لابلاس المؤشر

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 12 صور
الموسوعة الحرة
تقريب لدالة المؤشر السالبة لقطع ناقص في المستوى (يسار)، والمشتقة في الاتجاه العمودي على الحدود (وسط)، ومؤثر لابلاس الخاص بها (يمين). في النهاية، يؤول الرسم البياني الأيمن إلى مؤثر لابلاس (السالب) للمؤشر. وبشكل بديهي، يشبه الرسم البياني الأيمن قلعة إهليلجية بسور داخلي وخندق أمامي؛ وفي النهاية، يصبح السور والخندق عاليين وعميقين (وضيقين) إلى ما لا نهاية.

في نظرية الكمون (فرع من الرياضيات )، يُحسب لابلاس المؤشر بتطبيق مؤثر لابلاس على دالة المؤشر لمجال D. وهو تعميم لمشتقة ( أو "الدالة الأولية") دالة ديراك دلتا إلى أبعاد أعلى ؛ إذ لا يساوي الصفر إلا على سطح D. ويمكن اعتباره دالة دلتا أولية سطحية ، أي مشتقة دالة دلتا سطحية (تعميم لدالة ديراك دلتا ). كما يُشابه لابلاس المؤشر المشتقة الثانية لدالة هيفسايد في بُعد واحد.

يمكن اعتبار لابلاس المؤشر ذا قيم موجبة وسالبة لا نهائية عند حسابه بالقرب من حدود المجال D. لذا، فهو ليس دالة بالمعنى الدقيق ، بل دالة أو مقياس معمّم . وكما هو الحال مع مشتقة دالة ديراك دلتا في بُعد واحد، فإن لابلاس المؤشر لا يكون ذا معنى رياضي إلا عندما يظهر تحت علامة تكامل؛ أي أنه دالة توزيع . وكما هو الحال في صياغة نظرية التوزيع، يُعتبر عمليًا نهايةً لمتتالية من الدوال الملساء ؛ ويمكننا أن نأخذ لابلاس دالة نتوء ، وهي دالة ملساء بحكم تعريفها، ونجعل دالة النتوء تقترب من المؤشر في النهاية .

تاريخ

قدّم بول ديراك دالة ديراك دلتا ، كما تُعرف الآن، في وقت مبكر من عام 1930. [ 1 ] دالة ديراك دلتا أحادية البعد لا تساوي الصفر إلا عند نقطة واحدة. وبالمثل، فإن التعميم متعدد الأبعاد، كما هو شائع، لا تساوي الصفر إلا عند نقطة واحدة. في الإحداثيات الديكارتية ، دالة ديراك دلتا ذات البعد d هي حاصل ضرب d من دوال دلتا أحادية البعد ؛ واحدة لكل إحداثية ديكارتية (انظر على سبيل المثال تعميمات دالة ديراك دلتا ).

دالة دلتا السطحية

يمكن تعميم دالة ديراك دلتا لتشمل ما هو أبعد من نقطة واحدة. يمكن اعتبار النقطة صفر، في بُعد واحد، بمثابة حدود نصف المستقيم الموجب . الدالة ∂x /∂x > 0 تساوي 1 على نصف المستقيم الموجب وتساوي صفرًا فيما عدا ذلك، وتُعرف أيضًا بدالة هيفسايد المتدرجة . رسميًا، يمكن اعتبار دالة ديراك دلتا ومشتقتها بمثابة المشتقة الأولى والثانية لدالة هيفسايد المتدرجة، أي ∂x / ∂x > 0 و ∂x/ ∂x.∂x21x>0{\displaystyle \partial _{x}^{2}\mathbf {1} _{x>0}}.

الدالة المؤشرة هي نظير دالة الخطوة في الأبعاد الأعلى ، ويمكن كتابتها على الصورة 1/ x ∈ D ، حيث D مجال ما. تُعرف الدالة المؤشرة أيضًا بالدالة المميزة. قياسًا على الحالة أحادية البعد، تم اقتراح التعميمات التالية لدالة ديراك δ ومشتقتها في الأبعاد الأعلى: [ 2 ]

دلتا(x)→-نx⋅∇x1x∈د،دلتا′(x)→∇x21x∈د.\begin{aligned}\delta(x)&\to -n_{x}\cdot \nabla_{x}\mathbf{1}_{x\in D},\\\\delta'(x)&\to \nabla_{x}^{2}\mathbf{1}_{x\in D}.\end{aligned}}}

هنا ، n هو متجه الوحدة العمودي الخارجي . هنا، تُعمَّم دالة ديراك دلتا لتصبح دالة دلتا سطحية على حدود مجال D في فضاء ذي أبعاد d ≥ 1. يُعطي هذا التعريف الحالة أحادية البعد المعتادة، عندما يُفترض أن المجال هو نصف الخط الموجب. وتكون الدالة صفرًا باستثناء حدود المجال D (حيث تكون لانهائية)، وتُكامل على مساحة السطح الكلية المحيطة بـ D ، كما هو موضح أدناه .

