تدوين متعدد المؤشرات

تدوين المؤشرات المتعددة هو تدوين رياضي يبسط الصيغ المستخدمة في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، والمعادلات التفاضلية الجزئية ، ونظرية التوزيعات ، من خلال تعميم مفهوم المؤشر الصحيح إلى مجموعة مرتبة من المؤشرات.

الفهرس المتعدد ذو الأبعاد n هو${\textstyle n}$- مترابطة بيانية

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

من الأعداد الصحيحة غير السالبة (أي عنصر من${\textstyle n}$- مجموعة الأعداد الطبيعية ذات الأبعاد ، ويرمز لها بـ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$).

للفهارس المتعددة${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$و${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$، أحد التعريفات:

المجموع والفرق لكل مكون

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

طلب جزئي

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

مجموع المكونات (القيمة المطلقة)

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

مضروب

${\displaystyle \alpha$ !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}

معامل ذي الحدين

${\displaystyle {\binom {\alpha} {\beta}}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha$ !}{\beta  !(\alpha -\beta )!}}}

معامل متعدد الحدود

$${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha$$ !}}} أين${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$.

قوة

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$.

المشتقة الجزئية من الرتبة العليا

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},}$$أين${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$(انظر أيضًا التدرج الرباعي ). أحيانًا يكون الترميز${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}$يُستخدم أيضًا. ^{[ 1 ]}

تتيح صيغة المؤشرات المتعددة توسيع العديد من الصيغ من حساب التفاضل والتكامل الأساسي إلى الحالة المقابلة متعددة المتغيرات. فيما يلي بعض الأمثلة. في جميع ما يلي،${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}$(أو${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)${\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$، و${\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$(أو${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$).

نظرية متعددة الحدود

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}$

نظرية ذات الحدين المتعدد

$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$لاحظ أنه بما أن x + y متجه و α هو مؤشر متعدد، فإن التعبير الموجود على اليسار هو اختصار لـ ( x ₁ + y ₁ ) ^{α ₁} ⋯( x _n + y _n ) ^{α _n} .

صيغة لايبنيز

لوظائف سلسة${\textstyle f}$و${\textstyle g}$،$${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$$

سلسلة تايلور

بالنسبة للدالة التحليلية${\textstyle f}$في${\textstyle n}$المتغيرات التي يمتلكها المرء$${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha$$ في الواقع، بالنسبة لدالة سلسة بما فيه الكفاية، لدينا متسلسلة تايلور مماثلة$${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha$$ !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),} حيث يعتمد الحد الأخير (الباقي) على الصيغة الدقيقة لصيغة تايلور. على سبيل المثال، بالنسبة لصيغة كوشي (مع باقي صحيح)، نحصل على$${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha$$ !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}

المؤثر التفاضلي الجزئي الخطي العام

خطي رسمي${\textstyle N}$المؤثر التفاضلي الجزئي من الرتبة n في${\textstyle n}$تُكتب المتغيرات على النحو التالي:$${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$$

التكامل بالأجزاء

للدوال السلسة ذات الدعم المضغوط في مجال محدود${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$يمتلك المرء$${\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$$تُستخدم هذه الصيغة لتعريف التوزيعات والمشتقات الضعيفة .

لو${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$هي مؤشرات متعددة و${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$، ثم $${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta$$ !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{إذا}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{فيما عدا ذلك.}}\end{cases}}}

دليل

يستند البرهان إلى قاعدة القوة للمشتقة العادية ؛ إذا كانت α و β في${\textstyle \{0,1,2,\ldots \}}$، ثم

$${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta$$ !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{إذا}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{فيما عدا ذلك.}}\end{cases}}}

1

يفترض${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$،${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$، و${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ثم لدينا ذلك $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}$$

لكل${\textstyle i}$في${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$، الوظيفة${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}$يعتمد فقط على${\displaystyle x_{i}}$في ما سبق، كل تفاضل جزئي${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$وبالتالي، يختزل إلى التفاضل العادي المقابل${\displaystyle d/dx_{i}}$وبالتالي، من المعادلة ( 1 )، يتبين أن${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}$يختفي إذا${\textstyle \alpha _{i}>\beta _{i}}$لواحد على الأقل${\textstyle i}$في${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$إذا لم يكن الأمر كذلك، أي إذا${\textstyle \alpha \leq \beta }$كمؤشرات متعددة، إذن $${\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}$$ لكل${\displaystyle i}$وبالتالي، فإن النظرية تتبع.

• ترميز أينشتاين
• تدوين الفهرس
• حساب ريتشي

• سانت ريموند، كزافييه (1991). مقدمة تمهيدية لنظرية المؤثرات التفاضلية الزائفة . الفصل 1.1. مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 0-8493-7158-9

تتضمن هذه المقالة مواد من مشتق متعدد المؤشرات لقوة على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .