متجه ويت

في الرياضيات ، متجه ويت هو سلسلة لانهائية من عناصر حلقة تبديلية . وقد بيّن إرنست ويت كيفية وضع بنية حلقية على مجموعة متجهات ويت، بحيث تكون حلقة متجهات ويت${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})}$يكون الحقل المنتهي ذو الرتبة الأولية p متماثلاً مع​${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$، حلقة الأعداد الصحيحة p -adic . لها بنية غير بديهية للغاية ^{[ 1 ]} للوهلة الأولى لأن بنيتها الجمعية والضربية تعتمد على مجموعة لانهائية من الصيغ التكرارية التي لا تتصرف مثل صيغ الجمع والضرب للأعداد الصحيحة p -adic القياسية.

الفكرة الرئيسية ^{[ 1 ]} وراء متجهات ويت هي أنه بدلاً من استخدام التوسع القياسي p -adic

${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots }$

لتمثيل عنصر في${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$، ويمكن النظر في التوسع باستخدام حرف Teichmüller بدلاً من ذلك؛

${\displaystyle \omega$ :\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} _{p}^{*}} ,

وهو تشاكل جماعي يرسل كل عنصر في مجموعة الحلول لـ${\displaystyle x^{p-1}-1}$في${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$إلى عنصر في مجموعة حلول${\displaystyle x^{p-1}-1}$في${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$أي العناصر الموجودة${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$يمكن توسيعها من حيث جذور الوحدة بدلاً من العناصر المحدودة في${\displaystyle \prod \mathbb {F} _{p}}$لقد حددنا أيضًا${\displaystyle \omega (0)=0}$، الذي يُعرّف خريطة ضربية أحادية${\displaystyle \omega$ :\mathbb {F} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}} إرسال عناصر من${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$إلى جذور${\displaystyle x^{p}-x}$في${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$يمكن التعبير عن عدد صحيح p-adic كمجموع لانهائي

${\displaystyle a=\omega (a_{0})+\omega (a_{1})p+\omega (a_{2})p^{2}+\cdots }$،

مما يعطي متجه ويت

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\in W(\mathbb {F} _{p})=(\mathbb {F} _{p})^{\mathbb {N} }}$.

ثم، تأتي البنية الجمعية والضربية غير التافهة في متجهات ويت من استخدام هذه الخريطة لإعطاء${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})}$بنية جمعية وضربية بحيث${\displaystyle \omega }$يُحفز تماثلًا حلقيًا تبادليًا .

في القرن التاسع عشر، درس إرنست إدوارد كومر الامتدادات الدورية للحقول كجزء من عمله على نظرية فيرما الأخيرة . وقد أدى ذلك إلى ظهور ما يُعرف بنظرية كومر .${\displaystyle k}$ليكن حقلاً يحتوي على عنصر أولي${\displaystyle n}$الجذر النوني للوحدة. تصنف نظرية كومر الدرجات.${\displaystyle n}$امتدادات المجال الدوري${\displaystyle K}$ل${\displaystyle k}$تكون هذه الحقول في تقابل مع الرتبة${\displaystyle n}$المجموعات الحلقية${\displaystyle \Delta \subseteq k^{\times }/(k^{\times })^{n}}$، أين${\displaystyle \Delta }$يتوافق مع${\displaystyle K=k({\sqrt[{n}]{\Delta }}\,)}$.

لكن لنفترض أن${\displaystyle k}$له خصائص${\displaystyle p}$مشكلة دراسة الشهادة${\displaystyle p}$امتدادات${\displaystyle k}$أو بشكل أعم درجة${\displaystyle p^{n}}$قد تبدو التوسعات مشابهة ظاهريًا لنظرية كومر. ومع ذلك، في هذه الحالة،${\displaystyle k}$لا يمكن أن يحتوي على عنصر بدائي${\displaystyle p}$الجذر النوني للوحدة. إذا${\displaystyle x}$هو${\displaystyle p}$الجذر النوني للوحدة في${\displaystyle k}$ثم يُرضي${\displaystyle x^{p}=1}$لكن انظر إلى التعبير${\displaystyle (x-1)^{p}=0}$باستخدام معاملات ذات الحدين ، فإن عملية رفع العدد إلى رتبة 10 تُصبح عمليةً بسيطةً للغاية .${\displaystyle p}$القوة -th، والمعروفة هنا باسم تشاكل فروبينيوس ، تُدخل العامل${\displaystyle p}$لكل معامل باستثناء الأول والأخير، وبالتالي باقي القسمة${\displaystyle p}$هذه المعادلات متطابقة. لذلك${\displaystyle x=1}$وبالتالي، فإن نظرية كومر لا تنطبق أبدًا على الامتدادات التي تكون درجتها قابلة للقسمة على الخاصية.

