الوحدات الذرية

الوحدات الذرية هي نظام وحدات قياس طبيعية ملائمة للغاية لإجراء الحسابات في الفيزياء الذرية والمجالات العلمية ذات الصلة، مثل الكيمياء الحاسوبية والتحليل الطيفي الذري . وقد اقترحها وسماها الفيزيائي دوغلاس هارتري . ^{[ 1 ]} غالبًا ما تُختصر الوحدات الذرية إلى "au" أو "au"، ويجب عدم الخلط بينها وبين الاختصارات المشابهة المستخدمة للوحدات الفلكية والوحدات الاعتباطية ووحدات الامتصاص في سياقات أخرى.

تم تبرير استخدام الوحدات الذرية على أساس دقة واستقرار القيم المبلغ عنها: نظرًا لأن قيم الثوابت الأساسية في الفيزياء الذرية مثل القيم المقبولة${\displaystyle \hbar }$،​​${\displaystyle m_{\text{e}}}$،​​${\displaystyle e}$و​​${\displaystyle c}$لم تكن هذه القيم مستقرة أو دقيقة بما فيه الكفاية، ولم يكن بالإمكان مقارنة قيم الحسابات والقياسات التي أُجريت في سنوات مختلفة بشكل مباشر، مما أدى إلى حدوث ارتباك. وقد أدى ذلك إلى اقتراحات بضرورة الإبلاغ عن نتائج حسابات ميكانيكا الكم باستخدام وحدات تستند مباشرة إلى هذه الثوابت. ^{[ 2 ]}

في سياق الفيزياء الذرية، يُعدّ استخدام نظام الوحدات الذرية اختصارًا مناسبًا، إذ يُلغي الرموز والأرقام ويُقلّل من رتبة مقدار معظم الأرقام المُستخدمة. على سبيل المثال، مُؤثّر هاميلتون في معادلة شرودنغر لذرة الهيليوم بالكميات القياسية، كما هو الحال عند استخدام وحدات النظام الدولي للوحدات، هو ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{1}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{2}^{2}-{\frac {2e^{2}}{4\pi \epsilon _ {0}r_ {1}}} - {\frac {2e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{2}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{12}}},}$

ولكن باعتماد الاصطلاح المرتبط بالوحدات الذرية الذي يحول الكميات إلى مكافئات لا بُعدية ، يصبح

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{2}^{2}-{\frac {2}{r_{1}}}-{\frac {2}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{12}}}.}$

في هذا الاصطلاح، الثوابت ⁠${\displaystyle \hbar }$،​​${\displaystyle m_{\text{e}}}$،​​${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$و​​${\displaystyle e}$جميعها تتوافق مع القيمة${\displaystyle 1}$( انظر §  التعريف أدناه). المسافات ذات الصلة بالفيزياء، والمعبر عنها بوحدات النظام الدولي للوحدات، تكون بطبيعة الحال من رتبة10⁻¹⁰ متر ، بينما تُقاس المسافات بالوحدات الذرية ^،  وهي من رتبة ⁠${\displaystyle 1a_{0}}$( نصف قطر بور ، وهو وحدة الطول الذرية). ومن المزايا الإضافية للتعبير عن الكميات باستخدام الوحدات الذرية أن قيمها المحسوبة والمُبلغ عنها بالوحدات الذرية لا تتغير عند مراجعة قيم الثوابت الأساسية، لأن الثوابت الأساسية مُضمنة في عوامل التحويل بين الوحدات الذرية والنظام الدولي للوحدات.

حدد هارتري الوحدات بناءً على ثلاثة ثوابت فيزيائية: ^{[ 1 ] : 91}

وذلك بهدف التخلص من الثوابت العالمية المختلفة من المعادلات، وكذلك لتجنب القوى العالية للعدد 10 في العمل العددي، فمن الملائم التعبير عن الكميات بدلالة وحدات، والتي يمكن تسميتها "الوحدات الذرية"، والمحددة على النحو التالي:

وحدة الطول ،${\displaystyle a_{\text{H}}=h^{2}\,/\,4\pi ^{2}me^{2}}$، في ميكانيكا المدارات نصف قطر المدار الدائري الكمي الواحد لذرة الهيدروجين ذات النواة الثابتة.

وحدة الشحن ،${\displaystyle e}$، مقدار الشحنة على الإلكترون.

وحدة الكتلة ،${\displaystyle m}$، كتلة الإلكترون.

