تناظر الإزاحة الزمنية

لوصف تناظر الإزاحة الزمنية بشكل رسمي، نقول المعادلات أو القوانين التي تصف نظامًا ما في أوقات معينة.${\displaystyle t}$و${\displaystyle t+\tau }$وهي متماثلة لأي قيمة من${\displaystyle t}$و${\displaystyle \tau }$.

على سبيل المثال، بالنظر إلى معادلة نيوتن:

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {dV}{dx}}(x)}$

يجد المرء حلولاً لها${\displaystyle x=x(t)}$التركيبة:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {x}}(t)^{2}+V(x(t))}$

لا يعتمد على المتغير${\displaystyle t}$بطبيعة الحال، تصف هذه الكمية الطاقة الكلية التي يُعزى حفظها إلى ثبات معادلة الحركة مع تغير الزمن. بدراسة تركيب تحويلات التناظر، كالأشكال الهندسية مثلاً، نصل إلى استنتاج مفاده أنها تُشكّل زمرة، وتحديداً زمرة تحويلات لي إذا ما أخذنا في الاعتبار تحويلات التناظر المستمرة والمحدودة. تُشكّل التناظرات المختلفة زمراً مختلفة ذات أشكال هندسية مختلفة. تُشكّل أنظمة هاميلتون المستقلة عن الزمن زمرة من التحولات الزمنية تُوصف بواسطة زمرة لي غير المدمجة والتبادلية .${\displaystyle \mathbb {R} }$لذا، فإن تناظر TTS هو تناظر ديناميكي أو يعتمد على الهاميلتوني، وليس تناظرًا حركيًا، والذي سيكون متطابقًا لمجموعة الهاميلتونيات المعنية بأكملها. ويمكن رؤية أمثلة أخرى في دراسة معادلات التطور الزمني في الفيزياء الكلاسيكية والكمية.

تُعدّ العديد من المعادلات التفاضلية التي تصف معادلات التطور الزمني تعبيرات عن ثوابت مرتبطة ببعض زمر لي، وتُوفّر نظرية هذه الزمر منظورًا موحدًا لدراسة جميع الدوال الخاصة وخصائصها. في الواقع، ابتكر سوفوس لي نظرية زمر لي أثناء دراسته لتناظرات المعادلات التفاضلية. يرتبط تكامل المعادلة التفاضلية (الجزئية) بطريقة فصل المتغيرات أو بطرق جبر لي ارتباطًا وثيقًا بوجود التناظرات. على سبيل المثال، يمكن إرجاع قابلية حل معادلة شرودنغر في ميكانيكا الكم إلى الثوابت الأساسية. في الحالة الأخيرة، يسمح البحث في التناظرات بتفسير حالات الانحلال ، حيث تمتلك تكوينات مختلفة نفس الطاقة، والتي تحدث عادةً في طيف طاقة الأنظمة الكمومية. غالبًا ما تُصاغ التناظرات المستمرة في الفيزياء بدلالة التحويلات المتناهية الصغر بدلًا من التحويلات المحدودة، أي يُنظر إلى جبر لي بدلًا من زمرة لي للتحويلات.

ثبات الهاميلتوني${\displaystyle {\hat {H}}}$إن حفظ الطاقة في نظام معزول يخضع لانتقال زمني يعني أن طاقته لا تتغير بمرور الوقت. وينص قانون حفظ الطاقة، وفقًا لمعادلات هايزنبرغ للحركة، على أن${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {H}}]=0}$.

${\displaystyle [e^{i{\hat {H}}t/\hbar },{\hat {H}}]=0}$

أو:

${\displaystyle [{\hat {T}}(t),{\hat {H}}]=0}$

أين${\displaystyle {\hat {T}}(t)=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }}$هو عامل الإزاحة الزمنية الذي يعني ثبات الهاميلتوني تحت عملية الإزاحة الزمنية ويؤدي إلى حفظ الطاقة.

في العديد من نظريات المجال غير الخطية، مثل النسبية العامة ونظريات يانغ-ميلز ، تكون معادلات المجال الأساسية غير خطية للغاية، ولا تُعرف حلول دقيقة إلا لتوزيعات المادة "المتناظرة بدرجة كافية" (مثل التكوينات المتناظرة دورانيًا أو محوريًا). ويُضمن تناظر الإزاحة الزمنية فقط في الزمكانات التي يكون فيها المقياس ثابتًا: أي حيث يوجد نظام إحداثيات لا تحتوي معاملات المقياس فيه على متغير زمني. والعديد من أنظمة النسبية العامة ليست ثابتة في أي إطار مرجعي، لذا لا يمكن تعريف الطاقة المحفوظة.