إمكانية الخطوة

الموسوعة الحرة

في ميكانيكا الكم ونظرية التشتت ، يُعدّ جهد الخطوة أحادي البعد نظامًا مثاليًا يُستخدم لنمذجة موجات المادة الساقطة والمنعكسة والمنتقلة . وتتمثل المسألة في حل معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن لجسيم ذي جهد يشبه جهد الخطوة في بُعد واحد. وعادةً ما يُنمذج الجهد باستخدام دالة هيفسايد للخطوة .

حساب

معادلة شرودنغر ودالة الجهد

التشتت عند فرق جهد محدود بارتفاع V₀ ، موضح باللون الأخضر. يُشار إلى سعة واتجاه الموجات المتحركة يمينًا ويسارًا. يمثل اللون الأصفر الموجة الساقطة، والأزرق الموجات المنعكسة والنافذة، بينما لا يحدث التشتت عند اللون الأحمر. E > V₀ في هذا الشكل.

معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن للدالة الموجيةψ(x){\displaystyle \psi (x)}يكون ح^ψ(x)=[-ℏ22مد2دx2+V(x)]ψ(x)=هـψ(x)،{\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),} حيث Ĥ هو الهاميلتوني ، وħ هو ثابت بلانك المختزل ، وm هي الكتلة ، وE هي طاقة الجسيم. جهد الخطوة هو ببساطة حاصل ضرب V₀ ، وهو ارتفاع الحاجز، ودالة هيفسايد للخطوة . V(x)={0،x<0V0،x≥0{\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}}

يتم وضع الحاجز عند x = 0، على الرغم من أنه يمكن اختيار أي موضع x 0 دون تغيير النتائج، ببساطة عن طريق تحريك موضع الخطوة بمقدار − x 0 .

الحد الأول في الهاميلتوني،-ℏ22مد2دx2ψ{\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }هي الطاقة الحركية للجسيم.

حل

تقسم هذه الخطوة الفضاء إلى جزأين: x < 0 و x > 0. في أي من هذين الجزأين يكون الجهد ثابتًا، مما يعني أن الجسيم شبه حر، ويمكن كتابة حل معادلة شرودنغر على شكل تراكب لموجات تتحرك يسارًا ويمينًا (انظر الجسيم الحر ).

ψ1(x)=(أ→هـأناك1x+أ←هـ-أناك1x)x<0،{\displaystyle \psi _{1}(x)=\left(A_{\rightarrow }e^{ik_{1}x}+A_{\leftarrow }e^{-ik_{1}x}\right)\quad x<0,}
ψ2(x)=(ب→هـأناك2x+ب←هـ-أناك2x)x>0{\displaystyle \psi _{2}(x)=\left(B_{\rightarrow }e^{ik_{2}x}+B_{\leftarrow }e^{-ik_{2}x}\right)\quad x>0}

حيث تشير الرموز السفلية 1 و 2 إلى المناطق x < 0 و x > 0 على التوالي، وتشير الرموز السفلية (→) و (←) على السعات A و B إلى اتجاه متجه سرعة الجسيم: اليمين واليسار على التوالي.

متجهات الموجة في المناطق المعنية هي

ك1=2مهـ/ℏ2،{\displaystyle k_{1}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}},}
ك2=2م(هـ-V0)/ℏ2{\displaystyle k_{2}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}

كلاهما لهما نفس شكل علاقة دي برولي (في بُعد واحد).

ص=ℏك{\displaystyle p=\hbar k}.

الشروط الحدية

يجب إيجاد المعاملات A و B من الشروط الحدية للدالة الموجية عند x = 0. يجب أن تكون الدالة الموجية ومشتقتها متصلة في كل مكان، لذا:

ψ1(0)=ψ2(0)،{\displaystyle \psi _{1}(0)=\psi _{2}(0),}
دψ1دx|x=0=دψ2دx|x=0.\displaystyle \left.\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=0}=\left.\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=0}.}

بإدخال الدوال الموجية، تُعطي الشروط الحدية القيود التالية على المعاملات

(أ→+أ←)=(ب→+ب←){\displaystyle (A_{\rightarrow }+A_{\leftarrow })=(B_{\rightarrow }+B_{\leftarrow })}
ك1(أ→-أ←)=ك2(ب→-ب←){\displaystyle k_{1}(A_{\rightarrow }-A_{\leftarrow })=k_{2}(B_{\rightarrow }-B_{\leftarrow })}

الإرسال والانعكاس

من المفيد مقارنة هذا الوضع بالحالة الكلاسيكية . في كلتا الحالتين، يتصرف الجسيم كجسيم حر خارج منطقة الحاجز. الجسيم الكلاسيكي ذو الطاقة E الأكبر من ارتفاع الحاجز V₀ سيتباطأ ولكنه لن ينعكس أبدًا بفعل الحاجز، بينما الجسيم الكلاسيكي ذو الطاقة E الأقل من V₀ الساقط على الحاجز من اليسار سينعكس دائمًا. بمجرد التوصل إلى النتيجة الكمومية ، سنعود إلى مسألة كيفية استعادة الحد الكلاسيكي.

