القيود الهولونومية

كما هو موضح على اليمين، فإن الرافعة الجسرية هي رافعة علوية قادرة على تحريك خطافها في ثلاثة محاور كما تشير الأسهم. وبشكل بديهي، يمكننا استنتاج أن الرافعة نظام هولونومي، لأنه بالنسبة لحركة معينة لمكوناتها، لا يهم ترتيب أو سرعة حركة هذه المكونات: طالما أن الإزاحة الكلية لكل مكون من وضعية البداية المعطاة متساوية، فإن جميع الأجزاء والنظام ككل سينتهيان في نفس الحالة. ويمكننا إثبات ذلك رياضياً على النحو التالي:

يمكننا تعريف فضاء تكوين النظام على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$

يمكننا القول إن انحراف كل مكون من مكونات الرافعة عن موضعه "الصفري" هو${\displaystyle B}$،${\displaystyle G}$، و${\displaystyle O}$بالنسبة للمكونات الزرقاء والخضراء والبرتقالية على التوالي. لا يؤثر اتجاه نظام الإحداثيات وموضعه على ما إذا كان النظام هولونوميًا، ولكن في هذا المثال، تتحرك المكونات بالتوازي مع محاوره. إذا كان أصل نظام الإحداثيات في الجزء الخلفي السفلي الأيسر من الرافعة، فيمكننا كتابة معادلة قيد الموضع على النحو التالي: $${\displaystyle (x-B)+(y-G)+(z-(h-O))=0}$$

أين${\displaystyle h}$يمثل ارتفاع الرافعة. ويمكننا، اختيارياً، تبسيط المعادلة إلى الصيغة القياسية حيث توضع جميع الثوابت بعد المتغيرات: $${\displaystyle x+y+z-(B+G+h-O)=0}$$

لأننا اشتققنا معادلة قيد في شكل هولونومي (وتحديدًا، معادلة القيد لدينا لها الشكل التالي)${\displaystyle f(x,y,z)=0}$أين${\displaystyle \{x,y,z\}\in \mathbf {u} }$)، يمكننا أن نرى أن هذا النظام يجب أن يكون نظامًا هولونوميًا.

كما هو موضح على اليمين، يتكون البندول البسيط من ثقل وخيط. يُربط الخيط من طرفه العلوي بمحور، ومن طرفه السفلي بثقل. ولأنه غير قابل للتمدد، فإن طول الخيط ثابت. هذا النظام هولونومي لأنه يخضع لشرط الهولونومي.

$${\displaystyle {x^{2}+y^{2}}-L^{2}=0,}$$

أين${\displaystyle (x,\ y)}$هو موضع الوزن و${\displaystyle L}$هو طول السلسلة.

تخضع جسيمات الجسم الصلب للقيد الهولونومي.

$${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}-L_{ij}^{2}=0,\,}$$

أين${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$،${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$تمثل مواقع الجسيمات على التوالي${\displaystyle P_{i}}$و${\displaystyle P_{j}}$، و${\displaystyle L_{ij}}$هي المسافة بينهما. إذا كان النظام المعطى هولونوميًا، فإن ربط أجزاء إضافية بشكل صارم بمكونات النظام المعني لا يمكن أن يجعله غير هولونومي، بافتراض أن درجات الحرية لم تتقلص (بمعنى آخر، بافتراض أن فضاء التكوين لم يتغير).

ضع في اعتبارك هذا النظام الديناميكي الموصوف بمعادلة قيد في شكل بفاف. $${\displaystyle \cos(\theta )dx+\sin(\theta )dy+\left[y\cos(\theta )-x\sin(\theta )\right]d\theta =0}$$

مساحة التكوين، من خلال الفحص، هي${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$بما أن فضاء التكوين لا يحتوي إلا على ثلاثة حدود، فلن نحتاج إلا إلى معادلة اختبار واحدة. يمكننا تنظيم حدود معادلة القيد على النحو التالي، تمهيدًا للتعويض: $${\displaystyle A_{\alpha }=\cos \theta }$$$${\displaystyle A_{\beta }=\sin \theta }$$$${\displaystyle A_{\gamma }=y\cos \theta -x\sin \theta }$$$${\displaystyle u_{\alpha }=dx}$$$${\displaystyle u_{\beta }=dy}$$$${\displaystyle u_{\gamma }=d\theta }$$

