعة المفردة المشتركة والبنية التافهة، ولكن أيضًا بسبب الخصائص النظرية المشتركة للفئات .

في الحالات الثلاث الأخيرة، يتم تعريف الضرب القياسي بعنصر من الحلقة الأساسية (أو الحقل) على النحو التالي:

κ 0 = 0 ، حيث κ ∈ R .

أما أكثرها عمومية، وهو الوحدة الصفرية، فهو وحدة مولدة بشكل محدود مع مجموعة مولدة فارغة .

بالنسبة للهياكل التي تتطلب بنية الضرب داخل العنصر الصفري، مثل الحلقة التافهة ، لا يوجد سوى احتمال واحد، وهو 0 × 0 = 0 ، لعدم وجود عناصر غير صفرية. هذه البنية تجميعية وتبديلية . الحلقة R التي لها عنصر محايد جمعي وضربي تكون تافهة إذا وفقط إذا كان 1 = 0 ، لأن هذه المساواة تعني أنه لكل r داخل R ،

ر=ر×1=ر×0=0.{\displaystyle r=r\times 1=r\times 0=0.}

في هذه الحالة، يمكن تعريف القسمة على صفر ، لأن العنصر الوحيد هو معكوسه الضربي. بعض خصائص {0} تعتمد على التعريف الدقيق للعنصر المحايد الضربي؛ انظر قسم  البنى الأحادية أدناه.

أي جبر تافه هو أيضاً حلقة تافهة. الجبر التافه فوق حقل ما هو في الوقت نفسه فضاء متجهي صفري، كما سنرى لاحقاً . فوق حلقة تبديلية ، يكون الجبر التافه في الوقت نفسه وحدة نمطية صفرية.

الحلقة التافهة مثال على حلقة مربعة صفرية . والجبر التافه مثال على جبر صفري .

البعد الصفرييُعدّ الفضاء المتجهي مثالاً شائعاً على الكائن الصفري، أي الفضاء المتجهي فوق حقل ذي أساس فارغ . ولذلك، فإن بُعده يساوي صفرًا. وهو أيضًا زمرة تافهة فوق عملية الجمع ، ووحدة نمطية تافهة كما ذُكر سابقًا .

ملكيات

2 ↕ [00]{\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}= []{\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\\\,\end{bmatrix}}}[ ] ‹0
↔ 1 ^ 0 ↔ 1
يُضرب عنصر الفضاء الصفري، المكتوب كمتجه عمودي فارغ (أقصى اليمين)، في مصفوفة فارغة ثنائية الأبعاد (2×0) للحصول على متجه صفري ثنائي الأبعاد (أقصى اليسار). وتُراعى قواعد ضرب المصفوفات .

الحلقة الصفرية، والنمط الصفري، والفضاء المتجهي الصفري هي عناصر صفرية في فئات الحلقات الزائفة ، والأنماط ، والفضاءات المتجهة على التوالي . مع ذلك، فإن الحلقة الصفرية ليست عنصرًا صفريًا في فئة الحلقات ، إذ لا يوجد تشاكل حلقي للحلقة الصفرية في أي حلقة أخرى.

يجب أن يكون الكائن الصفري، بحكم التعريف ، كائنًا نهائيًا، مما يعني أنه يجب أن يكون هناك تشاكل A → {0} فريدًا لأي كائن A. هذا التشاكل يربط أي عنصر من A بالصفر .    

يجب أن يكون الكائن الصفري، بحكم التعريف، كائنًا ابتدائيًا، مما يعني أنه يجب أن يوجد تشاكل {0} → A ويكون فريدًا لأي كائن A. يربط هذا التشاكل العنصر 0 ، وهو العنصر الوحيد في {0} ، بالعنصر الصفري 0 ∈ A ، والذي يُسمى المتجه الصفري في الفضاءات المتجهة. هذا الربط هو تشاكل أحادي ، وبالتالي فإن صورته متماثلة مع {0} . بالنسبة للوحدات والفضاءات المتجهة، فإن هذه المجموعة الجزئية {0} ⊂ A هي الوحدة الجزئية الوحيدة المولدة فارغة (أو الفضاء الجزئي الخطي ذو البعد صفر ) في كل وحدة (أو فضاء متجه) A.       

الهياكل الموحدة

الكائن {0} هو كائن نهائي لأي بنية جبرية يوجد فيها، كما هو موضح في الأمثلة السابقة. لكن وجوده، وفي حال وجوده، خاصية كونه كائنًا ابتدائيًا (وبالتالي، كائنًا صفريًا بالمعنى النظري للفئات ) يعتمد على التعريف الدقيق للعنصر المحايد الضربي  1 في بنية محددة.

إذا كان تعريف العدد 1 يشترط أن يكون 1 ≠ 0 ، فلا يمكن أن يوجد الكائن {0} لأنه قد يحتوي على عنصر واحد فقط. وبالتحديد، فإن الحلقة الصفرية ليست حقلاً . وإذا كان الرياضيون يتحدثون أحيانًا عن حقل ذي عنصر واحد ، فإن هذا الكائن الرياضي المجرد والغامض نوعًا ما ليس حقلاً. 

في الفئات التي يجب فيها الحفاظ على العنصر المحايد الضربي بواسطة التشكلات، ولكن يمكن أن يساوي صفرًا، يمكن أن يوجد الكائن {0} . ولكن ليس ككائن ابتدائي لأن التشكلات التي تحافظ على العنصر المحايد من {0} إلى أي كائن حيث 1 ≠ 0 غير موجودة. على سبيل المثال، في فئة الحلقات Ring، حلقة الأعداد الصحيحة Z هي الكائن الابتدائي، وليست {0} .  

إذا كان الهيكل الجبري يتطلب العنصر المحايد الضربي، ولكن لا يتطلب الحفاظ عليه بواسطة التشكلات ولا 1 ≠ 0 ، فإن التشكلات الصفرية موجودة والوضع لا يختلف عن الهياكل غير الوحدوية التي تم تناولها في القسم السابق.

الترميز

يُرمز عادةً إلى فضاءات المتجهات الصفرية والوحدات الصفرية بالرمز 0 (بدلاً من {0} ). ويحدث هذا دائمًا عندما تظهر في تسلسل تام .

انظر أيضاً