تُعرف الحالة التي يقسم فيها الخاصية الدرجة اليوم بنظرية آرتين-شراير، نسبةً إلى آرتين وشراير اللذين حققا أول تقدم في هذا المجال. كان دافعهما الأساسي هو نظرية آرتين-شراير ، التي تُعرّف الحقول المغلقة الحقيقية بأنها تلك التي يكون رتبة زمرة غالوا المطلقة فيها اثنين. ^{[ 2 ]} وقد ألهمهما ذلك للتساؤل عن الحقول الأخرى التي تمتلك زمر غالوا مطلقة منتهية . وفي خضم إثبات عدم وجود حقول أخرى من هذا القبيل، أثبتا أن الدرجة${\displaystyle p}$امتدادات مجال${\displaystyle k}$ذات خصائص مميزة${\displaystyle p}$كانت هذه الحقول مماثلة لحقول تجزئة كثيرات حدود آرتين-شراير . وهي، بحكم تعريفها، من الشكل التالي:${\displaystyle x^{p}-x-a.}$من خلال تكرار بنائها، وصفوا الدرجة${\displaystyle p^{2}}$الامتدادات. استخدم أبراهام أدريان ألبرت هذه الفكرة لوصف الدرجة${\displaystyle p^{n}}$الامتدادات. كل تكرار استلزم شروطًا جبرية معقدة لضمان أن يكون امتداد الحقل طبيعيًا . ^{[ 3 ]}

قام شميد ^{[ 4 ]} بتعميم ذلك بشكل أكبر ليشمل الجبر الدوري غير التبادلي من الدرجة${\displaystyle p^{n}}$وفي سياق القيام بذلك، يتم استخدام بعض كثيرات الحدود المتعلقة بجمع${\displaystyle p}$ظهرت الأعداد الصحيحة -adic. استغل ويت هذه كثيرات الحدود. وباستخدامها بشكل منهجي، تمكن من تقديم تركيبات بسيطة وموحدة من الدرجة${\displaystyle p^{n}}$امتدادات الحقول والجبر الدوري. وعلى وجه التحديد، قدم حلقة تسمى الآن${\displaystyle W_{n}(k)}$خاتم​${\displaystyle n}$-مختصر${\displaystyle p}$-متجهات ويت النموذجية . هذه الحلقة تحتوي على${\displaystyle k}$كحاصل قسمة ، ويأتي مع عامل تشغيل${\displaystyle F}$والذي يُطلق عليه اسم عامل فروبينيوس لأنه يختزل إلى عامل فروبينيوس على${\displaystyle k}$لاحظ ويت أن الدرجة${\displaystyle p^{n}}$التناظرية من كثيرات الحدود Artin-Schreier هي

${\displaystyle F(x)-x-a}$،

أين${\displaystyle a\in W_{n}(k)}$لإكمال التشبيه بنظرية كومر، عرّف${\displaystyle \wp }$أن يكون المشغل${\displaystyle x\mapsto F(x)-x.}$ثم الدرجة${\displaystyle p^{n}}$امتدادات${\displaystyle k}$وهي في تناظر تقابلي مع المجموعات الفرعية الدورية${\displaystyle \Delta \subseteq W_{n}(k)/\wp (W_{n}(k))}$من النظام${\displaystyle p^{n}}$، أين${\displaystyle \Delta }$يتوافق مع الحقل${\displaystyle k(\wp ^{-1}(\Delta ))}$.

