توزيع شبه الاحتمال

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 58 صور
الموسوعة الحرة

يُعدّ التوزيع شبه الاحتمالي كائنًا رياضيًا مشابهًا للتوزيع الاحتمالي ، ولكنه يُخفف بعض بديهيات كولموغوروف في نظرية الاحتمالات . وتظهر التوزيعات شبه الاحتمالية بشكل طبيعي في دراسة ميكانيكا الكم عند معالجتها في صياغة فضاء الطور ، وهي صياغة شائعة الاستخدام في البصريات الكمية ، وتحليل الزمن والتردد ، [ 1 ] وغيرها.

تتشابه شبه الاحتمالات مع الاحتمالات العادية في العديد من الخصائص العامة، لا سيما قدرتها على حساب القيم المتوقعة بالنسبة لأوزان التوزيع . مع ذلك، قد تُخالف شبه الاحتمالات بديهية الجمع σ : فالتكامل عليها لا يُنتج بالضرورة احتمالات لحالات متنافية. كما تحتوي توزيعات شبه الاحتمالات على مناطق ذات كثافة احتمالية سالبة ، وهو ما يُخالف البديهية الأولى .

مقدمة

في أبسط صورها، تُحدد ديناميكيات النظام الكمومي بواسطة معادلة رئيسية في فضاء هيلبرت : معادلة حركة لمؤثر الكثافة (عادةً ما تُكتبρ^{\displaystyle {\widehat {\rho }}}يُعرَّف مُؤثر الكثافة بالنسبة إلى أساس متعامد كامل . على الرغم من إمكانية تكامل هذه المعادلة مباشرةً للأنظمة الصغيرة جدًا (أي الأنظمة ذات عدد قليل من الجسيمات أو درجات الحرية)، إلا أن ذلك يصبح غير عملي بسرعة للأنظمة الأكبر حجمًا. مع ذلك، يمكن إثبات [ 2 ] أن مُؤثر الكثافة يُمكن كتابته دائمًا بصيغة قطرية ، شريطة أن يكون ذلك بالنسبة إلى أساس زائد . عندما يُمثَّل مُؤثر الكثافة في مثل هذا الأساس الزائد، فإنه يُمكن كتابته بطريقة تُشبه الدالة العادية، على حساب أن الدالة تحمل خصائص توزيع شبه احتمالي. عندئذٍ، يتحدد تطور النظام كليًا بتطور دالة التوزيع شبه الاحتمالي.

الحالات المتماسكة ، أي الحالات الذاتية اليمنى لمؤثر الإفناءأ^{\displaystyle {\widehat {a}}}تُشكّل هذه الحالات أساسًا مكتملًا في البناء الموصوف أعلاه. وبحسب التعريف، تتمتع الحالات المتماسكة بالخاصية التالية: أ^|α⟩=α|α⟩⟨α|أ^†=⟨α|α*.{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {a}}|\alpha \rangle &=\alpha |\alpha \rangle \\[1ex]\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }&=\langle \alpha |\alpha ^{*}.\end{محاذاة}}}

كما أن لها بعض الخصائص الأخرى المثيرة للاهتمام. على سبيل المثال، لا توجد حالتان متماسكتان متعامدتان. في الواقع، إذا كان | α⟩ و | β⟩ زوجًا من الحالات المتماسكة، فإن⟨β|α⟩=هـ-12(|β|2+|α|2-2β*α)≠دلتا(α-β).{\displaystyle \langle \beta \mid \alpha \rangle =e^{-{\frac {1}{2}}(\left|\beta \right|^{2}+\left|\alpha \right|^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta ).} لاحظ أن هذه الحالات، مع ذلك، مُعايَرة بشكل صحيح حيث ⟨α | α⟩ = 1. ونظرًا لاكتمال أساس حالات فوك ، فإن اختيار أساس الحالات المتماسكة يجب أن يكون زائدًا عن الاكتمال. [ 3 ] انقر لعرض برهان غير رسمي.

