الهاميلتوني (ميكانيكا الكم)

قياسًا على الميكانيكا الكلاسيكية ، يُعبَّر عن الهاميلتوني عادةً على أنه مجموع المؤثرات التي تُقابل الطاقات الحركية والكامنة لنظام ما، وذلك على النحو التالي :$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},}$$ أين $${\displaystyle {\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t),}$$ هو مشغل الطاقة المحتملة و $${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},}$$ هو عامل الطاقة الحركية الذي فيه${\displaystyle m}$تمثل كتلة الجسيم، وتشير النقطة إلى حاصل الضرب النقطي للمتجهات، و $${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,}$$ هو عامل الزخم حيث أ${\displaystyle \nabla }$هو عامل الحذف (del) . الضرب النقطي لـ${\displaystyle \nabla }$اللابلاسي مع نفسه${\displaystyle \nabla ^{2}}$في ثلاثة أبعاد باستخدام الإحداثيات الديكارتية، يكون مؤثر لابلاس هو $${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}}$$

على الرغم من أن هذا ليس التعريف التقني للهاميلتوني في الميكانيكا الكلاسيكية ، إلا أنه الشكل الأكثر شيوعًا له. وبدمج هذه الأشكال نحصل على الشكل المستخدم في معادلة شرودنغر : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} {2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{محاذاة}}}$$ مما يسمح بتطبيق الهاميلتوني على الأنظمة الموصوفة بدالة موجية${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$هذا هو النهج الذي يتم اتباعه عادةً في المعالجات التمهيدية لميكانيكا الكم، باستخدام الشكلية الخاصة بميكانيكا الموجة لشرودنغر.

يمكن أيضًا إجراء استبدالات لمتغيرات معينة لتناسب حالات محددة، مثل بعض الحالات التي تتضمن مجالات كهرومغناطيسية.

يمكن توسيع نطاق الشكلية إلى${\displaystyle N}$الجسيمات: $${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}}$$ أين $${\displaystyle {\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),}$$ هي دالة الطاقة الكامنة، وهي الآن دالة للتكوين المكاني للنظام والزمن (مجموعة معينة من المواضع المكانية في لحظة زمنية معينة تحدد التكوين) و $${\displaystyle {\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{n}}}\nabla _{n}^{2}}$$ هو مؤثر الطاقة الحركية للجسيم${\displaystyle n}$،${\displaystyle \nabla _{n}}$هو تدرج الجسيمات${\displaystyle n}$، و${\displaystyle \nabla _{n}^{2}}$هو لابلاس للجسيم n : $${\displaystyle \nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},}$$

يؤدي الجمع بين هذه إلى الحصول على هاميلتونيان شرودنغر لـ${\displaystyle N}$حالة الجسيمات: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}}$$

مع ذلك، قد تنشأ تعقيدات في مسألة الأجسام المتعددة . بما أن طاقة الوضع تعتمد على التوزيع المكاني للجسيمات، فإن الطاقة الحركية ستعتمد أيضًا على التوزيع المكاني للحفاظ على الطاقة. وتختلف حركة أي جسيم منفرد باختلاف حركة جميع الجسيمات الأخرى في النظام. لهذا السبب، قد تظهر حدود متقاطعة للطاقة الحركية في الهاميلتوني؛ وهي مزيج من تدرجات جسيمين. $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}}$$ أين${\displaystyle M}$يرمز إلى كتلة مجموعة الجسيمات التي ينتج عنها هذه الطاقة الحركية الإضافية. تُعرف الحدود من هذا الشكل بحدود استقطاب الكتلة ، وتظهر في هاميلتونيان الذرات متعددة الإلكترونات (انظر أدناه).

ل${\displaystyle N}$الجسيمات المتفاعلة، أي الجسيمات التي تتفاعل فيما بينها وتشكل حالة متعددة الأجسام، دالة طاقة الوضع${\displaystyle V}$لا تُعدّ دالة طاقة الوضع مجرد مجموع للجهود الكامنة المنفصلة (وبالتأكيد ليست حاصل ضربها، لأن هذا غير صحيح من الناحية البُعدية). لا يمكن كتابة دالة طاقة الوضع إلا كما سبق: دالة لجميع المواضع المكانية لكل جسيم.