دالة دلتا السطحية الأولية

تُعمَّم دالة ديراك دلتا برايم أحادية البعد إلى دالة دلتا برايم سطحية متعددة الأبعاد على حدود مجال ما D في d ≥ 1 بُعد. في بُعد واحد، وباعتبار D مساويًا لنصف الخط الموجب، يمكن استعادة دالة دلتا برايم أحادية البعد المعتادة.

يدعم كل من المشتق الطبيعي للمؤشر ومؤثر لابلاس الخاص به الأسطح بدلاً من النقاط . يُعد هذا التعميم مفيدًا في ميكانيكا الكم، على سبيل المثال، حيث يمكن أن تؤدي تفاعلات الأسطح إلى شروط حدودية في d > 1، بينما لا يمكن لتفاعلات النقاط ذلك. وبطبيعة الحال، تتطابق تفاعلات النقاط والأسطح عندما d = 1. لكل من تفاعلات الأسطح والنقاط تاريخ طويل في ميكانيكا الكم، وهناك كمٌّ هائل من المؤلفات حول ما يُسمى بجهود دلتا السطحية أو تفاعلات دلتا-الكرة. [ 3 ] تستخدم دوال دلتا السطحية دالة ديراك δ أحادية البعد ، ولكن كدالة للإحداثي القطري r ، على سبيل المثال δ( r − R ) حيث R هو نصف قطر الكرة.

على الرغم من أن مشتقات دالة المؤشر تبدو غير محددة بدقة، إلا أنه يمكن تعريفها رسميًا باستخدام نظرية التوزيعات أو الدوال المعممة : إذ يمكن الحصول على وصف دقيق بافتراض أن لابلاس المؤشر، على سبيل المثال، يُعرَّف بتكاملين بالتجزئة عندما يظهر تحت علامة التكامل. وبدلاً من ذلك، يمكن تقريب المؤشر (ومشتقاته) باستخدام دالة حدبة (ومشتقاتها). ويجب حينها وضع النهاية، حيث تقترب دالة الحدبة (الناعمة) من دالة المؤشر، خارج التكامل.

البراهين

برهان دالة دلتا برايم السطحية

سيُثبت هذا القسم أن لابلاس المؤشر هو دالة دلتا سطحية أولية . وسيتم تناول دالة دلتا السطحية لاحقًا.

أولاً، بالنسبة للدالة f في الفترة ( a , b )، تذكر النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

∫أب∂و(x)∂xدx=ليمx↗بو(x)-ليمx↘أو(x)،{\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\,dx={\underset {x\nearrow b}{\lim }}f(x)-{\underset {x\searrow a}{\lim }}f(x),}

بافتراض أن f قابلة للتكامل محليًا. الآن، بالنسبة لـ a  < b، يترتب على ذلك، باتباع أسلوب استدلالي، أن 

∫-∞+∞∂21أ<x<ب∂x2و(x)دx=∫-∞+∞1أ<x<ب∂2و(x)∂x2دx،=∫أب∂2و(x)∂x2دx،=(ليمx↗ب-ليمx↘أ)∂و(x)∂x.\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial ^{2}\mathbf {1} _{a<x<b}}{\partial x^{2}}}\,f(x)\;dx&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbf {1} _{a<x<b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle \Big (}{\underset {x\nearrow b}{\lim }}-{\underset {x\searrow a}{\lim }}{\Big )}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}.\end{aligned}}}

هنا ، a < x < b هي دالة المؤشر للمجال a < x < b . يساوي المؤشر واحدًا عندما يتحقق الشرط الموجود في دليله السفلي، وصفرًا فيما عدا ذلك. في هذه الحسابات، يُظهر تكاملان بالتجزئة (بالإضافة إلى النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل كما هو موضح أعلاه) أن المساواة الأولى صحيحة؛ فتكون حدود الدالة صفرًا عندما تكون a و b محدودتين، أو عندما تنعدم f عند اللانهاية. تُظهر المساواة الأخيرة مجموع مشتقات عمودية خارجية، حيث يكون المجموع على نقاط الحدود a و b ، وتكون الإشارات من الاتجاه الخارجي (أي موجبة لـ b وسالبة لـ a ). على الرغم من أن مشتقات المؤشر غير موجودة رسميًا، إلا أن اتباع قواعد التكامل الجزئي المعتادة يُعطي النتيجة "الصحيحة". عند النظر إلى مجال محدود ذي بُعد d ، D ، يُتوقع أن يصبح مجموع المشتقات العمودية الخارجية تكاملًا ، وهو ما يمكن تأكيده كما يلي:

∫Rد∇x21x∈دو(x)دx=∫Rد1x∈د∇x2و(x)دx،=∫د∇x2و(x)دx،=∮∂دليمx→βنβ⋅∇xو(x)دβ.\begin{aligned}\int_{\mathbf{R}^{d}}\nabla_{x}^{2}\mathbf{1}_{x\in D}\,f(x)\;dx&=\int_{\mathbf{R}^{d}}\mathbf{1}_{x\in D}\,\nabla_{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\int_{D}\,\nabla_{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\oint_{\partial D}\,{\underset{x\to \beta}{\lim}}n_{\beta}\cdot\nabla_{x}f(x)\;d\beta.\end{aligned}}}

حيث تمثل النهاية اقتراب x من السطح β من داخل المجال D ، و nβ هو متجه الوحدة العمودي على السطح β، و ∇x هو الآن مؤثر التدرج متعدد الأبعاد. وكما في السابق، تُستنتج المساواة الأولى من خلال تكاملين بالتجزئة (في الأبعاد الأعلى، يتم ذلك باستخدام متطابقة غرين الثانية )، حيث تختفي حدود الحدود طالما أن المجال D محدود أو إذا انعدمت f عند اللانهاية؛ على سبيل المثال، كل من 1/ x ∈ D و ∇x 1 / x ∈ D يساويان صفرًا عند تقييمهما عند "حدود" R d عندما يكون المجال D محدودًا. وتُستنتج المساواة الثالثة من نظرية التباعد ، وتُظهر، مرة أخرى، مجموع (أو، في هذه الحالة، تكامل) المشتقات العمودية الخارجية على جميع مواقع الحدود. نظرية التباعد صالحة للمجالات D ذات التموجات المتقطعة ، وبالتالي يجب أن يكون D ذا تموجات متقطعة.

وبالتالي، فإن دالة دلتا برايم السطحية (المعروفة أيضًا بدالة ديراك δ' ) موجودة على سطح أملس جزئيًا، وهي مكافئة لمؤثر لابلاس لدالة المؤشر للمجال D الذي يشمله ذلك السطح الأملس جزئيًا. وبطبيعة الحال، يختفي الفرق بين النقطة والسطح في بُعد واحد.

في علم الكهرباء الساكنة، يمكن نمذجة ثنائي القطب السطحي (أو جهد الطبقة المزدوجة ) من خلال التوزيع المحدود لـ Laplacian الخاص بالمؤشر.

تستند الحسابات المذكورة أعلاه إلى أبحاث حول تكاملات المسار في الفيزياء الكمية. [ 2 ]

برهان دالة دلتا السطحية

سيثبت هذا القسم أن المشتق الطبيعي (الداخلي) للمؤشر هو دالة دلتا سطحية .

بالنسبة لمجال محدود D أو عندما تتلاشى الدالة f عند اللانهاية، فإنه يترتب على ذلك، وفقًا لنظرية التباعد، أن

∫Rد∇x2(1x∈دو(x))دx=0.{\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\left(\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\right)\;dx=0.}

وبناءً على قاعدة الضرب ، يترتب على ذلك أن

∫Rد∇x21x∈دو(x)دx+∫Rد1x∈د∇x2و(x)دx=-2∫Rد∇x1x∈د⋅∇xو(x)دx.{\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx+\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx=-2\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.}

وبناءً على تحليل القسم أعلاه ، فإن الحدين الموجودين على الجانب الأيسر متساويان، وبالتالي

∮∂دليمα→βنβ⋅∇αو(α)دβ=-∫Rد∇x1x∈د⋅∇xو(x)دx.{\displaystyle \oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta =-\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.}

يتلاشى تدرج المؤشر في كل مكان، باستثناء قرب حدود المنطقة D ، حيث يشير إلى الاتجاه العمودي. لذلك ، فإن مركبة ∇x f(x) في الاتجاه العمودي هي فقط ذات الصلة . لنفترض أنه قرب الحدود، ∇x f ( x ) يساوي nx g ( x )، حيث g دالة أخرى. عندئذٍ يترتب على ذلك أن

∮∂دز(β)دβ=-∫Rد∇x1x∈د⋅نxز(x)دx.{\displaystyle \oint _{\partial D}\,g(\beta )\;d\beta =-\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\,\cdot \,n_{x}\,g(x)\;dx.}

تم تعريف المتجه العمودي الخارجي n x في الأصل فقط لـ x في السطح، ولكن يمكن تعريفه على أنه موجود لجميع قيم x ؛ على سبيل المثال عن طريق أخذ المتجه العمودي الخارجي لنقطة الحدود الأقرب إلى x .

يُبين التحليل السابق أن − n x ⋅ ∇ x 1 x ∈ D يمكن اعتباره تعميمًا سطحيًا لدالة ديراك دلتا أحادية البعد . وبجعل الدالة g تساوي واحدًا، ينتج أن المشتقة العمودية الداخلية للمؤشر تتكامل على مساحة سطح D.

في علم الكهرباء الساكنة، يمكن نمذجة كثافة الشحنة السطحية (أو طبقات الحدود المفردة ) باستخدام دالة دلتا السطحية كما ذُكر سابقًا. ويمكن استخدام دالة ديراك دلتا المعتادة في بعض الحالات، مثل عندما يكون السطح كرويًا. وبشكل عام، يمكن استخدام دالة دلتا السطحية المذكورة هنا لتمثيل كثافة الشحنة السطحية على سطح ذي أي شكل.

تستند الحسابات المذكورة أعلاه إلى أبحاث حول تكاملات المسار في الفيزياء الكمية. [ 2 ]

التقريبات بواسطة دوال النتوء

يوضح هذا القسم كيفية التعامل مع مشتقات المؤشر عدديًا تحت علامة التكامل.

من حيث المبدأ، لا يمكن اشتقاق المؤشر عدديًا، لأن مشتقته إما صفر أو لا نهائية. ولكن، لأغراض عملية، يمكن تقريب المؤشر بدالة حدية ، يُشار إليها بـ Iε ( x )، وتقترب من المؤشر عندما ε → 0. هناك عدة خيارات ممكنة، ولكن من الملائم جعل الدالة الحدية غير سالبة والاقتراب من المؤشر من الأسفل ، أي

0≤أناε(x)≤1x∈د∀ε>0ليمε↘0أناε(x)=1x∈د{\displaystyle {\begin{aligned}0\leq I_{\varepsilon }(x)&\leq \mathbf {1} _{{x}\in D}\quad \forall \varepsilon >0\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\;I_{\varepsilon }(x)&=\mathbf {1} _{x\in D}\end{aligned}}}

يضمن هذا أن تكون عائلة دوال النتوءات تساوي صفرًا خارج D. وهذا مفيد، إذ من الممكن أن تكون الدالة f معرفة فقط داخل D. بالنسبة للدالة f المعرفة في D ، نحصل بالتالي على ما يلي:

-ليمε↘0∫Rدو(x)نx⋅∇xأناε(x)دx=∮∂دليمα→βو(α)دβ،ليمε↘0∫Rد∇x2أناε(x)و(x)دx=∮∂دليمα→βنβ⋅∇αو(α)دβ،{\displaystyle {\begin{aligned}-{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,f(x)\,n_{x}\cdot \nabla _{x}I_{\varepsilon }(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}f(\alpha )\;d\beta ,\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\,\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}I_{\varepsilon }(x)\,f(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta ,\end{aligned}}}

حيث يقترب الإحداثي الداخلي α من الإحداثي الحدودي β من داخل D ، وحيث لا يوجد شرط لوجود f خارج D.

عندما يتم تعريف f على جانبي الحدود، ويكون قابلاً للتفاضل عبر حدود D ، فإن كيفية اقتراب دالة النتوء من المؤشر تصبح أقل أهمية.

دوال الاختبار غير المتصلة

إذا كانت دالة الاختبار f غير متصلة على الأرجح عبر الحدود، فيمكن استخدام نظرية التوزيع للدوال غير المتصلة لفهم توزيعات السطح، انظر على سبيل المثال القسم الخامس في [ 4 ] . عمليًا، بالنسبة لدالة دلتا السطحية، يعني هذا عادةً حساب متوسط ​​قيمة f على جانبي حدود المجال D قبل التكامل على هذه الحدود. وبالمثل، بالنسبة لدالة دلتا برايم السطحية، يعني هذا عادةً حساب متوسط ​​المشتقة العمودية الخارجية لـ f على جانبي حدود المجال D قبل التكامل على هذه الحدود.

التطبيقات

ميكانيكا الكم

في ميكانيكا الكم ، تُعدّ التفاعلات النقطية معروفة جيدًا، وهناك كمٌّ هائل من المؤلفات حول هذا الموضوع. ومن الأمثلة المعروفة على الجهد المفرد أحادي البعد معادلة شرودنغر مع جهد ديراك دلتا . [ 5 ] [ 6 ] من ناحية أخرى، أثار جهد ديراك دلتا برايم أحادي البعد جدلًا واسعًا . [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] وقد حُسم هذا الجدل ظاهريًا من خلال ورقة بحثية مستقلة، [ 10 ] على الرغم من أن هذه الورقة البحثية نفسها قد تعرضت لانتقادات لاحقة. [ 2 ] [ 11 ]

ازداد التركيز مؤخراً على جهد ديراك دلتا برايم أحادي البعد. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]

يمكن اعتبار نقطة على خط أحادي البعد نقطةً وسطحًا في آنٍ واحد؛ فالنقطة تُشير إلى الحد الفاصل بين منطقتين. وبناءً على ذلك، تمّ تعميم دالة ديراك دلتا إلى أبعاد أعلى مرتين: التعميم إلى نقطة متعددة الأبعاد، [ 29 ] [ 30 ] وكذلك التعميم إلى سطح متعدد الأبعاد. [ 2 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]

تُعرف التعميمات السابقة بالتفاعلات النقطية، بينما تُعرف التعميمات اللاحقة بأسماء مختلفة، مثل "تفاعلات دلتا-الكرة" و"تفاعلات دلتا السطحية". قد تستخدم التعميمات الأخيرة مشتقات المؤشر، كما هو موضح هنا، أو دالة ديراك أحادية البعد δ كدالة للإحداثي القطري r .

ديناميكا الموائع

استُخدمت لابلاس المؤشر في ديناميكا الموائع ، على سبيل المثال لنمذجة الأسطح البينية بين الأوساط المختلفة. [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]

الديناميكا الجزيئية

في الديناميكا الجزيئية ، يمكن إظهار تباعد المؤشر في سياق تطبيق حجم التحكم على موتر إجهاد كوشي الجزيئي ، والذي يوفر جسرًا بين ميكانيكا الأوساط المتصلة والديناميكا الجزيئية [ 41 ].

إعادة بناء السطح

استُخدم تباعد المؤشر ولابلاس المؤشر (أو الدالة المميزة ، كما يُعرف المؤشر أيضًا) كمعلومات عينة يمكن من خلالها إعادة بناء الأسطح. [ 42 ] [ 43 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ديراك، بول (1958)، مبادئ ميكانيكا الكم (  الطبعة الرابعة)، مطبعة كلارندون، أكسفورد، ISBN 978-0-19-852011-5{{citation}}: CS1 maint: ignored ISBN errors ( link )
  2. 1 2 3 4 5 لانج، روتجر-يان (2012)، "نظرية الكمون، وتكاملات المسار، ولابلاس المؤشر"، مجلة فيزياء الطاقة العالية ، 2012 (11) 32: 1-49 ، arXiv : 1302.0864 ، Bibcode : 2012JHEP...11..032L ، doi : 10.1007/JHEP11(2012)032 ، S2CID 56188533 
  3. ↑ أنطوان، جيه بي؛ جيزتيسي، إف؛ شباني، جيه (1999)، "نماذج قابلة للحل بدقة لتفاعلات الكرات في ميكانيكا الكم"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 20 (12): 3687-3712 ، رمز Bibcode : 1987JPhA...20.3687A ، doi : 10.1088/0305-4470/20/12/022
  4. ↑ لانج، روتجر-يان (2015)، "نظرية التوزيع لمعادلة شرودنغر التكاملية"، مجلة الفيزياء الرياضية ، 56 (12) 122105: 2015، arXiv : 1401.7627 ، Bibcode : 2015JMP....56l2105L ، doi : 10.1063/1.4936302 ، S2CID 116896174 
  5. ↑ أتكينسون، د.أ.؛ كريتر، هـ.و. (1975)، "معالجة دقيقة لجهد دالة ديراك دلتا في معادلة شرودنغر"، المجلة الأمريكية للفيزياء ، 43 (4): 301-304 ، Bibcode : 1975AmJPh..43..301A ، doi : 10.1119/1.9857
  6. ↑ مانوكيان، إي بي (1999)، "اشتقاق صريح للمُوَصِّل لجهد ديراك دلتا"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 22 (1): 67-70 ، رمز Bibcode : 1989JPhA...22...67M ، doi : 10.1088/0305-4470/22/1/013
  7. ^ ألبيفيريو، إس. جيزيتسي، ف؛ هوغ كرون، ر. هولدن، هـ. (1988)، نماذج قابلة للحل في ميكانيكا الكم ، سبرينغر-فيرلاغ
  8. ↑ تشاو، ب.هـ. (1992)، "تعليقات على معادلة شرودنغر مع تفاعل دلتا' في بُعد واحد"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 25 (10): 617، رمز Bibcode : 1992JPhA...25L.617Z ، doi : 10.1088/0305-4470/25/10/003
  9. ↑ ألبيفيريو، س.؛ جيزتيسي، ف.؛ هولدن، هـ. (1993)، "تعليقات على ملاحظة حديثة حول معادلة شرودنغر مع تفاعل دلتا"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 26 (15): 3903-3904 ، رمز Bibcode : 1993JPhA...26.3903A ، doi : 10.1088/0305-4470/26/15/037
  10. ↑ غريفيث، دي جيه (1993)، "الشروط الحدية عند مشتقة دالة دلتا"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 26 (9): 2265-2267 ، رمز Bibcode : 1993JPhA...26.2265G ، doi : 10.1088/0305-4470/26/9/021
  11. ↑ كوتينيو، ف. أ. ب.؛ نوغامي، ي.؛ بيريز، ج. ف. (1997)، "التفاعلات النقطية المعممة في ميكانيكا الكم أحادية البعد"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 30 (11): 3937-3945 ، رمز Bibcode : 1997JPhA...30.3937C ، doi : 10.1088/0305-4470/30/11/021
  12. ^ كوستينكو، أ. Malamud، M. (2012)، “Spectral Theory of Semibounded Schrödinger Operators with δ ′-Interactions”، أناليس هنري بوانكاريه ، 15 (3): 617، أرخايف : 1212.1691 ، بيب كود : 2012arXiv1212.1691K ، دوى : 10.1007/s00023-013-0245-9 ، S2CID 119727685 
  13. ↑ براش، جيه إف؛ نيزنيك، إل. (2012)، "مؤثرات شرودنغر أحادية البعد مع تفاعلات δ ′ على مجموعة ذات قياس ليبيغ صفري"، المؤثرات والمصفوفات ، 7 (4): 887، arXiv : 1112.2545 ، Bibcode : 2011arXiv1112.2545B ، doi : 10.7153/oam-07-49 ، S2CID 67790330 
  14. ↑ كارو، م.؛ فرحي، إ.؛ غوتمان، س. (1990)، "التكامل الوظيفي لجسيم حر في صندوق"، مجلة Physical Review D ، 42 (4): 1194-1202 ، Bibcode : 1990PhRvD..42.1194C ، doi : 10.1103/physrevd.42.1194 ، PMID 10012954 
  15. ↑ كارو، م. (1993)، "التفاعل النقطي ذو الأربعة معلمات في الأنظمة الكمومية أحادية البعد"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 26 (2): 427-432 ، arXiv : hep-th/9210104 ، Bibcode : 1993JPhA...26..427C ، CiteSeerX 10.1.1.268.6845 ، doi : 10.1088/0305-4470/26/2/025 ، S2CID 16405749  
  16. ↑ ألبيفيريو، س.؛ دابروفسكي، ل.؛ كوراسوف، ب. (1998)، "تناظرات مؤثر شرودنغر مع التفاعلات النقطية"، رسائل في الفيزياء الرياضية ، 45 (1): 33-47 ، doi : 10.1023/a:1007493325970 ، S2CID 118287368 
  17. ↑ أراوجو، ف.س.؛ كوتينيو، ف.أ.ب.؛ توياما، ف.م. (2008)، "معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن: ضرورة أن يكون الهاميلتوني ذاتي الترافق" (ملف PDF) ، المجلة البرازيلية للفيزياء ، 38 (1): 178-187 ، Bibcode : 2008BrJPh..38..178A ، doi : 10.1590/s0103-97332008000100030
  18. ↑ تشيون، ت.؛ شيجيهارا، ت. (1998)، "تحقيق الدوال الموجية غير المتصلة باستخدام كمونات قصيرة المدى مُعاد تطبيعها"، رسائل الفيزياء أ ، 243 (3): 111-116 ، arXiv : quant-ph/9709035 ، Bibcode : 1998PhLA..243..111C ، doi : 10.1016/s0375-9601(98)00188-1 ، S2CID 119352015 
  19. ↑ كوتينيو، ف. أ. ب.؛ نوغامي، ي.؛ توميو، ل.؛ توياما، ف. م. (2005)، "التفاعلات النقطية المعتمدة على الطاقة في بُعد واحد"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 38 (22): 4989-4998 ، رمز Bibcode : 2005JPhA...38.4989C ، doi : 10.1088/0305-4470/38/22/020
  20. ↑ كوتينيو، ف. أ. ب.؛ نوغامي، ي.؛ توميو، ل.؛ توياما، ف. م. (2004)، "الجهد الزائف لفيرمي في بُعد واحد"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 37 (44): 10653-10663 ، رمز Bibcode : 2004JPhA...3710653C ، doi : 10.1088/0305-4470/37/44/013
  21. ↑ تويوما، إف إم؛ نوغامي، واي. (2007)، "مسألة النقل والانعكاس مع جهد على شكل مشتق دالة دلتا"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 40 (29): F685، رمز Bibcode : 2007JPhA...40..685T ، doi : 10.1088/1751-8113/40/29/f05 ، S2CID 118814873 
  22. ↑ غولوفاتي، ي. د.؛ مانكو، س. س. (2009)، "نماذج قابلة للحل لمؤثرات شرودنغر ذات كمونات شبيهة بـ δ "، النشرة الرياضية الأوكرانية ، 6 (2): 169-203 ، arXiv : 0909.1034 ، Bibcode : 2009arXiv0909.1034G
  23. ↑ مانكو، إس إس (2010)، "حول تشتت الجهد الشبيه بـ δ على الرسوم البيانية النجمية"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 43 (44) 445304، arXiv : 1007.0398 ، Bibcode : 2010JPhA...43R5304M ، doi : 10.1088/1751-8113/43/44/445304 ، S2CID 119645054 
  24. ↑ غولوفاتي، واي دي؛ هرينيف، آر أو (2010)، "حول تقارب مُحلِّل المعيار لمؤثرات شرودنغر ذات كمونات شبيهة بـ δ '"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والنظرية ، 43 (15) 155204، arXiv : 1108.5345 ، Bibcode : 2010JPhA...43o5204G ، doi : 10.1088/1751-8113/43/15/155204 ، S2CID 115169634 
  25. ↑ غولوفاتي، واي دي (2013)، "مؤثرات شرودنغر أحادية البعد ذات التفاعلات قصيرة المدى: تنظيم ثنائي المقياس للجهود التوزيعية"، المعادلات التكاملية ونظرية المؤثرات ، 75 (3): 341-362 ، arXiv : 1202.4711 ، doi : 10.1007/s00020-012-2027-z ، S2CID 119593035 
  26. ↑ زولوتاريوك، أ. ف. (2010)، "الشروط الحدية للحالات ذات النفق الرنيني عبر جهد δ ′"، رسائل الفيزياء أ ، 374 (15): 1636-1641 ، arXiv : 0905.0974 ، Bibcode : 2010PhLA..374.1636Z ، doi : 10.1016/j.physleta.2010.02.005 ، S2CID 115179602 
  27. ↑ زولوتاريوك، أ. ف. (2010)، "التفاعلات النقطية من نوع ثنائي القطب المُعرَّف من خلال تنظيم القوة ثلاثي المعاملات"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والنظرية ، 43 (10) 105302، رمز Bibcode : 2010JPhA...43j5302Z ، doi : 10.1088/1751-8113/43/10/105302 ، S2CID 122330036 
  28. ↑ زولوتاريوك، أ. ف. (2013)، "جهود أحادية النقطة مع نفق رنيني كلي"، مجلة Physical Review A ، 87 (5) 052121، arXiv : 1303.4162 ، Bibcode : 2013PhRvA..87e2121Z ، doi : 10.1103/physreva.87.052121 ، S2CID 118343895 