في أساس الحالات المتماسكة، من الممكن دائمًا [ 2 ] التعبير عن مؤثر الكثافة بالشكل القطري ρ^=∫و(α،α*)|α⟩⟨α|د2α{\displaystyle {\widehat {\rho }}=\int f(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha } حيث تمثل f توزيع فضاء الطور. وتُعتبر هذه الدالة f دالة كثافة احتمالية شبهية لأنها تتمتع بالخصائص التالية:

  • ∫و(α،α*)د2α=tr⁡(ρ^)=1{\displaystyle \int f(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha =\operatorname {tr} ({\widehat {\rho }})=1}(تطبيع)
  • لوزΩ(أ^،أ^†){\displaystyle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })}إذا كان المؤثر عبارة عن متسلسلة قوى لمؤثري الإنشاء والإفناء في ترتيب Ω، فإن قيمته المتوقعة هي⟨زΩ(أ^،أ^†)⟩=∫و(α،α*)زΩ(α،α*)دαدα*{\displaystyle \langle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })\rangle =\int f(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d\alpha \,d\alpha ^{*}}( نظرية التكافؤ البصري ).

توجد مجموعة من التمثيلات المختلفة، يرتبط كل منها بترتيب مختلف Ω . يُعدّ توزيع ويغنر شبه الاحتمالي الأكثر شيوعًا في أدبيات الفيزياء العامة، وهو أولها تاريخيًا ، [ 4 ] ويرتبط بترتيب المؤثرات المتناظر. في البصريات الكمومية تحديدًا، غالبًا ما تُعبّر المؤثرات محل الاهتمام، وخاصة مؤثر عدد الجسيمات ، بشكل طبيعي بالترتيب الطبيعي . في هذه الحالة، يكون التمثيل المقابل لتوزيع فضاء الطور هو تمثيل غلاوبر-سودارشان P. [ 5 ] يُفهم الطابع شبه الاحتمالي لتوزيعات فضاء الطور هذه على أفضل وجه في تمثيل P نظرًا للعبارة الرئيسية التالية: [ 6 ] 

إذا كان للنظام الكمومي نظير كلاسيكي، كحالة متماسكة أو إشعاع حراري ، فإن P تكون غير سالبة في كل مكان، مثل توزيع الاحتمال العادي. أما إذا لم يكن للنظام الكمومي نظير كلاسيكي، كحالة فوك غير متماسكة أو نظام متشابك ، فإن P تكون سالبة في بعض المواضع أو أكثر تفرداً من دالة دلتا .

هذا التعميم غير صالح في التمثيلات الأخرى. على سبيل المثال، دالة ويغنر لحالة EPR موجبة تمامًا ولكن ليس لها نظير كلاسيكي. [ 7 ] [ 8 ]

إضافةً إلى التمثيلات المذكورة أعلاه، توجد العديد من توزيعات شبه الاحتمالية الأخرى التي تظهر في تمثيلات بديلة لتوزيع فضاء الطور. ومن التمثيلات الشائعة الأخرى تمثيل هوسيمي Q [ 9 ] ، وهو مفيد عندما تكون المؤثرات في ترتيب مضاد للطبيعي. ومؤخرًا، استُخدم تمثيل P الموجب وفئة أوسع من تمثيلات P المعممة لحل مسائل معقدة في البصريات الكمومية. جميع هذه التمثيلات متكافئة وقابلة للتحويل المتبادل، كما هو الحال في دالة توزيع فئات كوهين .