بالنسبة للجسيمات غير المتفاعلة، أي الجسيمات التي لا تتفاعل فيما بينها وتتحرك بشكل مستقل، فإن جهد النظام هو مجموع طاقة الوضع المنفصلة لكل جسيم، ^{[ 1 ]} أي $${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)}$$

الشكل العام للهاميلتوني في هذه الحالة هو: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}}$$ حيث يُجمع كل شيء على جميع الجسيمات وجهودها المقابلة؛ والنتيجة هي أن هاميلتوني النظام هو مجموع الهاميلتوني المنفصل لكل جسيم. هذه حالة مثالية، أما في الواقع العملي، فتتأثر الجسيمات دائمًا تقريبًا بجهد ما، وتحدث تفاعلات متعددة الأجسام. ومن الأمثلة التوضيحية على تفاعل ثنائي الأجسام، حيث لا ينطبق هذا الشكل، الجهود الكهروستاتيكية الناتجة عن الجسيمات المشحونة، لأنها تتفاعل مع بعضها البعض بتفاعل كولوم (القوة الكهروستاتيكية)، كما هو موضح أدناه.

الجسيم غير مقيد بأي طاقة كامنة، لذا فإن الطاقة الكامنة تساوي صفرًا، وهذا الهاميلتوني هو أبسط معادلة. في بُعد واحد: $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$$ وفي أبعاد أعلى: $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$$

بالنسبة لجزيء في منطقة ذات جهد ثابت${\displaystyle V=V_{0}}$(بدون اعتماد على المكان أو الزمان)، في بُعد واحد، يكون الهاميلتوني كما يلي: $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}}$$ في ثلاثة أبعاد $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}$$

ينطبق هذا على مشكلة " الجسيم في صندوق " الأولية ، وعلى إمكانات الخطوة .

بالنسبة للمذبذب التوافقي البسيط في بُعد واحد، يتغير الجهد مع الموضع (ولكن ليس مع الزمن)، وفقًا لما يلي: $${\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$$ حيث التردد الزاوي${\displaystyle \omega }$ثابت الزنبرك الفعال${\displaystyle k}$والكتلة${\displaystyle m}$تحقق الشروط التالية للمذبذب: $${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$$ إذن، دالة هاميلتون هي: $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$$

بالنسبة للأبعاد الثلاثة، يصبح هذا $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}}$$ حيث متجه الموضع ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {r} }$استخدام الإحداثيات الديكارتية هو${\displaystyle (x,y,z)}$، وقيمته $${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$

كتابة الهاميلتوني بالكامل توضح أنه ببساطة مجموع الهاميلتوني أحادي البعد في كل اتجاه: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\\[6pt]&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}}$$

بالنسبة للدوار الصلب - أي نظام الجسيمات التي يمكنها الدوران بحرية حول أي محاور، وغير مقيدة بأي جهد (مثل الجزيئات الحرة ذات درجات الحرية الاهتزازية الضئيلة ، على سبيل المثال بسبب الروابط الكيميائية المزدوجة أو الثلاثية )، فإن الهاميلتوني هو: $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\hat {J}}_{z}^{2}}$$ أين${\displaystyle I_{xx}}$،${\displaystyle I_{yy}}$، و${\displaystyle I_{zz}}$هي مركبات عزم القصور الذاتي (أو العناصر القطرية لموتر عزم القصور الذاتي )، و${\displaystyle {\hat {J}}_{x}}$،${\displaystyle {\hat {J}}_{y}}$، و${\displaystyle {\hat {J}}_{z}}$هي معاملات الزخم الزاوي الكلي (المكونات)، حول${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$، و${\displaystyle z}$المحاور على التوالي.