  29. ↑ سكارلاتي، س.؛ تيتا، أ. (1990)، "اشتقاق المُوَصِّل الزمني لمعادلة شرودنغر ثلاثية الأبعاد مع تفاعل نقطة واحدة"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 23 (19): L1033، رمز Bibcode : 1990JPhA...23L1033S ، doi : 10.1088/0305-4470/23/19/003
  30. ^ Grosche، C. (1994)، “تكاملات المسار لاضطرابات وظيفة δ ثنائية وثلاثية الأبعاد ”، Annalen der Physik ، 506 (4): 283–312 ، أرخايف : hep-th/9308082 ، بيب كود : 1994AnP...506..283G ، دوى : 10.1002/andp.19945060406 ، S2CID 119436723 
  31. ↑ موسكوفسكي، إس. أ. (1997)، "اشتقاق تفاعل دلتا السطحي"، مجلة Physical Review C ، 19 (6): 2344-2348 ، Bibcode : 1979PhRvC..19.2344M ، doi : 10.1103/physrevc.19.2344
  32. ↑ أنطوان، جيه بي؛ جيزتيسي، إف؛ شباني، جيه (1999)، "نماذج قابلة للحل بدقة لتفاعلات الكرات في ميكانيكا الكم"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 20 (12): 3687-3712 ، رمز Bibcode : 1987JPhA...20.3687A ، doi : 10.1088/0305-4470/20/12/022
  33. ↑ شاباني، ج.؛ فياباندي، أ. (2002)، "نماذج قابلة للحل بدقة لتفاعلات كرة دلتا في ميكانيكا الكم النسبية"، مجلة الفيزياء الرياضية ، 43 (12): 6064، رمز Bibcode : 2002JMP....43.6064S ، doi : 10.1063/1.1518785
  34. ↑ هونكونو، إم إن ؛ هونكبي، إم؛ شباني، ج. (1999)، "نماذج قابلة للحل بدقة لتفاعلات كرة دلتا في ميكانيكا الكم غير النسبية"، مجلة الفيزياء الرياضية ، 40 (9): 4255-4273 ، رمز Bibcode : 1999JMP....40.4255H ، doi : 10.1063/1.532964
  35. ↑ تشي، جيه إتش (1999)، المحاكاة العددية للتدفقات المعقدة متعددة الأطوار: الديناميكا الكهربائية المائية وتصلب القطرات ، جامعة ميشيغان، ص 37 
  36. ↑ يوريتش، د. (1996)، "حسابات تغير الطور" (ملف PDF) ، أطروحة دكتوراه : 150، مؤرشفة من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 22-02-2014 ، تم الاطلاع عليها بتاريخ 29-12-2012
  37. ↑ أونفردي، إس أو؛ تريغفاسون، جي. (1992)، "طريقة تتبع الجبهة لتدفقات السوائل المتعددة اللزجة وغير القابلة للانضغاط" (ملف PDF) ، مجلة الفيزياء الحاسوبية ، 100 (1): 29-30 ، Bibcode : 1992JCoPh.100...25U ، doi : 10.1016/0021-9991(92)90307-K ، hdl : 2027.42/30059
  38. ↑ جوز، إم إف؛ بانر، بي؛ سومرفيلد، إم؛ تريغفاسون، جي (2002). المحاكاة العددية المباشرة لأسراب الفقاعات باستخدام طريقة تتبع الجبهة المتوازية . الحوسبة العلمية والهندسية عالية الأداء: وقائع المؤتمر الدولي الثالث FORTWIHR حول الحوسبة عالية الأداء، إرلانجن، 12-14 مارس 2001. سلسلة محاضرات في علوم وهندسة الحوسبة. المجلد 21. الصفحات 97-106 . doi : 10.1007/978-3-642-55919-8_11 . ISBN   978-3-540-42946-3.
  39. ↑ يوريتش، د.؛ تريغفاسون، ج. (1996)، "طريقة تتبع الجبهة للتصلب الشجري"، مجلة الفيزياء الحاسوبية ، 123 (1): 127-148 ، Bibcode : 1996JCoPh.123..127J ، CiteSeerX 10.1.1.17.8419 ، doi : 10.1006/jcph.1996.0011 
  40. ↑ أودين، إي.؛ سونغ، إتش جيه (2011)، "محاكاة تفاعلات التدفق مع الأجسام المرنة ذات التشوه الكبير"، المجلة الدولية للطرق العددية في الموائع ، 70 (9): 1089-1102 ، Bibcode : 2012IJNMF..70.1089U ، doi : 10.1002/fld.2731 ، S2CID 121032029 
  41. ↑ سميث، إي آر؛ هايز، دي إم؛ ديني، دي؛ زاكي، تي إيه (2012). "تمثيل حجم التحكم لديناميكيات الجزيئات". مجلة Physical Review E. 85 ( 5) 056705. الجمعية الفيزيائية الأمريكية. arXiv : 1203.2453 . doi : 10.1103/PhysRevE.85.056705 .
  42. ↑ كازدان، م. (2005). إعادة بناء النماذج الصلبة من مجموعات النقاط الموجهة (ملف PDF) . وقائع ندوة يوروغرافيكس الثالثة حول معالجة الهندسة. ص 73. 
  43. ↑ كازدان، م.؛ بوليثو، م.؛ هوب، هـ (2006). وقائع الندوة الرابعة لـ Eurographics حول معالجة الهندسة (PDF) . الصفحات 1-3-4.