جسيم في جهد متناظر كرويًا

في ميكانيكا الكم ، يُعتبر الجسيم في جهد متناظر كرويًا نظامًا تعتمد فيه طاقة وضع الجسيم على بُعده عن نقطة مركزية فقط، وليس على اتجاهه. يُعد هذا النموذج أساسيًا في الفيزياء لأنه يُمكن استخدامه لوصف نطاق واسع من الظواهر الواقعية، بدءًا من سلوك إلكترون واحد في ذرة الهيدروجين وصولًا إلى البنية التقريبية لنوى الذرات . ^{[ 1 ]}

يُوصَف سلوك الجسيم بمعادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن . وبسبب التناظر الكروي، يمكن تبسيط المسألة بشكل كبير باستخدام الإحداثيات الكروية ( $r$ ، $\theta$ و $\phi$ ) وتقنية رياضية تسمى فصل المتغيرات . وهذا يسمح بتقسيم الحل ( الدالة الموجية ) إلى جزء شعاعي، يعتمد فقط على المسافة $r$ وجزء زاوي. الحلول الزاوية عامة لجميع الجهود المتناظرة كرويًا وتُعرف باسم التوافقيات الكروية . أما الجزء القطري من الحل فهو خاص بشكل الجهد. $V(r)$ ويحدد مستويات الطاقة المسموح بها للنظام.

في الحالة العامة غير المعتمدة على الزمن، تخضع ديناميكيات الجسيم في جهد متناظر كرويًا لدالة هاميلتونية بالشكل التالي: ${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({r})$ هنا، $m_{0}$ كتلة الجسيم، ${\hat {p}}$ هو مؤثر الزخم ، والجهد $V(r)$ يعتمد فقط على المسافة القطرية $r$ من الأصل. يؤدي هذا الإعداد الرياضي إلى معادلة تفاضلية عادية للجزء القطري من الدالة الموجية، والتي يمكن حلها من أجل كمونات مهمة مثل كمون كولوم (للذرات) والبئر المربع الكروي (للنوى).

بنية الدوال الذاتية

إذا تم حلها بفصل المتغيرات ، فإن الحالات الذاتية للنظام ستكون على الشكل التالي: $\psi (r,\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )$ حيث الزوايا الكروية $\theta$ و $\phi$ يمثلان الزاوية القطبية والزاوية السمتية على التوالي. هذان العاملان هما $\psi$ غالباً ما يتم تجميعها معاً على شكل توافقيات كروية ، بحيث تأخذ الدوال الذاتية الشكل التالي: $\psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).$ المعادلة التفاضلية التي تميز الدالة $R(r)$ وتسمى هذه المعادلة بالمعادلة الشعاعية .

اشتقاق المعادلة الشعاعية

مؤثر الطاقة الحركية في الإحداثيات القطبية الكروية هو: ${\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}\,r^{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\hat {L}}^{2}\right].$ أين ${\hat {L}}^{2}$ هو مؤثر الزخم الزاوي (وتحديدًا، مربع مقداره). ويُعرَّف (بشكل غير بُعدي) في الإحداثيات الكروية على النحو التالي: ${\hat {L}}^{2}\equiv -\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right).$ تُحقق التوافقيات الكروية ${\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=\ell (\ell +1)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).$ وبإدخال هذا في معادلة شرودنغر نحصل على معادلة القيم الذاتية أحادية البعد، ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}R+{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}\left[E-V(r)\right]R=0.$ يمكن اختزال هذه المعادلة إلى معادلة شرودنغر أحادية البعد مكافئة عن طريق الاستبدال $R(r)=u(r)/r$ ، أين $u(r)$ يرضي ${d^{2}u \over dr^{2}}+{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}\left[E-V_{\mathrm {eff} }(r)\right]u=0$ وهي تحديداً معادلة شرودنغر أحادية البعد ذات جهد فعال معطى بواسطة $V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\hbar ^{2}\ell (\ell +1) \over 2m_{0}r^{2}},$ أين $r\in [0,\infty )$ . يُطلق على تصحيح الجهد V ( r ) اسم مصطلح الحاجز الطارد المركزي .