طاقة الوضع الكولومبية لشحنتين نقطيتين${\displaystyle q_{1}}$و${\displaystyle q_{2}}$(أي تلك التي ليس لها امتداد مكاني مستقل)، في ثلاثة أبعاد، هي ( بوحدات النظام الدولي للوحدات - بدلاً من وحدات غاوس التي تستخدم بشكل متكرر في الكهرومغناطيسية ): $${\displaystyle V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}}$$

لكن هذا يمثل فقط طاقة الوضع لشحنة نقطية واحدة نتيجة لشحنة أخرى. إذا كان هناك العديد من الجسيمات المشحونة، فإن لكل شحنة طاقة وضع ناتجة عن كل شحنة نقطية أخرى (باستثناء نفسها).${\displaystyle N}$الشحنات، طاقة الوضع للشحنة${\displaystyle q_{j}}$بسبب جميع الشحنات الأخرى (انظر أيضًا طاقة الوضع الكهروستاتيكية المخزنة في تكوين من الشحنات النقطية المنفصلة ): ^{[ 3 ]}$${\displaystyle V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$$ أين${\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})}$هو الجهد الكهروستاتيكي للشحنة${\displaystyle q_{j}}$في${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$إذن، فإن الجهد الكلي للنظام هو مجموع على${\displaystyle j}$: $${\displaystyle V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$$ إذن، دالة هاميلتون هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}}$$

لعزم ثنائي القطب الكهربائي${\displaystyle \mathbf {d} }$تشكل رسومًا ذات حجم${\displaystyle q}$، في مجال كهرساكن منتظم (غير معتمد على الزمن)${\displaystyle \mathbf {E} }$إذا تم وضعها في مكان واحد، فإن الإمكانات هي: $${\displaystyle V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} }$$ إن عزم ثنائي القطب نفسه هو المؤثر $${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }$$

بما أن الجسيم ثابت، فلا توجد طاقة حركية انتقالية للثنائي القطب، لذا فإن هاميلتونيان الثنائي القطب هو مجرد طاقة الوضع: $${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E} }$$

لعزم ثنائي القطب المغناطيسي${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$في مجال مغناطيسي ثابت منتظم (غير مرتبط بالزمن)${\displaystyle \mathbf {B} }$إذا تم وضعها في مكان واحد، فإن الإمكانات هي: $${\displaystyle V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$$

بما أن الجسيم ثابت، فلا توجد طاقة حركية انتقالية للثنائي القطب، لذا فإن هاميلتونيان الثنائي القطب هو مجرد طاقة الوضع: $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$$

بالنسبة لجسيم ذي دوران 1/2 ، فإن العزم المغناطيسي الدوراني المقابل هو: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} }$$ أين${\displaystyle g_{s}}$هو " عامل الدوران g " (لا ينبغي الخلط بينه وبين النسبة المغناطيسية الدورانية )،${\displaystyle e}$هي شحنة الإلكترون،${\displaystyle \mathbf {S} }$هو متجه عامل الدوران ، ومكوناته هي مصفوفات باولي ، وبالتالي $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B} }$$

بالنسبة لجسيم ذي كتلة${\displaystyle m}$وفرض رسوم${\displaystyle q}$في مجال كهرومغناطيسي، موصوف بالجهد القياسي${\displaystyle \phi }$والجهد المتجهي${\displaystyle \mathbf {A} }$هناك جزآن في الهاميلتوني يجب استبدالهما. ^{[ 1 ]} مؤثر الزخم الكنسي${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$والذي يتضمن مساهمة من${\displaystyle \mathbf {A} }$يجب أن يكون الحقل الذي يحقق علاقة التبادل المتعارف عليها ، كميًا؛ $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} ,}$$ أين${\displaystyle m{\dot {\mathbf {r} }}}$يمثل الزخم الحركي . تنص وصفة التكميم على ما يلي: $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla ,}$$ إذن، فإنّ مُعامل الطاقة الحركية المُقابل هو $${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}}$$ والطاقة الكامنة، والتي تعود إلى${\displaystyle \phi }$الحقل، يُعطى بواسطة $${\displaystyle {\hat {V}}=q\phi .}$$

بإسقاط كل هذه المعادلات في الهاميلتوني نحصل على $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi .}$$