الوظائف المميزة

على غرار نظرية الاحتمالات، يمكن كتابة توزيعات شبه الاحتمال الكمومي بدلالة الدوال المميزة ، والتي يمكن من خلالها اشتقاق جميع القيم المتوقعة للمؤثرات. وفيما يلي الدوال المميزة لتوزيعات ويغنر، وغلاوبر P، وQ لنظام ذي N نمط:

  • χدبليو(z،z*)=tr⁡[ρخبرة⁡(أناz⋅أ^+أناz*⋅أ^†)]{\displaystyle \chi _{W}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} \left[\rho \exp \left(i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}+i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\خنجر }\يمين)\يمين]}
  • χP(z،z*)=tr⁡[ρخبرة⁡(أناz*⋅أ^†)خبرة⁡(أناz⋅أ^)]{\displaystyle \chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} \left[\rho \exp \left(i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }\right)\exp \left(i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}\right)\right]}
  • χسؤال(z،z*)=tr⁡[ρخبرة⁡(أناz⋅أ^)خبرة⁡(أناz*⋅أ^†)]{\displaystyle \chi _{Q}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} \left[\rho \exp \left(i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}\right)\exp \left(i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }\right)\right]}

هناأ^{\displaystyle {\widehat {\mathbf {a} }}}وأ^†{\displaystyle {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}هي متجهات تحتوي على معاملات الإفناء والإنشاء لكل نمط من أنماط النظام. يمكن استخدام هذه الدوال المميزة لتقييم القيم المتوقعة لعزوم المعاملات مباشرةً. يختلف ترتيب معاملات الإفناء والإنشاء في هذه العزوم باختلاف الدالة المميزة. على سبيل المثال، يمكن تقييم العزوم المرتبة ترتيبًا طبيعيًا (معاملات الإنشاء تسبق معاملات الإفناء) بالطريقة التالية منχP{\displaystyle \chi _{P}\,}:

⟨أ^ج†مأ^كن⟩=∂م+ن∂(أناzج*)م∂(أناzك)نχP(z،z*)|z=z*=0{\displaystyle \left\langle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger m}{\widehat {a}}_{k}^{n}\right\rangle =\left.{\frac {\partial ^{m+n}}{\partial (iz_{j}^{*})^{m}\partial (iz_{k})^{n}}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}=0}}

وبالمثل، يمكن حساب القيم المتوقعة لتراكيب عوامل الإفناء والإنشاء المرتبة ترتيبًا عكسيًا ومتناظرًا من الدوال المميزة لتوزيعي Q وويغنر، على التوالي. وتُعرَّف دوال شبه الاحتمال نفسها على أنها تحويلات فورييه للدوال المميزة المذكورة أعلاه. أي،

{دبليو|P|سؤال}(α،α*)=1π2شمال∫χ{دبليو|P|سؤال}(z،z*)هـ-أناz*⋅α*هـ-أناz⋅αد2شمالz.{\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2N}}}\int \chi _{\{W\mid P\mid Q\}}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})e^{-i\mathbf {z} ^{*}\cdot \mathbf {\alpha } ^{*}}e^{-i\mathbf {z} \cdot \mathbf {\alpha } }\,d^{2N}\mathbf {z} .}

هناαج{\displaystyle \alpha _{j}\,}وαك*{\displaystyle \alpha _{k}^{*}}يمكن تعريفها على أنها سعات حالة متماسكة في حالة توزيعات غلاوبر P و Q، ولكنها ببساطة أعداد c لدالة ويغنر. وبما أن التفاضل في الفضاء الطبيعي يتحول إلى ضرب في فضاء فورييه، فيمكن حساب العزوم من هذه الدوال بالطريقة التالية:

  • ⟨أ^ج†مأ^كن⟩=∫P(α،α*)αجنαك*مد2شمالα{\displaystyle \langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n}\rangle =\int P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{n}\alpha _{k}^{*m}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }
  • ⟨أ^جمأ^ك†ن⟩=∫سؤال(α،α*)αجمαك*ند2شمالα{\displaystyle \langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{\dagger n}\rangle =\int Q(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }
  • ⟨(أ^ج†مأ^كن)S⟩=∫دبليو(α،α*)αجمαك*ند2شمالα{\displaystyle \langle ({\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n})_{S}\rangle =\int W(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } }

هنا(⋯)S{\displaystyle (\cdots )_{S}}يشير إلى الترتيب المتناظر.