أي${\displaystyle p}$عدد صحيح -adic (عنصر من${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$، لا ينبغي الخلط بينه وبين${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\mathbb {F} _{p}}$يمكن كتابة ) على شكل متسلسلة قوى${\displaystyle a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+\cdots }$، حيث${\displaystyle a_{i}}$عادة ما يتم أخذها من الفترة الصحيحة${\displaystyle [0,p-1]=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}}$قد يكون من الصعب تقديم تعبير جبري للجمع والضرب باستخدام هذا التمثيل، حيث يواجه المرء مشكلة الترحيل بين الأرقام. ومع ذلك، بأخذ معاملات تمثيلية${\displaystyle a_{i}\in [0,p-1]}$ليس هذا سوى خيار واحد من بين العديد من الخيارات، وهينسل نفسه (مبتكر${\displaystyle p}$تشير الأعداد (-adic) إلى جذور الوحدة في المجال كممثلين . وبالتالي، فإن هؤلاء الممثلين هم العدد${\displaystyle 0}$بالإضافة إلى${\displaystyle (p-1)^{\text{st}}}$جذور الوحدة؛ أي حلول${\displaystyle x^{p}-x=0}$في${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$، لهذا السبب${\displaystyle a_{i}=a_{i}^{p}}$يمتد هذا الخيار بشكل طبيعي إلى امتدادات الحلقات لـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$حيث يتم توسيع مجال البقايا إلى${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$مع${\displaystyle q=p^{f}}$بعض قوة${\displaystyle p}$في الواقع، هذه الحقول ( حقول كسور الحلقات) هي التي دفعت هينسل إلى الاختيار. أما الآن، فالممثلون هم${\displaystyle q}$حلول في هذا المجال لـ${\displaystyle x^{q}-x=0}$اتصل بالمجال${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$، مع${\displaystyle \eta }$عنصر بدائي مناسب${\displaystyle (q-1)^{\text{th}}}$جذر الوحدة (فوق${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ثم يصبح الممثلون${\displaystyle 0}$و${\displaystyle \eta ^{i}}$ل${\displaystyle 0\leq i\leq q-2}$بما أن هذه العناصر التمثيلية تُشكّل مجموعة ضربية، فيمكن اعتبارها رموزًا. بعد نحو ثلاثين عامًا من أعمال هينسل، درس تايخمولر هذه الرموز، التي تحمل اسمه الآن، مما قاده إلى توصيف بنية الحقل بأكمله بدلالة حقل البقايا. ويمكن تحديد هذه العناصر التمثيلية لتايخمولر بعناصر الحقل المنتهي.${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$من النظام${\displaystyle q}$بأخذ البواقي modulo${\displaystyle p}$في${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$وعناصر من${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{\times }}$يتم اصطحابهم إلى ممثليهم بواسطة شخصية تايخمولر${\displaystyle \omega$ :\mathbb {F} _{q}^{\times }\to \mathbb {Z} _{p}(\eta )^{\times }} . تحدد هذه العملية مجموعة الأعداد الصحيحة في${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(\eta )}$مع تسلسلات لا نهائية من عناصر${\displaystyle \omega (\mathbb {F} _{q}^{\times })\cup \{0\}}$.

باستخدام هذه التمثيلات، يمكن كتابة تعبيرات الجمع والضرب بصيغة مغلقة. المسألة التالية (مُصاغة لأبسط حالة):${\displaystyle q=p}$): معطى سلسلتان لانهائيتان من عناصر${\displaystyle \omega (\mathbb {F} _{p}^{\times })\cup \{0\}}$صف مجموعها وحاصل ضربها كأعداد صحيحة p -adic بشكل صريح. وقد حلّ ويت هذه المسألة باستخدام متجهات ويت.

لنفترض عددًا أوليًا p . متجه ويت ^{[ 5 ]} على حلقة تبديلية${\displaystyle R}$(بالنسبة للعدد الأولي)${\displaystyle p}$) هو تسلسل${\displaystyle (X_{0},X_{1},X_{2},\ldots )}$من عناصر${\displaystyle R}$كثيرات حدود ويت${\displaystyle W_{i}}$يمكن تعريفها بواسطة

1. ${\displaystyle W_{0}=X_{0}}$
2. ${\displaystyle W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}}$
3. ${\displaystyle W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}}$

وبشكل عام

${\displaystyle W_{n}=\sum _{i=0}^{n}p^{i}X_{i}^{p^{n-i}}}$.

ال${\displaystyle W_{n}}$تُسمى هذه المكونات بالمكونات الوهمية لمتجه ويت${\displaystyle (X_{0},X_{1},X_{2},\ldots )}$ويُشار إليها عادةً بـ${\displaystyle X^{(n)}}$; مجتمعة،${\displaystyle W_{n}}$حدد خريطة الأشباح لـ${\textstyle \prod _{i=0}^{\infty }R}$. لو${\textstyle R}$إذا كانت الدالة خالية من الالتواء من الرتبة p ، فإن خريطة الأشباح تكون حقنية ، ويمكن اعتبار مكونات الأشباح نظام إحداثيات بديلًا لـ${\displaystyle R}$- وحدة التسلسلات (مع ملاحظة أن الخريطة الوهمية ليست شاملة إلا إذا${\textstyle R}$(قابل للقسمة على p ).