ومن الأمور المتوافقة مع ذلك ما يلي:

وحدة العمل ،${\displaystyle h\,/\,2\pi }$⁠ .

وحدة الطاقة ،${\displaystyle e^{2}/a_{\text{H}}=2hcR=}$[ ...]

وحدة زمنية ،${\displaystyle 1\,/\,4\pi cR}$⁠ .

هنا، المكافئ الحديث لـ ⁠${\displaystyle R}$⁠ هو ثابت ريدبيرج ⁠${\displaystyle R_{\infty }}$، من​${\displaystyle m}$كتلة الإلكترون​${\displaystyle m_{\text{e}}}$، من​${\displaystyle a_{\text{H}}}$⁠ هو نصف قطر بور ⁠${\displaystyle a_{0}}$و من​${\displaystyle h/2\pi }$⁠ هو ثابت بلانك المختزل ⁠${\displaystyle \hbar }$. تعابير هارتري التي تحتوي على${\displaystyle e}$تختلف عن الشكل الحديث بسبب تغيير في تعريف${\displaystyle e}$، كما هو موضح أدناه.

في عام 1957، استند كتاب بيث وسالبيتر " ميكانيكا الكم للذرات أحادية وثنائية الإلكترون " ^{[ 4 ]} إلى وحدات هارتري، التي أطلقوا عليها اسم الوحدات الذرية واختصروها بـ "au". وقد اختاروا استخدام${\displaystyle \hbar }$استخدموا وحدة الفعل والزخم الزاوي بدلاً من طول هارتري كوحدات أساسية. ولاحظوا أن وحدة الطول في هذا النظام هي نصف قطر مدار بور الأول ، وأن سرعتهم هي سرعة الإلكترون في نموذج بور للمدار الأول.

في عام 1959، دعا شول وهول ^{[ 5 ]} إلى استخدام وحدات ذرية تستند إلى نموذج هارتري، لكنهما اختارا مرة أخرى استخدام${\displaystyle \hbar }$كوحدة تعريفية. أطلقوا صراحةً على وحدة المسافة اسم " نصف قطر بور "؛ بالإضافة إلى ذلك، كتبوا وحدة الطاقة على النحو التالي :${\displaystyle H=me^{4}/\hbar ^{2}}$وأطلقوا عليه اسم هارتري . وقد شاع استخدام هذه المصطلحات في الكيمياء الكمية. ^{[ 6 ] : 349}

في عام 1973، قام ماكويني بتوسيع نظام شول وهول بإضافة السماحية الكهربائية على شكل ⁠${\displaystyle \kappa _{0}=4\pi \epsilon _{0}}$كوحدة تعريفية أو أساسية. ^{[ 7 ] [ 8 ]} وفي الوقت نفسه، اعتمد تعريف النظام الدولي للوحدات (SI) لـ${\displaystyle e}$وبالتالي فإن تعبيره عن الطاقة بالوحدات الذرية هو${\displaystyle e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}a_{0})}$، بما يتوافق مع التعبير الوارد في كتيب النظام الدولي الثامن. ^{[ 9 ]}

تتضمن مجموعة الوحدات الأساسية في النظام الذري، كما ورد في أحد المقترحات، كتلة سكون الإلكترون، ومقدار شحنة الإلكترون، وثابت بلانك، والسماحية الكهربائية. ^{[ 7 ] [ 10 ]} في نظام الوحدات الذرية الذي يعامل الكميات على أنها بلا أبعاد، تأخذ كل منها القيمة 1؛ أما القيم المقابلة في النظام الدولي للوحدات ^{[ 11 ] : 132،} فهي موضحة في الجدول.

الوحدات الذرية الأساسية ^{[ * ]}

الرمز والاسم	كمية	البعد [ † ]	قيمة النظام الذري [ ‡ ]	قيمة النظام الدولي للوحدات
⁠${\displaystyle \hbar }$ثابت بلانك المختزل	فعل	ML 2 T −1	1	1.054 571 817 ... × 10 −34  J⋅s ‍ [12 ]
⁠${\displaystyle e}$الشحنة الأولية​	تكلفة	سؤال	1	1.602 176 634 × 10 −19  C ‍ [13 ]
⁠${\displaystyle m_{\text{e}}}$كتلة سكون الإلكترون	كتلة	م	1	9.109 383 7139 (28) × 10 −31  كجم ‍ [14 ]
⁠${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$، السماحية​	السماحية	Q 2 W −1 L −1	1	1.112 650 056 20 (17) × 10 −10  F⋅m −1 ‍ [15 ]