لدراسة الحالة الكمومية، لنفترض الحالة التالية: جسيم يسقط على الحاجز من الجانب الأيسر A → . قد ينعكس ( A ← ) أو ينفذ ( B → ). هنا وفيما يلي، نفترض أن E > V 0 .

لإيجاد سعات الانعكاس والنفاذ عند سقوط جسيم من اليسار، نضع في المعادلات أعلاه: A → = 1 (جسيم ساقط)، A ← = √R ( انعكاس ) ، B ← = 0 ( لا يوجد جسيم ساقط من اليمين)، و B → = √Tk 1 / k 2 ( نفاذ [ 1 ] ) . ثم نحل المعادلات لإيجاد قيمتي T و R.

والنتيجة هي:

تي=2ك1ك2ك1+ك2{\displaystyle {\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}
R=ك1-ك2ك1+ك2.{\displaystyle {\sqrt {R}}={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}.}

النموذج متناظر بالنسبة لتحويل التكافؤ، وفي الوقت نفسه يتم تبديل قيمتي k1 و k2 . وبالتالي، بالنسبة للسقوط من اليمين ، لدينا سعات النقل والانعكاس.

تي′=تي=2ك1ك2ك1+ك2{\displaystyle {\sqrt {T'}}={\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}
R′=-R=ك2-ك1ك1+ك2.{\displaystyle {\sqrt {R'}}=-{\sqrt {R}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}.}

تحليل التعبيرات

احتمالية الانعكاس والنفاذ عند جهد هيفسايد المتدرج. الخطوط المتقطعة: النتيجة الكلاسيكية. الخطوط المتصلة: ميكانيكا الكم. بالنسبة لـ E < V 0، تعطي المسألة الكلاسيكية والكمية النتيجة نفسها.

الطاقة أقل من ارتفاع الخطوة ( E < V0 )

بالنسبة للطاقات E < V 0 ، فإن الدالة الموجية على يمين الخطوة تتلاشى أُسّيًا على مسافة معينة.1/(ك2){\displaystyle 1/(k_{2})}.

طاقة أكبر من ارتفاع الخطوة ( E > V0 )

في هذا النطاق الطاقي، يختلف معامل النفاذية والانعكاس عن الحالة الكلاسيكية. وهما متساويان عند سقوط الضوء من اليسار واليمين.

تي=|تي′|=4ك1ك2(ك1+ك2)2{\displaystyle T=|T'|={\frac {4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}
R=|R′|=1-تي=(ك1-ك2)2(ك1+ك2)2{\displaystyle R=|R'|=1-T={\frac {(k_{1}-k_{2})^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}

في حالة الطاقات الكبيرة E ≫ V 0 ، يكون لدينا k 1 ≈ k 2 ويتم استعادة النتيجة الكلاسيكية T = 1 ، R = 0.

وبالتالي هناك احتمال محدود لانعكاس جسيم ذي طاقة أكبر من ارتفاع الخطوة.

خطوات سلبية

  • في حالة وجود قيمة موجبة كبيرة لـ E ، وخطوة موجبة صغيرة، فإن T تساوي تقريبًا 1.
  • لكن في حالة وجود قيمة موجبة صغيرة لـ E وقيمة سالبة كبيرة لـ V ، فإن R تساوي تقريبًا 1.

بمعنى آخر، ينعكس الجسيم الكمومي عن انخفاض كبير في الجهد (تمامًا كما ينعكس عن قفزة جهد كبيرة). وهذا منطقي من حيث عدم تطابق المعاوقة، ولكنه يبدو منافيًا للحدس الكلاسيكي...

الحد الكلاسيكي

تعتمد النتيجة المُتحصَّل عليها لـ R فقط على النسبة E / V₀ . يبدو هذا ظاهريًا مُخالفًا لمبدأ التوافق ، إذ نحصل على احتمال انعكاس محدود بغض النظر عن قيمة ثابت بلانك أو كتلة الجسيم. على سبيل المثال، يبدو أننا نتوقع أنه عندما تتدحرج كرة زجاجية إلى حافة طاولة، قد يكون هناك احتمال كبير لانعكاسها بدلًا من سقوطها. يتم استعادة التوافق مع الميكانيكا الكلاسيكية عن طريق إزالة الافتراض غير الفيزيائي بأن جهد الخطوة غير متصل. عندما يتم استبدال دالة الخطوة بمنحدر يمتد على مسافة محدودة w ، فإن احتمال الانعكاس يقترب من الصفر في النهاية.wك→∞{\displaystyle wk\to \infty }حيث k هو العدد الموجي للجسيم. [ 2 ]