حلقة متجهات ويت ( النموذجية من النوع p )${\displaystyle W(R)}$يتم تعريفها من خلال الجمع والضرب لكل مكون من المكونات الوهمية. أي أن هناك طريقة فريدة لتكوين مجموعة متجهات ويت على أي حلقة تبديلية.${\displaystyle R}$في حلقة بحيث:

1. يُعطى المجموع والناتج بواسطة كثيرات حدود ذات معاملات صحيحة لا تعتمد على${\displaystyle R}$، و
2. الإسقاط على كل مكون وهمي هو تشاكل حلقي من متجهات ويت على${\displaystyle R}$، ل${\displaystyle R}$.

بعبارة أخرى،

• ${\displaystyle (X+Y)_{i}}$و${\displaystyle (XY)_{i}}$تُعطى بواسطة كثيرات حدود ذات معاملات صحيحة لا تعتمد على R ، و

• ${\displaystyle X^{(i)}+Y^{(i)}=(X+Y)^{(i)}}$و${\displaystyle X^{(i)}Y^{(i)}=(XY)^{(i)}.}$

يمكن كتابة كثيرات الحدود القليلة الأولى التي تعطي مجموع وحاصل ضرب متجهات ويت بشكل صريح. على سبيل المثال،

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\ldots )+(Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}+Y_{0},X_{1}+Y_{1}-((X_{0}+Y_{0})^{p}-X_{0}^{p}-Y_{0}^{p})/p,\ldots )}$

${\displaystyle (X_{0},X_{1},\ldots )\times (Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}Y_{0},X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1},\ldots )}$

ينبغي فهم هذه على أنها اختصارات للصيغ الفعلية: إذا كان، على سبيل المثال، الحلقة${\displaystyle R}$له خصائص${\displaystyle p}$القسمة على${\displaystyle p}$في الصيغة الأولى أعلاه، الصيغة التي بواسطة${\displaystyle p^{2}}$لا معنى لما سيظهر في المكون التالي وما إلى ذلك. ومع ذلك، إذا كان${\displaystyle p}$- يتم تطوير قوة المجموع، والمصطلحات${\displaystyle X_{0}^{p}+Y_{0}^{p}}$يتم إلغاء العمليات السابقة، ويتم تبسيط العمليات المتبقية بواسطة${\displaystyle p}$لا قسمة على${\displaystyle p}$يبقى الأمر كما هو، وتصبح الصيغة منطقية. وينطبق الاعتبار نفسه على المكونات اللاحقة.

• حلقة ويت لأي حلقة تبديلية${\displaystyle R}$في أي${\displaystyle p}$قابلة للعكس، متماثلة مع${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$(ناتج عدد قابل للعد من نسخ${\displaystyle R}$تعطي كثيرات حدود ويت دائمًا تشاكلًا من حلقة متجهات ويت إلى${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$وإذا${\displaystyle p}$هذا التشاكل قابل للعكس، وهو تشاكل متماثل.
• خاتم ويت${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} _{p}}$من الحقل المنتهي من الرتبة${\displaystyle p}$هو خاتم${\displaystyle p}$الأعداد الصحيحة -adic المكتوبة بدلالة ممثلي Teichmüller، كما هو موضح أعلاه.
• خاتم ويت${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong {\mathcal {O}}_{K}}$من حقل منتهٍ من الرتبة${\displaystyle p^{n}}$هي حلقة الأعداد الصحيحة للامتداد غير المتفرع الوحيد من الدرجة${\displaystyle n}$من حلقة${\displaystyle p}$الأعداد -adic${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$. ملحوظة${\displaystyle K\cong \mathbb {Q} _{p}(\mu _{q-1})}$ل${\displaystyle \mu _{q-1}}$ال${\displaystyle (q-1)}$الجذر الأول للوحدة، ومن ثم${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong \mathbb {Z} _{p}[\mu _{q-1}]}$.
• حلقة ويت المبتورة${\displaystyle W_{n+1}(\mathbb {F} _{p}[t])}$يمكن وصفها بأنها ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}W_{n+1}(\mathbb {F} _{p}[t])&\cong &\left\{\sum a_{i}t^{i/p^{n}}\in (\mathbb {Z} /p^{n+1})[t^{1/p^{n}}]\$ :\ pia_{i}=0\ {\textrm {mod}}\ p^{n+1}\right\}\\&=&(\mathbb {Z} /p^{n})[t]+p(\mathbb {Z} /p^{n})[t^{1/p}]+p^{2}(\mathbb {Z} /p^{n})[t^{1/p^{2}}]+\dots +p^{n}(\mathbb {Z} /p^{n})[t^{1/p^{n}}]\end{array}}}