ترتبط هذه التمثيلات جميعها ببعضها البعض من خلال عملية الالتفاف بواسطة دوال غاوسية ، وتحويلات فايرشتراس ،

  • دبليو(α،α*)=2π∫P(β،β*)هـ-2|α-β|2د2β{\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta }
  • سؤال(α،α*)=2π∫دبليو(β،β*)هـ-2|α-β|2د2β{\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta }

أو، باستخدام خاصية أن الالتفاف تجميعي ،سؤال(α،α*)=1π∫P(β،β*)هـ-|α-β|2د2β .{\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ~.}

ويترتب على ذلك أنP(α،α*)=1π2∫سؤال(β،β*)هـ|λ|2+λ*(α-β)-λ(α-β)*د2β د2λ،{\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int Q(\beta ,\beta ^{*})e^{|\lambda |^{2}+\lambda ^{*}(\alpha -\beta )-\lambda (\alpha -\beta )^{*}}\,d^{2}\beta ~d^{2}\lambda ,}

غالباً ما يكون التكامل متباعداً، مما يشير إلى أن P غالباً ما يكون توزيعاً. ويكون Q دائماً أوسع من P لنفس مصفوفة الكثافة. [ 10 ]

على سبيل المثال، بالنسبة للحالة الحرارية، ρ^=1ن¯+1∑ن=0∞(ن¯1+ن¯)ن|ن⟩⟨ن| ،{\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {1}{{\bar {n}}+1}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\bar {n}}{1+{\bar {n}}}}\right)^{n}|n\rangle \langle n|~,} يمتلك المرء P(α)=1πن¯هـ-|α|2ن¯،سؤال(α)=1π(1+ن¯)هـ-|α|21+ن¯ .{\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi {\bar {n}}}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{\bar {n}}}},\qquad Q(\alpha )={\frac {1}{\pi (1+{\bar {n}})}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{1+{\bar {n}}}}}~.}

تطور الزمن ومعاملات التوافق

بما أن كل تحويل من التحويلات المذكورة أعلاه من ρ إلى دوال التوزيع هو تحويل خطي ، فإنه يمكن الحصول على معادلة الحركة لكل توزيع عن طريق إجراء نفس التحويلات إلىρ˙{\displaystyle {\dot {\rho }}}علاوة على ذلك، بما أن أي معادلة رئيسية يمكن التعبير عنها بصيغة ليندبلاد تُوصف تمامًا بفعل تراكيب من مؤثرات الإفناء والإنشاء على مؤثر الكثافة، فمن المفيد دراسة تأثير هذه العمليات على كل دالة من دوال شبه الاحتمال. [ 11 ] [ 12 ]

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك عامل الإفناءأ^ج{\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\,}بالنسبة للدالة المميزة لتوزيع P، لدينا: tr⁡(أ^جρهـأناz*⋅أ^†هـأناz⋅أ^)=∂∂(أناzج)χP(z،z*).{\displaystyle \operatorname {tr} ({\widehat {a}}_{j}\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})={\frac {\partial }{\partial (iz_{j})}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}).}

إجراء تحويل فورييه بالنسبة إلىz{\displaystyle \mathbf {z} \,}لإيجاد الفعل المقابل على دالة Glauber P، نجد أ^جρ→αجP(α،α*).{\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \alpha _{j}P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*}).}

باتباع هذا الإجراء لكل توزيع من التوزيعات المذكورة أعلاه، يمكن تحديد تطابقات المشغل التالية:

  • أ^جρ→(αج+κ∂∂αج*){دبليو|P|سؤال}(α،α*){\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}
  • ρأ^ج†→(αج*+κ∂∂αج){دبليو|P|سؤال}(α،α*){\displaystyle \rho {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}
  • أ^ج†ρ→(αج*-(1-κ)∂∂αج){دبليو|P|سؤال}(α،α*){\displaystyle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}
  • ρأ^ج→(αج-(1-κ)∂∂αج*){دبليو|P|سؤال}(α،α*){\displaystyle \rho {\widehat {a}}_{j}\rightarrow \left(\alpha _{j}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})}

هنا ، κ = 0 أو 1/2 أو 1 لتوزيعات P وWigner وQ على التوالي. وبهذه الطريقة، يمكن التعبير عن المعادلات الرئيسية كمعادلات حركة لدوال شبه الاحتمالية.

