نقل الهيكل

في الرياضيات ، وخاصة في الجبر الشامل ونظرية الفئات ، يشير نقل البنية إلى العملية التي يكتسب من خلالها كائن رياضي بنية جديدة وتعريفاته الأساسية ، نتيجةً لكونه متماثلاً (أو مُعرَّفاً بطريقة أخرى) مع كائن آخر ذي بنية موجودة مسبقاً. ^{[ 1 ]} وتُعتبر التعريفات الناتجة عن نقل البنية تعريفات أساسية.

بما أن البنى الرياضية تُعرَّف غالبًا بالرجوع إلى فضاء أساسي ، فإن العديد من أمثلة نقل البنية تتضمن فضاءات وتعيينات بينها. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$هي فضاءات متجهة مع${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$كونه منتجًا داخليًا${\displaystyle W}$بحيث يكون هناك تماثل${\displaystyle \phi }$من${\displaystyle V}$ل${\displaystyle W}$عندئذٍ يمكن تعريف الضرب الداخلي${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$على${\displaystyle V}$وفقًا للقاعدة التالية:

${\displaystyle [v_{1},v_{2}]=(\phi (v_{1}),\phi (v_{2}))}$

على الرغم من أن المعادلة تبدو منطقية حتى عندما${\displaystyle \phi }$ليس تماثلاً، بل يُعرّف فقط جداءً داخلياً على${\displaystyle V}$متى${\displaystyle \phi }$وإلا فإنه سيؤدي إلى${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$أن يكون منحطًا . الفكرة هي أن${\displaystyle \phi }$يسمح ذلك للمرء بالتفكير${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$باعتبارها فضاء متجه "متماثل"، وباتباع هذا القياس، يمكن للمرء نقل الضرب الداخلي من فضاء إلى آخر.

يأتي مثال أكثر تفصيلاً من الطوبولوجيا التفاضلية ، حيث يُستخدم مفهوم التشعب الأملس : إذا${\displaystyle M}$هذا متعدد الأوجه، وإذا${\displaystyle X}$أي فضاء طوبولوجي متماثل مع${\displaystyle M}$عندها يمكن للمرء أن يفكر${\displaystyle X}$كما هو الحال بالنسبة لمتشعب أملس أيضًا. أي، بالنظر إلى تماثل طوبولوجي${\displaystyle \phi \colon X\to M}$يمكن تعريف مخططات الإحداثيات على${\displaystyle X}$عن طريق "سحب" مخططات الإحداثيات على${\displaystyle M}$خلال${\displaystyle \phi }$تذكر أن مخطط الإحداثيات على${\displaystyle M}$هي مجموعة مفتوحة${\displaystyle U}$بالإضافة إلى خريطة حقنية

${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$

لبعض الأعداد الطبيعية${\displaystyle n}$للحصول على مثل هذا الرسم البياني${\displaystyle X}$، يتم استخدام القواعد التالية:

${\displaystyle U'=\phi ^{-1}(U)}$و${\displaystyle c'=c\circ \phi }$.

علاوة على ذلك، يُشترط أن تغطي الرسوم البيانية${\displaystyle M}$(حقيقة أن الخرائط المنقولة تغطي${\displaystyle X}$ويترتب على ذلك مباشرة حقيقة أن${\displaystyle \phi }$(هو تقابل ). بما أن${\displaystyle M}$هو متعدد شعب أملس ، إذا كان U و V ، مع خرائطهما${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle d\colon V\to \mathbb {R} ^{n}}$، هما رسمان بيانيان على${\displaystyle M}$ثم التركيب، "خريطة الانتقال"

${\displaystyle d\circ c^{-1}\colon c(U\cap V)\to \mathbb {R} ^{n}}$(خريطة ذاتية لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)

سلس. للتحقق من ذلك بالنسبة للخرائط المنقولة على${\displaystyle X}$لاحظ أن

${\displaystyle \phi ^{-1}(U)\cap \phi ^{-1}(V)=\phi ^{-1}(U\cap V)}$،

وبالتالي

${\displaystyle c'(U'\cap V')=(c\circ \phi )(\phi ^{-1}(U\cap V))=c(U\cap V)}$، و

${\displaystyle d'\circ (c')^{-1}=(d\circ \phi )\circ (c\circ \phi )^{-1}=d\circ (\phi \circ \phi ^{-1})\circ c^{-1}=d\circ c^{-1}}$.

وبالتالي فإن خريطة الانتقال لـ${\displaystyle U'}$و${\displaystyle V'}$هو نفسه بالنسبة لـ${\displaystyle U}$و${\displaystyle V}$وبالتالي، فهو أملس. أي${\displaystyle X}$هو فضاء متعدد الشعب أملس عبر نقل البنية. هذه حالة خاصة من نقل البنى بشكل عام. ^{[ 2 ]}

يوضح المثال الثاني أيضًا لماذا لا يُعد "نقل الهيكل" أمرًا مرغوبًا فيه دائمًا. أي أنه يمكن للمرء أن يأخذ${\displaystyle M}$أن تكون الطائرة، و${\displaystyle X}$أن يكون مخروطًا لانهائيًا أحادي الجانب. من خلال "تسطيح" المخروط، يصبح هناك تماثل شكلي لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle M}$يمكن الحصول على ذلك، وبالتالي بنية مشعب أملس على${\displaystyle X}$لكن المخروط ليس "بطبيعته" مشعبًا أملسًا. أي، يمكن للمرء أن يعتبر${\displaystyle X}$باعتبارها فضاءً فرعياً من الفضاء ثلاثي الأبعاد، وفي هذا السياق لا تكون ناعمة عند نقطة المخروط.

ومن الأمثلة الأكثر إثارة للدهشة مثال الكرات الغريبة ، الذي اكتشفه جون ميلنور ، والذي ينص على وجود 28 مشعبًا أملسًا بالضبط متماثلة شكليًا ولكنها غير متماثلة تباينيًا مع${\displaystyle S^{7}}$، الكرة ذات الأبعاد السبعة في الفضاء ذي الأبعاد الثمانية. وبالتالي، يكون نقل البنية أكثر إنتاجية عندما يوجد تماثل معياري بين الكائنين.

• قائمة المصطلحات الرياضية
• تعريفات مكافئة للبنى الرياضية#نقل البنى؛ التشاكل