وباستبدال الحدود، تصبح معادلة الاختبار لدينا كالتالي: $${\displaystyle \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\sin \theta -{\frac {\partial }{\partial y}}\cos \theta \right]+\sin \theta \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\cos \theta -{\frac {\partial }{\partial x}}(y\cos \theta -x\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[{\frac {\partial }{\partial y}}(y\cos \theta -x\sin \theta )-{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta \right]=0}$$

بعد حساب جميع المشتقات الجزئية، نحصل على: $${\displaystyle (y\cos \theta -x\sin \theta )\left[0-0\right]+\sin \theta \left[-\sin \theta -(-\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[\cos \theta -\cos \theta \right]=0}$$

بالتبسيط، نجد أن: $${\displaystyle 0=0}$$ نرى أن معادلة الاختبار الخاصة بنا صحيحة، وبالتالي، يجب أن يكون النظام هولونوميًا.

لقد أنهينا اختبارنا، ولكن بعد أن علمنا أن النظام هولونومي، قد نرغب في إيجاد معادلة القيد الهولونومي. يمكننا محاولة إيجادها بتكامل كل حد من حدود صيغة بفاف ومحاولة توحيدها في معادلة واحدة، كما يلي: $${\displaystyle \int \cos \theta \,dx=x\cos \theta +f(y,\theta )}$$$${\displaystyle \int \sin \theta \,dy=y\sin \theta +f(x,\theta )}$$$${\displaystyle \int \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)d\theta =y\sin \theta +x\cos \theta +f(x,y)}$$

من السهل أن نرى أنه يمكننا دمج نتائج عمليات التكامل الخاصة بنا لإيجاد معادلة القيد الهولونومية: $${\displaystyle y\sin \theta +x\cos \theta +C=0}$$ حيث C هو ثابت التكامل.

بالنسبة لقيد بفافي معين حيث يكون كل معامل من معاملات كل تفاضل ثابتًا، أو بعبارة أخرى، قيد على الشكل التالي: $${\displaystyle \sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0;\;\{A_{ij},A_{i};\,j=1,2,\ldots$$ ;\,i=1,2,\ldots \}\in \mathbb {R} }

يجب أن يكون القيد شاملاً.

يمكننا إثبات ذلك كما يلي: لنفترض نظام قيود في صيغة بفافيان، حيث يكون كل معامل في كل تفاضل ثابتًا، كما هو موضح أعلاه. لاختبار ما إذا كان نظام القيود هذا هولونوميًا، نستخدم الاختبار الشامل . نلاحظ أن معادلة الاختبار تحتوي على ثلاثة حدود يجب أن يكون مجموعها صفرًا. بالتالي، إذا كان كل حد من هذه الحدود الثلاثة في كل معادلة اختبار ممكنة يساوي صفرًا، فإن جميع معادلات الاختبار صحيحة، وبالتالي يكون النظام هولونوميًا. كل حد من حدود كل معادلة اختبار يكون على الصورة التالية: $${\displaystyle A_{3}\left({\frac {\partial A_{2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial u_{2}}}\right)}$$ أين:

• ${\displaystyle A_{1}}$،${\displaystyle A_{2}}$، و${\displaystyle A_{3}}$هي بعض التوليفات (مع${\textstyle {\binom {n}{3}}=n(n-1)(n-2)/6}$إجمالي التوليفات) من${\displaystyle A_{ij};\,j=1,2,\ldots }$و${\displaystyle A_{i}}$بالنسبة لقيد معين${\displaystyle i}$.
• ${\displaystyle u_{1}}$،${\displaystyle u_{2}}$، و${\displaystyle u_{3}}$هي التركيبة المقابلة لـ${\displaystyle u_{j};\,j=1,2,\ldots }$و${\displaystyle dt}$.

بالإضافة إلى ذلك، هناك${\displaystyle i}$مجموعات من معادلات الاختبار.