أمثلة

حالة متماسكة

بحسب التصميم، P لحالة متماسكة|α0⟩{\displaystyle |\alpha _{0}\rangle }هي ببساطة دالة دلتا: P(α،α*)=دلتا2(α-α0).{\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})=\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0}).} ينتج تمثيل ويغنر و Q مباشرة من صيغ الالتفاف الغاوسي المذكورة أعلاه، دبليو(α،α*)=2π∫دلتا2(β-α0)هـ-2|α-β|2د2β=2πهـ-2|α-α0|2سؤال(α،α*)=1π∫دلتا2(β-α0)هـ-|α-β|2د2β=1πهـ-|α-α0|2.{\displaystyle {\begin{aligned}W(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {2}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta \\[1ex]&={\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}\\[1.5ex]Q(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta \\[1ex]&={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}.\end{aligned}}}

يمكن أيضاً إيجاد تمثيل هوسيمي باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه للضرب الداخلي لحالتين متماسكتين، سؤال(α،α*)=1π⟨α|ρ^|α⟩=1π|⟨α0|α⟩|2=1πهـ-|α-α0|2{\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle \alpha _{0}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}}

ولاية فوك

تمثيل P لحالة فوك|ن⟩{\displaystyle |n\rangle }يكون P(α،α*)=هـ|α|2ن!∂2ن∂α*ن∂αندلتا2(α).{\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{*n}\,\partial \alpha ^{n}}}\delta ^{2}(\alpha ).}

بما أن هذه الحالة، عندما n > 0، تكون أكثر تفردًا من دالة دلتا، فإن حالة فوك ليس لها نظير كلاسيكي. يصبح الطابع غير الكلاسيكي أقل وضوحًا عند استخدام الالتفافات الغاوسية. إذا كانت L <sub>n</sub> هي متعددة حدود لاغير من الرتبة n ، فإن W هي دبليو(α،α*)=(-1)ن2πهـ-2|α|2لن(4|α|2) ،{\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})={\left(-1\right)}^{n}{\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha |^{2}}L_{n}{\left(4|\alpha |^{2}\right)}~,} والتي يمكن أن تصبح سالبة ولكنها محدودة.

أما Q ، على النقيض من ذلك، فتبقى دائماً موجبة ومحدودة. سؤال(α،α*)=1π⟨α|ρ^|α⟩=1π|⟨ن|α⟩|2=1πن!|⟨0|أ^ن|α⟩|2=|α|2نπن!|⟨0|α⟩|2 .{\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi n!}}|\langle 0|{\widehat {a}}^{n}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {|\alpha |^{2n}}{\pi n!}}|\langle 0|\alpha \rangle |^{2}~.}

مذبذب توافقي كمي مخمد

لنفترض وجود مذبذب توافقي كمومي مخمد ذي معادلة رئيسية كما يلي، دρ^دت=أناω0[ρ^،أ^†أ^]+γ2(2أ^ρ^أ^†-أ^†أ^ρ^-ρأ^†أ^)+γ⟨ن⟩(أ^ρ^أ^†+أ^†ρ^أ^-أ^†أ^ρ^-ρ^أ^أ^†).{\displaystyle {\frac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}=i\omega _{0}[{\widehat {\rho }},{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}]+{\frac {\gamma }{2}}\left(2{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-\rho {\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}\right)+\gamma \langle n\rangle \left({\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }\right).}

وينتج عن ذلك معادلة فوكر-بلانك ، ∂∂ت{دبليو|P|سؤال}(α،α*،ت)=[(γ2+أناω0)∂∂αα+(γ2-أناω0)∂∂α*α*+γ(⟨ن⟩+κ)∂2∂α∂α*]{دبليو|P|سؤال}(α،α*،ت)،{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)=\left[\left({\frac {\gamma }{2}}+i\omega _{0}\right){\frac {\partial }{\partial \alpha }}\alpha +\left({\frac {\gamma }{2}}-i\omega _{0}\right){\frac {\partial }{\partial \alpha ^{*}}}\alpha ^{*}+\gamma \left(\langle n\rangle +\kappa \right){\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \,\partial \alpha ^{*}}}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t),} حيث κ  =  0، 1/2، 1 للتمثيلات P و W و Q على التوالي.

إذا كان النظام في البداية في حالة متماسكة|α0⟩{\displaystyle |\alpha _{0}\rangle }إذن، هذه المعادلة لها حل {دبليو|P|سؤال}(α،α*،ت)=1π[κ+⟨ن⟩(1-هـ-γت)]خبرة⁡[-|α-α0هـ-(γ2+أناω0)ت|2κ+⟨ن⟩(1-هـ-γت)] .{\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)={\frac {1}{\pi \left[\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-\gamma t}\right)\right]}}\exp \left[-{\frac {\left|\alpha -\alpha _{0}e^{-\left({\frac {\gamma }{2}}+i\omega _{0}\right)t}\right|^{2}}{\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-\gamma t}\right)}}\right]~.}

عوامل الإنشاء والإفناء

لنفترض وجود عوامل تشغيل بسيطة من الشكليا=أ^نأ^†م{\displaystyle O={\hat {a}}^{n}{\hat {a}}^{\dagger m}}ثم تكون الدوال المميزة هيχسؤال(z،z*)=هـ-|z|2χP(z،z*)،χدبليو(z،z*)=هـ-|z|2/2χP(z،z*)،χP(z،z*)=π∂ن+م∂(أناz)ن∂(أناz*)مدلتا2(z).{\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{Q}(z,z^{*})&=e^{-|z|^{2}}\chi _{P}(z,z^{*}),\\\chi _{W}(z,z^{*})&=e^{-|z|^{2}/2}\chi _{P}(z,z^{*}),\\\chi _{P}(z,z^{*})&=\pi {\frac {\partial ^{n+m}}{\partial (iz)^{n}\partial (iz^{*})^{m}}}\delta ^{2}(z).\end{aligned}}}توزيعات شبه الاحتمال المقابلة هيسؤال(α،α*)=1π∂ن+م∂(أناz)ن∂(أناz*)مهـ-|z|2هـأناzα+أناz*α*|z=z*=0،دبليو(α،α*)=1π∂ن+م∂(أناz)ن∂(أناz*)مهـ-|z|2/2هـأناzα+أناz*α*|z=z*=0،P(α،α*)=1παنα*م.{\displaystyle {\begin{aligned}Q(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}\left.{\frac {\partial ^{n+m}}{\partial (iz)^{n}\partial (iz^{*})^{m}}}e^{-|z|^{2}}e^{iz\alpha +iz^{*}\alpha ^{*}}\right|_{z=z^{*}=0},\\W(\alpha ,\alpha ^{*})&=\left.{\frac {1}{\pi }}{\frac {\partial ^{n+m}}{\partial (iz)^{n}\partial (iz^{*})^{m}}}e^{-|z|^{2}/2}e^{iz\alpha +iz^{*}\alpha ^{*}}\right|_{z=z^{*}=0},\\P(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}\alpha ^{n}\alpha ^{*m}.\end{aligned}}}هناP{\displaystyle P}يتميز هذا التعبير ببساطته الشديدة بفضل نظرية التكافؤ البصري ويا{\displaystyle O}كونها مرتبة ترتيبًا عكسيًا. يمكن اشتقاق صيغ مماثلة عندمايا{\displaystyle O}يختلف ترتيبها.

