الجبر السلس

في الجبر ، يُقال إن الجبر التبادلي من الرتبة k، A ، أملس من الرتبة 0 إذا حقق خاصية الرفع التالية: إذا كان لدينا جبر من الرتبة k ، C ، ومثالي N من C مربعه يساوي صفرًا ، وخريطة جبر من الرتبة k${\displaystyle u:A\to C/N}$، يوجد تطبيق جبر k${\displaystyle v:A\to C}$بحيث يكون u هو v متبوعًا بالخريطة الأساسية. إذا وُجد رفع واحد على الأكثر من هذا النوع v ، يُقال إن A غير متفرعة من النوع 0 (أو نظيفة من النوع 0 ). يُقال إن A إيتالية من النوع 0 إذا كانت ناعمة من النوع 0 وغير متفرعة من النوع 0. يُطلق على مفهوم النعومة من النوع 0 أيضًا اسم النعومة الشكلية .

تكون الجبرية k- المولدة بشكل محدود A ناعمة 0 على k إذا وفقط إذا كانت Spec A مخططًا ناعمًا على k .

امتداد الحقل الجبري القابل للفصل L لـ k هو 0-إيتالي فوق k . ^{[ 1 ]} حلقة متسلسلات القوى الرسمية${\displaystyle k[\![t_{1},\ldots ,t_{n}]\!]}$يكون سلسًا عند الصفر فقط عندما${\displaystyle \operatorname {char} k=p>0}$و${\displaystyle [k:k^{p}]<\infty }$(أي أن k له أساس p محدود .) ^{[ 2 ]}

ليكن B جبرًا على A ، ولنفترض أن B معطى طوبولوجيا I -adic، حيث I مثالي في B. نقول إن B أملس I- على A إذا حقق خاصية الرفع التالية: إذا كان لدينا جبر A-، C ، ومثالي N في C مربعه يساوي صفرًا، ودالة جبر A-${\displaystyle u:B\to C/N}$يكون ذلك متصلاً عندما${\displaystyle C/N}$إذا أعطيت الطوبولوجيا المنفصلة ، ​​فإنه يوجد تطبيق جبر A${\displaystyle v:B\to C}$بحيث يكون u هو v متبوعًا بالخريطة الأساسية. وكما في السابق، إذا وُجد رفع واحد على الأكثر من هذا النوع v ، يُقال إن B غير متفرع من النوع I فوق A (أو I -neat ). ويُقال إن B إيتالي من النوع I إذا كان أملسًا من النوع I وغير متفرع من النوع I. إذا كان I هو المثالي الصفري و A حقلًا ، فإن هذه المفاهيم تتطابق مع مفهوم 0-smooth وما إلى ذلك كما هو مُعرّف أعلاه.

ومن الأمثلة الشائعة على ذلك: ليكن A حلقة ،${\displaystyle B=A[\![t_{1},\ldots ,t_{n}]\!]}$و${\displaystyle I=(t_{1},\ldots ,t_{n}).}$إذن B يكون أملسًا من الدرجة I على A.

ليكن A جبرًا محليًا نوثريًا من الرتبة k مع مثالي أقصى${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$إذن، أ هو${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-تنعيم${\displaystyle k}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A\otimes _{k}k'}$هي حلقة منتظمة لأي حقل امتداد منتهٍ${\displaystyle k'}$ل${\displaystyle k}$[ ^{3 ]​}

• التشكل الإيتالي
• التشكل السلس رسميًا
• نظرية بوبيسكو

• ماتسومورا، هـ. (1989). نظرية الحلقات التبادلية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. ترجمة ريد، م. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-36764-6.