لو ${\textstyle \lim _{r\to 0}r^{2}V(r)=0}$ ثم بالقرب من نقطة الأصل، $R\sim r^{\ell }$ .

الهاميلتونيان المتناظر كرويًا

بما أن الهاميلتوني متناظر كرويًا، فإنه يُقال إنه ثابت تحت الدوران، أي: ${U(R)}^{\dagger }{\hat {H}}U(R)={\hat {H}}$ بما أن عوامل الزخم الزاوي هي مولدات للدوران، فإن تطبيق مبرهنة بيكر-كامبل-هاوسدورف ينتج عنه: ${\begin{aligned}{U(R)}^{\dagger }{\hat {H}}U(R)&=e^{{i{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {L} \theta }/{\hbar }}{\hat {H}}e^{{-i{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {L} \theta }/{\hbar }}\\&={\hat {H}}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {L} ,\,{\hat {H}}\right]+{\frac {1}{2!}}\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}\right)^{2}\left[{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {L} ,\,\left[{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {L} ,\,{\hat {H}}\right]\right]+\cdots \\&={\hat {H}}\end{aligned}}$

بما أن هذه المعادلة صحيحة لجميع قيم $\theta$ ، فهمنا ذلك $[{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {L} ,{\hat {H}}]=0$ أو أن كل مكون من مكونات الزخم الزاوي يتبادل مع الهاميلتوني.

منذ $L_{z}$ و $L^{2}$ إذا كانت هذه المؤثرات تتبادل فيما بينها وتتبادل أيضًا مع الهاميلتوني، فيمكن التعبير عن الدوال الموجية على النحو التالي: ${\displaystyle |\alpha$ أو ${\displaystyle \psi _{\alpha$ حيث $\alpha$ يُستخدم لتسمية الدوال الموجية المختلفة.

منذ ${\textstyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}$ كما أنها تتبادل مع الهاميلتوني، فإن قيم الطاقة الذاتية في مثل هذه الحالات تكون دائمًا مستقلة عن $m$ . ${\displaystyle {\hat {H}}|\alpha$ بالإضافة إلى حقيقة أن ${\textstyle L_{\pm }}$ لا تؤثر المؤثرات التفاضلية إلا على دوال $\theta$ و $\phi$ يُظهر ذلك أنه إذا افترضنا أن الحلول قابلة للفصل كما ${\textstyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )}$ ، الدالة الموجية الشعاعية $R(r)$ يمكن دائمًا اختيارها بشكل مستقل عن $m$ القيم. وبالتالي، يتم التعبير عن دالة الموجة على النحو التالي: ^{[ 2 ]} ${\displaystyle \psi _{\alpha$

حلول للإمكانات ذات الأهمية

هناك خمس حالات ذات أهمية خاصة:

$V(r)=0$ أو حل الفراغ في أساس التوافقيات الكروية، والذي يعمل كأساس لحالات أخرى.
$V(r)=V_{0}$ (محدود) لـ $r<r_{0}$ وصفر في أي مكان آخر.
$V(r)=0$ ل $r<r_{0}$ و لا نهائية في أماكن أخرى، وهي المكافئ الكروي للبئر المربع ، وهو مفيد لوصف الحالات المرتبطة في النواة أو النقطة الكمومية .
$V(r)\propto r^{2}$ للمذبذب التوافقي المتساوي الخواص ثلاثي الأبعاد.
$V(r)\propto {\frac {1}{r}}$ لوصف الحالات المرتبطة للذرات الشبيهة بالهيدروجين .

تم توضيح الحلول في هذه الحالات، والتي ينبغي مقارنتها بنظيراتها في الإحداثيات الديكارتية ، انظر جسيم في صندوق .