ثلاثة من الثوابت الأساسية (ثابت بلانك المختزل، والشحنة الأولية، وكتلة سكون الإلكترون) هي وحدات ذرية بحد ذاتها - وحدات الفعل ، ^{[ 16 ]} والشحنة الكهربائية ، ^{[ 17 ]} والكتلة ، ^{[ 18 ]} على التوالي. ووحدتان مسميتان هما وحدات الطول ( نصف قطر بور ) .${\displaystyle a_{0}\equiv 4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}/m_{\text{e}}e^{2}}$) والطاقة( هارتري​​${\displaystyle E_{\text{h}}\equiv \hbar ^{2}/m_{\text{e}}a_{0}^{2}}$) .

الوحدات الذرية المحددة

الوحدة الذرية لـ	تعبير	القيمة بوحدات النظام الدولي للوحدات	مكافئات أخرى
كثافة الشحنة الكهربائية	${\displaystyle e/a_{0}^{3}}$	1.081 202 386 77 (51) × 10 12  C⋅m −3 ‍ [19 ]
التيار الكهربائي	${\displaystyle eE_{\text{h}}/\hbar }$	6.623 618 237 5082 (72) × 10 −3  A ‍ [20 ]
الشحنة الكهربائية	${\displaystyle e}$	1.602 176 634 × 10 −19  C ‍ [17 ]
عزم ثنائي القطب الكهربائي	${\displaystyle ea_{0}}$	8.478 353 6198 (13) × 10 −30  C⋅m ‍ [21 ]	≘2.541 746 473 د
عزم رباعي الأقطاب الكهربائية	${\displaystyle ea_{0}^{2}}$	4.486 551 5185 (14) × 10 −40  C⋅m 2 ‍ [22 ]
الجهد الكهربائي	${\displaystyle E_{\text{h}}/e}$	27.211 386 245 981 (30)  ف ‍ [23 ]
المجال الكهربائي	${\displaystyle E_{\text{h}}/ea_{0}}$	5.142 206 751 12 (80) × 10 11  V⋅m −1 ‍ [24 ]
تدرج المجال الكهربائي	${\displaystyle E_{\text{h}}/ea_{0}^{2}}$	9.717 362 4424 (30) × 10 21  V⋅m −2 ‍ [25 ]
السماحية	${\displaystyle e^{2}/a_{0}E_{\text{h}}}$	1.112 650 056 20 (17) × 10 −10  F⋅m −1 ‍ [15 ]	⁠${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$⁠
الاستقطابية الكهربائية	${\displaystyle e^{2}a_{0}^{2}/E_{\text{h}}}$	1.648 777 272 12 (51) × 10 −41  C 2 ⋅m 2 ⋅J −1 ‍ [26 ]
الاستقطابية الفائقة الأولى	${\displaystyle e^{3}a_{0}^{3}/E_{\text{h}}^{2}}$	3.206 361 2996 (15) × 10 −53  C 3 ⋅m 3 ⋅J −2 ‍ [27 ]
الاستقطابية الفائقة الثانية	${\displaystyle e^{4}a_{0}^{4}/E_{\text{h}}^{3}}$	6.235 379 9735 (39) × 10 −65  C 4 ⋅m 4 ⋅J −3 ‍ [28 ]
عزم ثنائي القطب المغناطيسي	${\displaystyle \hbar e/m_{\text{e}}}$	1.854 802 013 15 (58) × 10 −23  J⋅T −1 ‍ [29 ]	⁠${\displaystyle 2\mu _{\text{B}}}$⁠
كثافة التدفق المغناطيسي	${\displaystyle \hbar /ea_{0}^{2}}$	2.350 517 570 77 (73) × 10 5  T ‍ [30 ]	≘2.3505 × 10 9 غرام
قابلية التمغنط	${\displaystyle e^{2}a_{0}^{2}/m_{\text{e}}}$	7.891 036 5794 (49) × 10 −29  J⋅T −2 ‍ [31 ]
فعل	${\displaystyle \hbar }$	1.054 571 817 ... × 10 −34  J⋅s ‍ [16 ]
طاقة	${\displaystyle E_{\text{h}}}$	4.359 744 722 2060 (48) × 10 −18  J ‍ [32 ]	⁠${\displaystyle 2hcR_{\infty }}$،​​${\displaystyle \alpha ^{2}m_{\text{e}}c^{2}}$،​27.211 386 245 988 (53) فولت  ‍ [33 ]
قوة	${\displaystyle E_{\text{h}}/a_{0}}$	8.238 723 5038 (13) × 10 −8  N ‍ [34 ]	82.387  نانونيوتن ،51.421  إلكترون فولت·أنجستروم −1
طول	${\displaystyle a_{0}}$	5.291 772 105 44 (82) × 10 −11  م ‍ [35 ]	⁠${\displaystyle \hbar /\alpha m_{\text{e}}c}$،​0.529 177 أنغستروم
كتلة	${\displaystyle m_{\text{e}}}$	9.109 383 7139 (28) × 10 −31  كجم ‍ [18 ]
دَفعَة	${\displaystyle \hbar /a_{0}}$	1.992 851 915 45 (31) × 10 −24  kg⋅m⋅s −1 ‍ [36 ]
وقت	${\displaystyle \hbar /E_{\text{h}}}$	2.418 884 326 5864 (26) × 10 −17  ثانية ‍ [37 ]
سرعة	${\displaystyle a_{0}E_{\text{h}}/\hbar }$	2.187 691 262 16 (34) × 10 6  م⋅ث −1 ‍ [38 ]	⁠${\displaystyle \alpha c}$⁠
⁠${\displaystyle c}$سرعة الضوء ،​ ​ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$سماحية الفراغ ،​ ​ ${\displaystyle R_{\infty }}$ثابت ريدبيرج ،​​  ${\displaystyle h}$ثابت بلانك ،​​ ${\displaystyle \alpha }$ثابت البنية الدقيقة ،​ ${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$⁠ : بور مغنطون , ≘ : مراسلات