متجهات ويت هي النهاية العكسية على طول الإسقاطات الكنسية

${\displaystyle W(\mathbb {F} _{p}[t])=\lim(\dots \to W_{n+1}(\mathbb {F} _{p}[t])\to W_{n}(\mathbb {F} _{p}[t])\to \dots \to W_{1}(\mathbb {F} _{p}[t])=\mathbb {F} _{p}[t]).}$

هنا، يتم استحداث التماثلات الانتقالية عن طريق الاختزال.${\displaystyle (\mathbb {Z} /p^{n+1})[t^{1/p^{n}}]\to (\mathbb {Z} /p^{n})[t^{1/p^{n}}]}$.

كثيرات حدود ويت للأعداد الأولية المختلفة${\displaystyle p}$هي حالات خاصة من كثيرات حدود ويت الشاملة، والتي يمكن استخدامها لتشكيل حلقة ويت شاملة (لا تعتمد على اختيار عدد أولي).${\displaystyle p}$عرّف كثيرات حدود ويت العامة${\displaystyle W_{n}}$ل${\displaystyle n\geq 1}$بواسطة

1. ${\displaystyle W_{1}=X_{1}}$
2. ${\displaystyle W_{2}=X_{1}^{2}+2X_{2}}$
3. ${\displaystyle W_{3}=X_{1}^{3}+3X_{3}}$
4. ${\displaystyle W_{4}=X_{1}^{4}+2X_{2}^{2}+4X_{4}}$

وبشكل عام

${\displaystyle W_{n}=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}}$.

مرة أخرى،${\displaystyle (W_{1},W_{2},W_{3},\ldots )}$يُطلق عليه اسم متجه المكونات الوهمية لمتجه ويت${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots )}$ويُشار إليه عادةً بـ${\displaystyle (X^{(1)},X^{(2)},X^{(3)},\ldots )}$.

يمكن استخدام هذه كثيرات الحدود لتعريف حلقة متجهات ويت الشاملة أو حلقة ويت الكبيرة لأي حلقة تبديلية${\displaystyle R}$وبنفس الطريقة المذكورة أعلاه (لذا فإن كثيرات حدود ويت الشاملة هي جميعها تشاكلات مع الحلقة).${\displaystyle R}$).

كما قدم ويت نهجًا آخر باستخدام الدوال المولدة . ^{[ 7 ]}

الخريطة تأخذ حلقة تبديلية${\displaystyle R}$إلى حلقة متجهات ويت فوق${\displaystyle R}$(لعدد أولي ثابت)${\displaystyle p}$) هو دالة من الحلقات التبديلية إلى الحلقات التبديلية، وهو قابل للتمثيل أيضًا ، لذا يمكن اعتباره مخططًا حلقيًا ، يُسمى مخطط ويت ، على${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} ).}$يمكن تحديد مخطط ويت بشكل أساسي مع طيف حلقة الدوال المتناظرة .

وبالمثل، فإن حلقات متجهات ويت المقتطعة، وحلقات متجهات ويت الشاملة تتوافق مع مخططات الحلقات، والتي تسمى مخططات ويت المقتطعة ومخطط ويت الشامل .

علاوة على ذلك، فإن الدالة التي تأخذ الحلقة التبديلية${\displaystyle R}$إلى المجموعة${\displaystyle R^{n}}$يتم تمثيلها بواسطة الفضاء الأفيني${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$والبنية الحلقية على${\displaystyle R^{n}}$اصنع${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$في مخطط حلقي يُشار إليه بـ${\displaystyle {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$من خلال بناء متجهات ويت المقتطعة، يتبين أن مخطط الحلقة المرتبط بها${\displaystyle \mathbb {W} _{n}}$هو المخطط${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}}$بفضل بنية الحلقة الفريدة بحيث يكون التشكل${\displaystyle \mathbb {W} _{n}\to {\underline {\mathcal {O}}}^{n}}$تُعطى بواسطة كثيرات حدود ويت كتشاكل لمخططات الحلقة.