حالات علبة المكنسة الكهربائية

لننظر الآن $V(r)=0$ . تقديم المتغيرات عديمة الأبعاد $\rho \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ kr,\qquad k\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {2m_{0}E \over \hbar ^{2}}},$ تصبح المعادلة معادلة بيسل لـ $J(\rho )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\rho }}R(r)$ : $\rho ^{2}{\frac {d^{2}J}{d\rho ^{2}}}+\rho {\frac {dJ}{d\rho }}+\left[\rho ^{2}-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]J=0$ حيث تُعطى الحلول المنتظمة للطاقات الموجبة بواسطة ما يسمى بدوال بيسل من النوع الأول $J_{\ell +1/2}(\rho )$ بحيث تكون الحلول المكتوبة لـ $R(r)$ هي ما يسمى بدالة بيسل الكروية

$R(r)=j_{\ell }(kr)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\pi /(2kr)}}J_{\ell +1/2}(kr).$

وبالتالي، تُصنّف حلول معادلة شرودنغر في الإحداثيات القطبية في الفراغ بثلاثة أعداد كمية : مؤشرات منفصلة ℓ و m ، و k تتغير باستمرار في $[0,\infty )$ : $\psi (\mathbf {r} )=j_{\ell }(kr)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$ تمثل هذه الحلول حالات ذات زخم زاوي محدد، بدلاً من الزخم الخطي المحدد، والذي توفره الموجات المستوية $\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$ .

كرة ذات جهد "مربع" محدود

ضع في اعتبارك الإمكانات $V(r)=V_{0}$ ل $r<r_{0}$ و $V(r)=0$ في مكان آخر - أي داخل كرة نصف قطرها $r_{0}$ الجهد يساوي $V_{0}$ ويكون صفراً خارج الكرة. يُطلق على الجهد ذي هذا الانقطاع المحدود اسم الجهد المربع. ^{[ 3 ]}

نبدأ أولاً بدراسة الحالات المقيدة، أي الحالات التي يظهر فيها الجسيم في الغالب داخل الصندوق (الحالات المحصورة). هذه الحالات لها طاقة $E$ أقل من الجهد الكامن خارج الكرة، أي أن طاقتها سالبة. ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه على عكس جهد كولوم، الذي يتميز بعدد لا نهائي من الحالات المقيدة المنفصلة، فإن البئر المربع الكروي له عدد محدود فقط (إن وجد) بسبب مداه المحدود.

يُتبع الحل أساسًا حل حالة الفراغ المذكورة أعلاه، مع إضافة تطبيع دالة الموجة الكلية، وذلك بحل معادلتين من معادلات شرودنغر - داخل الكرة وخارجها - من النوع السابق، أي بجهد ثابت. يجب أن تتحقق القيود التالية لدالة موجة فيزيائية قابلة للتطبيع:

يجب أن تكون الدالة الموجية منتظمة عند نقطة الأصل.
يجب أن تكون دالة الموجة ومشتقتها متصلة عند نقطة عدم الاتصال المحتملة.
يجب أن تتقارب الدالة الموجية عند اللانهاية.

ينبع القيد الأول من حقيقة أن دالتي نيومان وهانكل منفردتان عند نقطة الأصل. الشرط الفيزيائي هو أن $\psi$ يجب تعريف دالة بيسل المختارة من النوع الأول في كل مكان ، بدلاً من الاحتمالات الأخرى في حالة الفراغ. وللسبب نفسه، سيكون الحل من هذا النوع داخل الكرة: $R(r)=Aj_{\ell }\left({\sqrt {\frac {2m_{0}(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r<r_{0}.$ لاحظ أنه بالنسبة للحالات المقيدة، $V_{0}<E<0$ تُضفي الحالات المقيدة طابعًا جديدًا مقارنةً بحالة الفراغ، وذلك على نحوٍ خاص. $E<0$ وهذا، بالإضافة إلى القيد الثالث، يختار دالة هانكل من النوع الأول باعتبارها الحل المتقارب الوحيد عند اللانهاية (لا تهم نقطة التفرد عند أصل هذه الدوال لأننا الآن خارج الكرة): $R(r)=Bh_{\ell }^{(1)}\left(i{\sqrt {\frac {-2m_{0}E}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r>r_{0}$ القيد الثاني على استمرارية $\psi$ في $r=r_{0}$ بالإضافة إلى التطبيع، يسمح ذلك بتحديد الثوابت $A$ و $B$ . يتطلب استمرار المشتق (أو المشتق اللوغاريتمي للتسهيل) تكميم الطاقة.

كرة ذات جهد "مربع" لانهائي

في حالة كون البئر الكامن عميقًا بلا حدود، بحيث يمكننا أن نأخذ $V_{0}=0$ داخل الكرة و $\infty$ في الخارج، تصبح المشكلة هي مطابقة الدالة الموجية داخل الكرة ( دوال بيسل الكروية ) مع دالة موجية تساوي صفرًا خارج الكرة. الطاقات المسموحة هي تلك التي تتلاشى عندها الدالة الموجية القطرية عند الحدود. لذا، نستخدم أصفار دوال بيسل الكروية لإيجاد طيف الطاقة والدوال الموجية. $u_{\ell ,k}$ الصفر ^رقمk من $j_{\ell }$ لدينا: $E_{kl}={\frac {u_{\ell ,k}^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}r_{0}^{2}}}$ وبذلك يتم اختزال المشكلة إلى حسابات هذه الأصفار $u_{\ell ,k}$ ، عادةً باستخدام جدول أو آلة حاسبة، لأن هذه الأصفار غير قابلة للحل في الحالة العامة.

في الحالة الخاصة $\ell =0$ (المدارات المتناظرة كرويًا)، دالة بيسل الكروية هي ${\textstyle j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}}$ والتي يمكن تحديد أصفارها بسهولة على النحو التالي: $u_{0,k}=k\pi$ وبالتالي، فإن قيم الطاقة الذاتية الخاصة بها هي: $E_{k0}={\frac {(k\pi )^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}r_{0}^{2}}}={\frac {k^{2}h^{2}}{8m_{0}r_{0}^{2}}}$

مذبذب توافقي متناحٍ ثلاثي الأبعاد

إمكانات المذبذب التوافقي المتناحي ثلاثي الأبعاد هي $V(r)={\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}.$ يمتلك المذبذب التوافقي المتناحي ذو الأبعاد N الطاقات التالية : $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {N}{2}}\right)\quad {\text{with}}\quad n=0,1,\ldots ,\infty ,$ أي، $n$ هو عدد صحيح غير سالب؛ $\omega$ هو نفس التردد الأساسي لـ $N$ أنماط المذبذب. في هذه الحالة $N=3$ وبذلك تصبح معادلة شرودنغر الشعاعية كما يلي: $\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\hbar ^{2}\ell (\ell +1) \over 2m_{0}r^{2}}+{\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}-\hbar \omega \left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\right]u(r)=0.$

تقديم $\gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }}$ وتذكر ذلك $u(r)=rR(r)$ سنبين أن معادلة شرودنغر الشعاعية لها الحل المعياري، $R_{n\ell }(r)=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r^{2}),$ حيث الدالة $L_{k}^{(\alpha )}(\gamma r^{2})$ هي متعددة حدود لاغير المعممة في $\gamma r^{2}$ من النظام $k$ .

ثابت التطبيع $N_{n\ell }$ يكون، $N_{n\ell }=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\left[{\frac {1}{2}}(n-\ell )\right]!\;\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}{(n+\ell +1)!}}\right]^{\frac {1}{2}}.$

الدالة الذاتية $R_{n\ell }(r)$ يرتبط بالطاقة $E_{n}$ ، أين $\ell =n,n-2,\ldots ,\ell _{\min }\quad {\text{with}}\quad \ell _{\min }={\begin{cases}1&{\text{if}}~n~{\text{odd}}\\0&{\text{if}}~n~{\text{even}}\end{cases}}$ هذه هي نفس نتيجة المذبذب التوافقي الكمومي ، مع $\gamma =2\nu$ .

الاشتقاق

$أولًا ،$ نحول المعادلة القطرية، عبر سلسلة من التعويضات المتتالية، إلى معادلة لاغير التفاضلية المعممة، والتي لها حلول معروفة: دوال لاغير المعممة. ثم نُعَيِّر دوال لاغير المعممة إلى الوحدة. ويتم هذا التعيير باستخدام عنصر الحجم $المعتاد$ $r²dr .$

أولاً، نقوم بتغيير مقياس الإحداثي القطري $y={\sqrt {\gamma }}r\quad {\text{with}}\quad \gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }},$ ثم تصبح المعادلة $\left[{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{y^{2}}}-y^{2}+2n+3\right]v(y)=0$ مع ${\textstyle v(y)=u\left(y/{\sqrt {\gamma }}\right)}$ .

يشير النظر في السلوك الحدي لـ $v (y)$ عند نقطة الأصل وعند اللانهاية إلى الاستبدال التالي لـ $v (y)$ ، $v(y)=y^{\ell +1}e^{-y^{2}/2}f(y).$ يؤدي هذا الاستبدال إلى تحويل المعادلة التفاضلية إلى $\left[{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+2\left({\frac {\ell +1}{y}}-y\right){\frac {d}{dy}}+2n-2\ell \right]f(y)=0,$ حيث انقسمنا من خلال $y^{\ell +1}e^{-y^{2}/2}$ ، وهو ما يمكن فعله طالما أن قيمة y ليست صفرًا.

التحويل إلى كثيرات الحدود لاجير

إذا كان الاستبدال $x=y^{2}$ يُستخدم، $y={\sqrt {x}}$ وتصبح المؤثرات التفاضلية ${\frac {d}{dy}}={\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}=2y{\frac {d}{dx}}=2{\sqrt {x}}{\frac {d}{dx}},$ و ${\frac {d^{2}}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left(2y{\frac {d}{dx}}\right)=4x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}.$

التعبير الموجود بين القوسين المربعين مضروبًا في $f(y)$ تصبح المعادلة التفاضلية التي تميز معادلة لاغير المعممة (انظر أيضًا معادلة كومر ): $x{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)+1-x\right){\frac {dg}{dx}}+{\frac {1}{2}}(n-\ell )g(x)=0$ مع $g(x)\equiv f({\sqrt {x}})$ .

متاح $k\equiv (n-\ell )/2$ إذا كان عددًا صحيحًا غير سالب، فإن حلول هذه المعادلات هي كثيرات حدود لاغير المعممة (المرتبطة). $g(x)=L_{k}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(x).$

من الشروط المتعلقة $k$ يتبع: (أ) $n\geq \ell$ و (2) $n$ و $\ell$ إما أن يكون كلاهما فرديًا أو كلاهما زوجيًا. وهذا يؤدي إلى الشرط التالي: $\ell$ المذكور أعلاه.

استعادة الدالة الموجية الشعاعية المعيارية

تذكر ذلك $u(r)=rR(r)$ ، فنحصل على الحل الشعاعي المعياري: $R_{n\ell }(r)=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r^{2}).$

شرط التطبيع للدالة الموجية الشعاعية هو: $\int _{0}^{\infty }r^{2}|R_{n\ell }(r)|^{2}\,dr=1.$

الاستبدال $q=\gamma r^{2}$ ، يعطي $dq=2\gamma r\,dr$ وتصبح المعادلة كالتالي: ${\frac {N_{n\ell }^{2}}{2\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}}\int _{0}^{\infty }q^{\ell +{1 \over 2}}e^{-q}\left[L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(q)\right]^{2}\,dq=1.$

باستخدام خصائص التعامد لكثيرات حدود لاغير المعممة ، تتبسط هذه المعادلة إلى: ${\frac {N_{n\ell }^{2}}{2\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}}\cdot {\frac {\Gamma {\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell +1)+1\right]}}{\left[{\frac {1}{2}}(n-\ell )\right]!}}=1.$

وبالتالي، يمكن التعبير عن ثابت التطبيع على النحو التالي: $N_{n\ell }={\sqrt {\frac {2\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}\,\left({\frac {n-\ell }{2}}\right)!}{\Gamma {\left({\frac {n+\ell }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}}}$

يمكن اشتقاق أشكال أخرى لثابت التطبيع باستخدام خصائص دالة جاما ، مع ملاحظة أن $n$ و $l$ كلاهما من نفس التكافؤ. هذا يعني أن $n+\ell$ تكون دائمًا زوجية، بحيث تصبح دالة جاما: ${\begin{aligned}\Gamma {\left[{\frac {1}{2}}+\left({\frac {n+\ell }{2}}+1\right)\right]}&={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+\ell +1)!!}{2^{{\frac {n+\ell }{2}}+1}}}\\[1ex]&={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+\ell +1)!}{2^{n+\ell +1}\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}},\end{aligned}}$ حيث استخدمنا تعريف المضروب المزدوج . وبالتالي، فإن ثابت التوحيد يُعطى أيضًا بالصيغة التالية: ${\begin{aligned}N_{n\ell }&=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{3 \over 2}}\left[{1 \over 2}(n-\ell )\right]!\left[{1 \over 2}(n+\ell )\right]!}{\;\pi ^{1 \over 2}(n+\ell +1)!}}\right]^{1 \over 2}\\[1.5ex]&={\sqrt {2}}\left({\frac {\gamma }{\pi }}\right)^{1 \over 4}\,({2\gamma })^{\ell \over 2}\,{\sqrt {\frac {2\gamma (n-\ell )!!}{(n+\ell +1)!!}}}.\end{aligned}}$

ذرات شبيهة بالهيدروجين

الذرة الهيدروجينية (شبيهة الهيدروجين) هي نظام ثنائي الجسيمات يتكون من نواة وإلكترون. يتفاعل الجسيمان من خلال الجهد الذي يحدده قانون كولوم . $V(r)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}$ أين

ε ₀ هي سماحية الفراغ،
Z هو العدد الذري ( eZ هي شحنة النواة)،
e هي الشحنة الأولية (شحنة الإلكترون)،
r هي المسافة بين الإلكترون والنواة.

لتبسيط معادلة شرودنغر، نقدم الثوابت التالية التي تحدد الوحدة الذرية للطاقة والطول:

$E_{\textrm {h}}=\mu \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right)^{2}\quad {\text{and}}\quad a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}.$

أين $\mu \approx m_{e}$ الكتلة المختزلة في $m_{e}\ll m_{\text{nucleus}}$ الحد. استبدل $y=Zr/a_{0}$ و $W=E/(Z^{2}E_{\textrm {h}})$ في معادلة شرودنغر الشعاعية المذكورة أعلاه. وهذا يعطي معادلةً تكون فيها جميع الثوابت الطبيعية مخفية. $\left[-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\ell (\ell +1)}{y^{2}}}-{\frac {1}{y}}\right]u_{\ell }=Wu_{\ell }.$ يوجد نوعان من حلول هذه المعادلة:

$W$ إذا كانت سالبة، فإن الدوال الذاتية المقابلة قابلة للتكامل التربيعي، وقيم $W$ يتم تكميمها (طيف منفصل).
$W$ إذا كانت غير سالبة، فإن كل قيمة حقيقية غير سالبة لـ $W$ إذا كان ذلك مسموحًا به فيزيائيًا (طيف متصل)، فإن الدوال الذاتية المقابلة غير قابلة للتكامل التربيعي. إن الاقتصار على حلول الفئة (أ) يحصر الحلول في الدوال الموجية التي تمثل حالات مقيدة ، على عكس حلول الفئة (ب) المعروفة بحالات التشتت .

بالنسبة لحلول الفئة (i) ذات قيمة W السالبة ، فإن الكمية $\alpha \equiv 2{\sqrt {-2W}}$ هو أمر حقيقي وإيجابي. مقياس $y$ أي استبدال $x\equiv \alpha y$ تعطي معادلة شرودنغر: $\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}+{\frac {2}{\alpha x}}-{\frac {1}{4}}\right]u_{\ell }=0,\quad {\text{with }}x\geq 0.$

ل $x\rightarrow \infty$ تكون القوى العكسية لـ x ضئيلة، ويكون الحل قابلاً للتطبيع (وبالتالي، فيزيائيًا) للأعداد الكبيرة $x$ يكون $\exp[-x/2]$ وبالمثل، بالنسبة لـ $x\rightarrow 0$ تهيمن قوة التربيع العكسي والحل الفيزيائي للقيم الصغيرة $x$ هي x ^{ℓ +1} . لذا، للحصول على حل كامل النطاق، نستبدل $u_{l}(x)=x^{\ell +1}e^{-x/2}f_{\ell }(x).$

معادلة $f_{l}(x)$ يصبح، $\left[x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(2\ell +2-x){\frac {d}{dx}}+(n-\ell -1)\right]f_{\ell }(x)=0\quad {\text{with}}\quad n=(-2W)^{-1/2}={\frac {2}{\alpha }}.$

متاح $n-\ell -1$ إذا كان عددًا صحيحًا غير سالب ، فإن هذه المعادلة لها حلول متعددة الحدود تُكتب على النحو التالي: $L_{k}^{(2\ell +1)}(x),\qquad k=0,1,\ldots ,$ وهي كثيرات حدود لاغير المعممة من الرتبة $k$ تصبح الطاقة $W=-{\frac {1}{2n^{2}}}\quad {\text{with}}\quad n\equiv k+\ell +1.$

العدد الكمي الرئيسي $n$ يرضي $n\geq \ell +1$ . منذ $\alpha =2/n$ ، دالة الموجة الشعاعية الكلية هي $R_{n\ell }(r)={\frac {u(r)}{r}}=N_{n\ell }\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right)^{\ell }\;e^{-{\tfrac {Zr}{na_{0}}}}\;L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right),$ مع عملية التطبيع التي تستوعب الحدود الإضافية من ${\textstyle {\frac {1}{r}}}$ $N_{n\ell }=\left[\left({\frac {2Z}{na_{0}}}\right)^{3}\cdot {\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]^{3}}}\right]^{1 \over 2},$ عبر ^{[ 4 ]}

$\int _{0}^{\infty }x^{2\ell +2}e^{-x}\left[L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}(x)\right]^{2}dx={\frac {2n(n+\ell )!}{(n-\ell -1)!}}.$

الطاقة المقابلة هي $E=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}E_{\textrm {h}},\qquad n=1,2,\ldots .$

مراجع

↑ رودنبرغ، كلاوس؛ شميدت، مايكل و. (12 مارس 2009). "الفهم الفيزيائي من خلال الاستدلال التبايني: مشاركة الإلكترونات والترابط التساهمي" . مجلة الكيمياء الفيزيائية أ . 113 (10): 1954-1968 . doi : 10.1021/jp807973x . ISSN 1089-5639 . PMID 19228050 .
↑ ليتلجون، روبرت ج. "فيزياء 221أ: حركة القوة المركزية" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 8 ديسمبر 2023. تم الاطلاع عليه في 18 فبراير 2024 .
↑ أ. ميسيا، ميكانيكا الكم ، المجلد الأول، ص 78، دار نشر نورث هولاند، أمستردام (1967). ترجمة من الفرنسية بقلم جي إم تيمر
↑ هـ. مارجيناو وجي إم مورفي، رياضيات الفيزياء والكيمياء ، فان نوستراند، الطبعة الثانية (1956)، ص 130. لاحظ أن اصطلاح متعددة حدود لاغير في هذا الكتاب يختلف عن الاصطلاح الحالي. إذا أشرنا إلى لاغير في تعريف مارجيناو ومورفي بخط في الأعلى، فسنحصل على ${\bar {L}}_{n+k}^{(k)}=(-1)^{k}(n+k)!L_{n}^{(k)}$ .

[1] رودنبرغ، كلاوس؛ شميدت، مايكل و. (12 مارس 2009). "الفهم الفيزيائي من خلال الاستدلال التبايني: مشاركة الإلكترونات والترابط التساهمي" . مجلة الكيمياء الفيزيائية أ . 113 (10): 1954-1968 . doi : 10.1021/jp807973x . ISSN 1089-5639 . PMID 19228050 .

[2] ليتلجون، روبرت ج. "فيزياء 221أ: حركة القوة المركزية" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 8 ديسمبر 2023. تم الاطلاع عليه في 18 فبراير 2024 .

[Messiah-3] أ. ميسيا، ميكانيكا الكم ، المجلد الأول، ص 78، دار نشر نورث هولاند، أمستردام (1967). ترجمة من الفرنسية بقلم جي إم تيمر

[4] هـ. مارجيناو وجي إم مورفي، رياضيات الفيزياء والكيمياء ، فان نوستراند، الطبعة الثانية (1956)، ص 130. لاحظ أن اصطلاح متعددة حدود لاغير في هذا الكتاب يختلف عن الاصطلاح الحالي. إذا أشرنا إلى لاغير في تعريف مارجيناو ومورفي بخط في الأعلى، فسنحصل على ${\bar {L}}_{n+k}^{(k)}=(-1)^{k}(n+k)!L_{n}^{(k)}$ .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