تُعتمد اصطلاحات مختلفة في استخدام الوحدات الذرية، والتي تختلف في طريقة عرضها وشكلها الرسمي ومدى ملاءمتها.

تحتفظ الثوابت الفيزيائية عديمة الأبعاد بقيمها في أي نظام وحدات. ومن الجدير بالذكر ثابت البنية الدقيقة .${\displaystyle \alpha ={e^{2}}/{(4\pi \epsilon _{0}\,\hbar c)}\approx 1/137}$، والذي يظهر في التعبيرات نتيجة لاختيار الوحدات. على سبيل المثال، القيمة العددية لسرعة الضوء ، معبرًا عنها بالوحدات الذرية، هي${\displaystyle c=1/\alpha \,{\text{au}}\approx 137\,{\text{au}}}$[ ^{42 ] : 597​}

بعض الثوابت الفيزيائية معبر عنها بالوحدات الذرية

اسم	الرمز/التعريف	القيمة بالوحدات الذرية
سرعة الضوء	${\displaystyle c}$	${\displaystyle (1/\alpha )\,a_{0}E_{\text{h}}/\hbar \approx 137\,a_{0}E_{\text{h}}/\hbar }$
نصف قطر الإلكترون الكلاسيكي	${\displaystyle r_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\text{e}}c^{2}}}}$	${\displaystyle \alpha ^{2}\,a_{0}\approx 0.0000532\,a_{0}}$
انخفاض طول موجة كومبتون للإلكترون	${\displaystyle \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}={\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c}}}$	${\displaystyle \alpha \,a_{0}\approx 0.007297\,a_{0}}$
كتلة البروتون	${\displaystyle m_{\text{p}}}$	${\displaystyle \approx 1836\,m_{\text{e}}}$

يتم اختيار الوحدات الذرية لتعكس خصائص الإلكترونات في الذرات، وهو ما يتضح بشكل خاص في نموذج بور الكلاسيكي لذرة الهيدروجين للإلكترون المرتبط في حالته الأرضية :

• الكتلة = 1 وحدة كتل ذرية
• الشحنة = -1 وحدة ذرية من الشحنة
• نصف قطر المدار = 1 وحدة فلكية
• السرعة المدارية = 1 وحدة فلكية من السرعة ^{[ 42 ] : 597}
• الفترة المدارية = 2π وحدة فلكية من الزمن
• السرعة الزاوية المدارية = 1 راديان لكل وحدة فلكية من الزمن
• الزخم المداري = 1 وحدة فلكية من الزخم
• طاقة التأين = ½ وحدة طاقة ذرية​
• المجال الكهربائي (الناتج عن النواة) = 1 وحدة ذرية من المجال الكهربائي
• قوة لورنتز (الناتجة عن النواة) = 1 وحدة ذرية من القوة

^{[ 43 ]}