يمكننا أن نرى، بحكم التعريف، أن جميع${\displaystyle A_{n}}$هي ثوابت. من المعروف في حساب التفاضل والتكامل أن أي مشتقة (كلي أو جزئي) لأي ثابت هي${\displaystyle 0}$وبالتالي، يمكننا اختزال كل مشتقة جزئية إلى: $${\displaystyle A_{3}{\big (}0-0{\big )}}$$

وبالتالي فإن كل حد يساوي صفرًا، والجانب الأيسر من كل معادلة اختبار يساوي صفرًا، وكل معادلة اختبار صحيحة، والنظام هولونومي.

أي نظام يمكن وصفه بقيد بفافي وله فضاء تكوين أو فضاء حالة من متغيرين فقط أو متغير واحد هو نظام هولونومي.

يمكننا إثبات ذلك على النحو التالي: لنفترض نظامًا ديناميكيًا له فضاء تكوين أو فضاء حالة موصوف على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

إذا تم وصف النظام بواسطة فضاء الحالة، فإننا نقول ببساطة أن${\displaystyle u_{2}}$يساوي متغير الزمن لدينا${\displaystyle t}$سيتم وصف هذا النظام بصيغة بفافيان: $${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}=0}$$

مع${\displaystyle i}$مجموعات من القيود. سيتم اختبار النظام باستخدام الاختبار الشامل. مع ذلك، يتطلب الاختبار الشامل ثلاثة متغيرات في فضاء التكوين أو الحالة. ولتجاوز ذلك، نضيف ببساطة متغيرًا وهميًا.${\displaystyle \lambda }$إلى التكوين أو مساحة الحالة لتشكيل: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\lambda \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

لأن المتغير الوهمي${\displaystyle \lambda }$بحكم التعريف، لا يُعدّ مقياسًا لأي شيء في النظام، لذا يجب أن يكون معامله في صيغة بفافيان${\displaystyle 0}$وهكذا نقوم بمراجعة شكل بفافيان الخاص بنا: $${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}+0\,d\lambda =0}$$

والآن يمكننا استخدام الاختبار على هذا النحو، لقيد معين.${\displaystyle i}$إذا كانت هناك مجموعة من القيود: $${\displaystyle 0\left({\frac {\partial A_{i2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{i1}}{\partial u_{2}}}\right)+A_{i2}\left({\frac {\partial A_{i1}}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}0\right)+A_{i1}\left({\frac {\partial }{\partial u_{2}}}0-{\frac {\partial A_{i2}}{\partial \lambda }}\right)=0}$$

عند إدراك ذلك  :${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \lambda }}f(u_{1},u_{2})=0}$لأن المتغير الوهمي${\displaystyle \lambda }$إذا لم يظهر هذا المتغير في المعاملات المستخدمة لوصف النظام، نلاحظ أن معادلة الاختبار يجب أن تكون صحيحة لجميع مجموعات معادلات القيود، وبالتالي يجب أن يكون النظام هولونوميًا. ويمكن إجراء برهان مماثل باستخدام متغير فعلي واحد في فضاء التكوين أو الحالة ومتغيرين وهميين لتأكيد أن الأنظمة ذات درجة حرية واحدة والقابلة للوصف بصيغة بفاف هي أيضًا أنظمة هولونومية دائمًا.

في الختام، ندرك أنه على الرغم من أنه من الممكن نمذجة الأنظمة غير الهولونومية في شكل بفاف، فإن أي نظام قابل للنمذجة في شكل بفاف مع درجتين أو أقل من درجات الحرية (عدد درجات الحرية يساوي عدد الحدود في فضاء التكوين) يجب أن يكون هولونوميًا.

ملاحظة هامة: يجب إدراك أن معادلة الاختبار فشلت لأن المتغير الوهمي، وبالتالي التفاضل الوهمي المُضمّن في الاختبار، سيُفاضل أي شيء هو دالة لمتغيرات التكوين الفعلي أو متغيرات فضاء الحالة إلى${\displaystyle 0}$امتلاك نظام ذي تكوين أو مساحة حالة من: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

ومجموعة من القيود حيث يكون قيد واحد أو أكثر في شكل بفافيان: $${\displaystyle A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}+0du_{3}=0}$$

لا يضمن ذلك أن النظام هولونومي، لأنه حتى لو كان لأحد التفاضلات معامل من${\displaystyle 0}$، لا تزال هناك ثلاث درجات من الحرية موصوفة في فضاء التكوين أو فضاء الحالة.