على سبيل المثال، لـيا=أ^2أ^†{\displaystyle O={\hat {a}}^{2}{\hat {a}}^{\dagger }}هذه تعطيدبليو(α،α*)=1π(α+α2α*)،P(α،α*)=1πα2α*،سؤال(α،α*)=1π(2α+α2α*).{\displaystyle {\begin{aligned}W(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}(\alpha +\alpha ^{2}\alpha ^{*}),\\P(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}\alpha ^{2}\alpha ^{*},\\Q(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}(2\alpha +\alpha ^{2}\alpha ^{*}).\end{aligned}}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كوهين، ل. (1995). تحليل الزمن والتردد: النظرية والتطبيقات . أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول. ISBN 0-13-594532-1.
  2. 1 2 سودارشان، إي سي جي (1963-04-01). "تكافؤ الوصف شبه الكلاسيكي والكمي لحزم الضوء الإحصائية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 10 (7). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 277-279 . Bibcode : 1963PhRvL..10..277S . doi : 10.1103/physrevlett.10.277 . ISSN 0031-9007 . 
  3. ↑ كلاودر، جون ر. (1960). "خيار الفعل وتكميم فاينمان لحقول السبينور بدلالة أعداد c العادية". حوليات الفيزياء . 11 (2). إلسيفير بي في: 123-168 . رمز Bibcode : 1960AnPhy..11..123K . doi : 10.1016/0003-4916(60)90131-7 . ISSN 0003-4916 . 
  4. ↑ ويغنر، إي. (1932-06-01). "حول التصحيح الكمي للتوازن الديناميكي الحراري". مجلة Physical Review . 40 (5). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 749-759 . Bibcode : 1932PhRv...40..749W . doi : 10.1103/physrev.40.749 . ISSN 0031-899X . 
  5. ↑ غلاوبر، روي ج. (15 سبتمبر 1963). "حالات متماسكة وغير متماسكة لحقل الإشعاع". مجلة Physical Review ، 131 (6). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 2766-2788 . Bibcode : 1963PhRv..131.2766G . doi : 10.1103/physrev.131.2766 . ISSN 0031-899X . 
  6. ↑ ماندل، ل .؛ وولف، إ. (1995)، التماسك البصري والبصريات الكمية ، كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-41711-2
  7. ↑ كوهين، أ. (1997-11-01). "عدم التمركز في حالة أينشتاين-بودولسكي-روزن الأصلية". مجلة Physical Review A. 56 ( 5). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 3484-3492 . Bibcode : 1997PhRvA..56.3484C . doi : 10.1103/physreva.56.3484 . ISSN 1050-2947 . 
  8. ↑ باناسيك، كونراد؛ وودكيفيتش، كريستوف (1998-12-01). "عدم التمركز لحالة أينشتاين-بودولسكي-روزن في تمثيل ويغنر". مجلة Physical Review A. 58 ( 6): 4345–4347 . arXiv : quant-ph/9806069 . Bibcode : 1998PhRvA..58.4345B . doi : 10.1103/physreva.58.4345 . ISSN 1050-2947 . S2CID 119341663 .  
  9. ↑ هوسيمي، كودي. بعض الخصائص الشكلية لمصفوفة الكثافة . وقائع الجمعية الفيزيائية الرياضية اليابانية. المجلد 22. الجمعية الرياضية اليابانية. الصفحات 264-314 . doi : 10.11429/ppmsj1919.22.4_264 . ISSN 0370-1239 .   
  10. ^ وولفجانج شلايش (2001). البصريات الكمومية في الفضاء المرحلة . وايلي-VCH. رقم ISBN 978-3527294350.
  11. ↑ كارمايكل، إتش جيه (2002). الأساليب الإحصائية في البصريات الكمية 1: المعادلات الرئيسية ومعادلات فوكر-بلانك . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 3-540-54882-3.
  12. ↑ غاردينر، سي دبليو (1991). الضوضاء الكمومية . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 3-540-66571-4.