جهد دلتا

المصدر: ^{[ 1 ]}

يقسم الجهد الفضاء إلى جزأين ( x < 0 و x > 0 ). في كل جزء من هذين الجزأين، يكون الجهد صفرًا، وتُختزل معادلة شرودنغر إلى $${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi$$  هذه معادلة تفاضلية خطية ذات معاملات ثابتة ، حلولها عبارة عن تراكيب خطية من e ^ikx و e ^{− ikx} ، حيث يرتبط العدد الموجي k بالطاقة بالعلاقة التالية : $${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}.}$$

بشكل عام، وبسبب وجود جهد دلتا في نقطة الأصل، فإن معاملات الحل لا يلزم أن تكون متطابقة في كلا نصفي الفضاء: $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{r}}e^{ikx}+A_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ إذا كان }}x<0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{ikx}+B_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ إذا كان }}x>0,\end{cases}}}$$ حيث، في حالة الطاقات الموجبة ( k الحقيقي )، يمثل e ^ikx موجة تنتقل إلى اليمين، و e ^{− ikx} موجة تنتقل إلى اليسار.

يمكن الحصول على علاقة بين المعاملات من خلال فرض أن تكون الدالة الموجية متصلة عند نقطة الأصل: $${\displaystyle \psi (0)=\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)=A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l},}$$

يمكن إيجاد علاقة ثانية بدراسة مشتقة دالة الموجة. عادةً، يمكننا أيضًا فرض قابلية التفاضل عند نقطة الأصل، لكن هذا غير ممكن بسبب جهد دلتا. مع ذلك، إذا قمنا بتكامل معادلة شرودنغر حول x = 0 ، على فترة${\displaystyle [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$: $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi (x)\,dx.}$$

في الحد كما${\displaystyle \varepsilon \to 0}$، يختفي الطرف الأيمن من هذه المعادلة؛ ويصبح الطرف الأيسر $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)]+\lambda \psi (0),}$$ لأن $${\displaystyle \int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx=[\psi '(+\varepsilon )-\psi '(-\varepsilon )].}$$ بإدخال تعريف ψ في هذا التعبير نحصل على $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}ik(-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l})+\lambda (A_{r}+A_{l})=0.}$$

وبالتالي، فإن الشروط الحدية تفرض القيود التالية على المعاملات $${\displaystyle {\begin{cases}A_{r}+A_{l}-B_{r}-B_{l}&=0,\\-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{r}+A_{l}).\end{cases}}}$$

في أي جهد تجاذبي أحادي البعد، ستكون هناك حالة مقيدة . لإيجاد طاقتها، لاحظ أنه عندما تكون E < 0 ، فإن k = i √ 2 m | E | / ħ = iκ هو عدد تخيلي، وتصبح الدوال الموجية التي كانت تتذبذب للطاقات الموجبة في الحساب أعلاه دوالًا متزايدة أو متناقصة أُسّيًا لـ x (انظر أعلاه). اشتراط عدم تباعد الدوال الموجية عند اللانهاية يُلغي نصف الحدود: A _r = B _l = 0. عندئذٍ تكون الدالة الموجية هي $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{l}}e^{\kappa x},&{\text{ if }}x\leq 0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{-\kappa x},&{\text{ if }}x\geq 0.\end{cases}}}$$

من شروط الحدود وشروط التطبيع، يتبين أن $${\displaystyle {\begin{cases}A_{\text{l}}=B_{\text{r}}={\sqrt {\kappa }},\\\kappa =-{\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}},\end{cases}}}$$ ومن ثمّ يتبين أن قيمة λ يجب أن تكون سالبة، أي أن الحالة المقيّدة لا توجد إلا في البئر، وليس في الحاجز. ويُعدّ تحويل فورييه لهذه الدالة الموجية دالة لورنتزية .

طاقة الحالة المقيدة هي $${\displaystyle E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=-{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}.}$$

بالنسبة للطاقات الموجبة، يكون الجسيم حراً في الحركة في أي من نصفي الفضاء: x < 0 أو x > 0. وقد يتشتت عند جهد دالة دلتا.

يمكن دراسة الحالة الكمومية في الحالة التالية: جسيم يسقط على الحاجز من الجانب الأيسر ( A_{_r} ) . قد ينعكس ( A _{_l} ) أو ينفذ ( B_{_r} ) . لإيجاد سعات الانعكاس والنفاذ عند السقوط من اليسار، نعوّض في المعادلات أعلاه A _{_r} = 1 (جسيم ساقط)، و A _{_l} = r (انعكاس)، و B_{_l} = 0 (لا يوجد جسيم ساقط من اليمين)، و B _{_r} = t (نفاذ)، ونحل المعادلات لإيجاد قيمتي r و t، على الرغم من عدم وجود معادلات بدلالة t . والنتيجة هي $${\displaystyle t={\cfrac {1}{1-{\cfrac {m\lambda }{i\hbar ^{2}k}}}},\quad r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}.}$$

بسبب التناظر المرآوي للنموذج ، فإن سعات السقوط من اليمين هي نفسها سعات السقوط من اليسار. والنتيجة هي وجود احتمال غير صفري $${\displaystyle R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}}$$ لكي ينعكس الجسيم. لا يعتمد هذا على إشارة λ ، أي أن الحاجز له نفس احتمالية انعكاس الجسيم كما هو الحال في البئر. وهذا فرق جوهري عن الميكانيكا الكلاسيكية ، حيث تكون احتمالية الانعكاس 1 للحاجز (يرتد الجسيم ببساطة)، و0 للبئر (يمر الجسيم عبر البئر دون أن يتأثر).

احتمالية انتقال العدوى هي $${\displaystyle T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}.}$$

قد تبدو الحسابات المذكورة أعلاه غير واقعية وغير مفيدة في البداية. ومع ذلك، فقد أثبتت أنها نموذج مناسب لمجموعة متنوعة من الأنظمة الواقعية.

أحد الأمثلة على ذلك يتعلق بالأسطح البينية بين مادتين موصلتين . في الجزء الداخلي من المادتين، تكون حركة الإلكترونات شبه حرة، ويمكن وصفها بالحد الحركي في الهاميلتوني المذكور أعلاه، حيث الكتلة الفعالة m . غالبًا ما تكون أسطح هذه المواد مغطاة بطبقات أكسيد، أو غير مثالية لأسباب أخرى. يمكن نمذجة هذه الطبقة الرقيقة غير الموصلة باستخدام جهد دالة دلتا محلي كما سبق. عندئذٍ، قد تنتقل الإلكترونات عبر النفق الكمومي من مادة إلى أخرى، مما يؤدي إلى توليد تيار كهربائي.

يعتمد تشغيل مجهر المسح النفقي (STM) على تأثير النفق هذا. في هذه الحالة، ينشأ الحاجز من الهواء الموجود بين طرف المجهر والجسم المراد فحصه. وتزداد قوة هذا الحاجز كلما زادت المسافة بينهما. للاطلاع على نموذج أكثر عمومية لهذه الحالة، يُرجى مراجعة " حاجز الجهد المحدود (ميكانيكا الكم)" . يُعد حاجز جهد دالة دلتا الحالة الحدية للنموذج المذكور هناك، وذلك للحواجز العالية جدًا والضيقة.

النموذج المذكور أعلاه أحادي البعد، بينما الفضاء المحيط بنا ثلاثي الأبعاد. لذا، في الواقع، ينبغي حل معادلة شرودنغر في ثلاثة أبعاد. من جهة أخرى، تتغير العديد من الأنظمة فقط على طول اتجاه إحداثي واحد، وتكون ثابتة انتقاليًا على طول الاتجاهات الأخرى. يمكن حينها اختزال معادلة شرودنغر إلى الحالة المدروسة هنا باستخدام فرضية للدالة الموجية من النوع${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!}$.

بدلاً من ذلك، من الممكن تعميم دالة دلتا لتوجد على سطح مجال ما D (انظر لابلاس المؤشر ). ^{[ 2 ]}

إن نموذج دالة دلتا هو في الواقع نسخة أحادية البعد من ذرة الهيدروجين وفقًا لطريقة القياس البعدي التي طورتها مجموعة دودلي ر. هيرشباخ ^{[ 3 ].} يصبح نموذج دالة دلتا مفيدًا بشكل خاص مع نموذج دالة دلتا ديراك ذو البئر المزدوج والذي يمثل نسخة أحادية البعد من أيون جزيء الهيدروجين ، كما هو موضح في القسم التالي.