الحساب النسبي

يمكن الحصول على الحساب النسبي لجسيم حر يصطدم بجهد متدرج باستخدام ميكانيكا الكم النسبية . في حالة الفرميونات نصف الطاقة، مثل الإلكترونات والنيوترينوات ، تُنتج حلول معادلة ديراك لحواجز الطاقة العالية معاملات انتقال وانعكاس غير محدودة. تُعرف هذه الظاهرة بمفارقة كلاين . تختفي هذه المفارقة الظاهرية في سياق نظرية الحقل الكمومي .

التطبيقات

يُعد جهد هيفسايد الخطوي بمثابة تمرين في ميكانيكا الكم التمهيدية، حيث يتطلب الحل فهم مجموعة متنوعة من مفاهيم ميكانيكا الكم: تطبيع دالة الموجة، والاستمرارية، وسعات السقوط/الانعكاس/الانتقال، والاحتمالات.

تظهر مشكلة مشابهة لتلك المدروسة في فيزياء واجهات الموصلات الفائقة بين المعادن العادية والفلزات . تتشتت الجسيمات شبه الحقيقية عند جهد الزوج ، والذي يُفترض في أبسط النماذج أن يكون ذا شكل متدرج. يشبه حل معادلة بوغوليوبوف-دي جين حل جهد هيفسايد المتدرج المذكور. في حالة الموصل الفائق بين المعادن العادية والفلزات، يؤدي هذا إلى انعكاس أندرييف .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ يُعرَّف معامل النقل بأنه نسبة احتمالية التيار المنقول إلى احتمالية التيار الوارد. ومع ذلك، تُسمى الكميات المتضمنة مباشرةً في مسألة الخطوة الكامنة هذه بسعات التشتتSأناج{\displaystyle S_{ij}}وهي مرتبطة بمعاملات النقل والانعكاس هنا . يمكننا أن نرى في هذا الفيديو على يوتيوب أن التعبير الأكثر عمومية لـأ←{\displaystyle A_{\leftarrow }}يكونر=R{\displaystyle r={\sqrt {R}}}و لـب→{\displaystyle B_{\rightarrow }}لدينا نسبة متجهات k وربما كتل مختلفة على جانبيها:تم2ك1/م1ك2=تيم2ك1/م1ك2{\textstyle t{\sqrt {m_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}={\sqrt {Tm_{2}k_{1}/m_{1}k_{2}}}}تأتي الكتل من تعريف تيار الاحتمالية، وتأتي متجهات k من مشتقات الدوال الموجية.
  2. ↑ برانسون، د. (1979). "مبدأ التوافق والتشتت من الخطوات الكامنة" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 47 (12): 1101-1102 . Bibcode : 1979AmJPh..47.1101B . doi : 10.1119/1.11582 .

مصادر

  • تبسيط ميكانيكا الكم ، د. مكماهون، ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية)، 2006، رقم ISBN 0-07-145546 9
  • الفيزياء الكمية للذرات والجزيئات والمواد الصلبة والنوى والجسيمات (الطبعة الثانية) ، بقلم ر. إيسبرغ ور. ريسنيك، جون وايلي وأولاده، 1985، رقم ISBN 978-0-471-87373-0
  • ميكانيكا الكم ، إي. آبرز، طبعة بيرسون، أديسون ويسلي، برنتيس هول، 2004، رقم ISBN 978-0-13-146100-0
  • ميكانيكا الكم الأساسية ، إن إف موت، ويكهام ساينس، ويكهام برس (مجموعة تايلور وفرانسيس)، 1972، رقم ISBN 0-85109-270-5
  • الحالات المستقرة ، أ. هولدن، سلسلة دراسات الفيزياء الجامعية (الولايات المتحدة الأمريكية)، مطبعة جامعة أكسفورد، 1971، رقم ISBN 0-19-851121-3
  • ميكانيكا الكم ، إي. زارور، واي. بيليج، آر. بنيني، سلسلة شوم، ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية)، 1998، رقم ISBN 007-0540187

للمزيد من القراءة

  • الكون الكمومي الجديد ، تي. هاي، بي. والترز، مطبعة جامعة كامبريدج، 2009، رقم ISBN 978-0-521-56457-1.
  • نظرية الحقل الكمومي ، د. مكماهون، ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية)، 2008، رقم ISBN 978-0-07-154382-8
  • ميكانيكا الكم ، إي. زعرور، واي. بيليغ، آر. بنيني، سلسلة شوم للموجزات السهلة، ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية)، 2006، رقم ISBN 007-145533-7رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 978-007-145533-6