على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية 0، تكون أي زمرة جبرية متصلة أبيلية أحادية القوة متماثلة مع حاصل ضرب نسخ من الزمرة الجمعية.${\displaystyle G_{a}}$نظير ذلك بالنسبة للحقول ذات الخصائص المميزة${\displaystyle p}$هذا غير صحيح: مخططات ويت المبتورة هي أمثلة مضادة . (يتم تحويلها إلى مجموعات جبرية باستخدام البنية الجمعية بدلاً من الضرب). ومع ذلك، فهذه هي الأمثلة المضادة الوحيدة أساسًا: على حقل مغلق جبريًا ذي خاصية${\displaystyle p}$، أي مجموعة جبرية متصلة أبيلية أحادية القوة تكون متجانسة مع ناتج مخططات مجموعة ويت المقتطعة .

شرح أندريه جويال الخاصية العامة لمتجهات ويت (النمطية من الرتبة p ). ^{[ 8 ]} وتتلخص الفكرة الأساسية في أن تكوين متجهات ويت هو الطريقة العامة لتحويل حلقة مميزة من الرتبة p إلى حلقة مميزة من الرتبة 0 مع رفع تشاكل فروبينيوس الخاص بها. ^{[ 9 ]} ولتوضيح ذلك بدقة، نُعرّف${\displaystyle \delta }$-جرس${\textstyle (R,\delta )}$أن تتكون من حلقة تبديلية${\textstyle R}$بالإضافة إلى خريطة للمجموعات${\textstyle \delta :R\to R}$هذا اشتقاق من الرتبة p ، بحيث${\textstyle \delta }$يفي بالعلاقات

• ${\displaystyle \delta (0)=\delta (1)=0}$;
• ${\displaystyle \delta (xy)=x^{p}\delta (y)+y^{p}\delta (x)+p\delta (x)\delta (y)}$;
• ${\displaystyle \delta (x+y)=\delta (x)+\delta (y)+{\frac {x^{p}+y^{p}-(x+y)^{p}}{p}}}$.

التعريف هو بحيث إذا أُعطيَ${\displaystyle \delta }$-جرس${\textstyle (R,\delta )}$إذا قام المرء بتعريف الخريطة${\textstyle \phi :R\to R}$وفقًا للصيغة${\textstyle \phi (x)=x^{p}+p\delta (x)}$، ثم${\textstyle \phi }$هو تشاكل حلقي يرفع فروبينيوس على${\displaystyle R/p}$. على العكس من ذلك، إذا${\textstyle R}$إذا كانت خالية من الالتواء من النوع p ، فإن هذه الصيغة تحدد بشكل فريد بنية a${\displaystyle \delta }$-رنين${\textstyle R}$من مفهوم رفع فروبينيوس. وبالتالي، يمكن للمرء أن ينظر إلى مفهوم${\displaystyle \delta }$-حلقة كبديل مناسب لرافعة فروبينيوس في حالة عدم وجود التواء .

مجموعة${\displaystyle \delta }$الحلقات وتشاكلات الحلقات الخاصة بها فيما يتعلق بـ${\displaystyle \delta }$- تتجمع الهياكل لتشكل فئة${\textstyle \mathrm {CRing} _{\delta }}$ثم يكون لدينا دالة نسيان$${\displaystyle U:\mathrm {CRing} _{\delta }\to \mathrm {CRing} }$$الذي يتطابق مرافقه الأيمن مع الدالة${\textstyle W}$من متجهات ويت. الدالة${\textstyle U}$يُنشئ هذا النظام نهايات ونهايات مشتركة، ويقبل دالة مساعدة يسارية قابلة للوصف بشكل صريح كنوع من الدوال الحرة ؛ ومن هذا، يمكن إثبات أن${\textstyle \mathrm {CRing} _{\delta }}$يرث المظهر المحلي من${\displaystyle \mathrm {CRing} }$بحيث يمكن للمرء أن يبني الدالة${\textstyle W}$باللجوء إلى نظرية الدالة المرافقة .