الطاقة الكامنة الكهربائية

يمكن كتابة القوة الكهروستاتيكية F المؤثرة على شحنة q من حيث المجال الكهربائي E على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} ,}$$

حسب التعريف، فإن التغير في طاقة الوضع الكهروستاتيكية، U _E ، لشحنة نقطية q انتقلت من موضع المرجع r _ref إلى الموضع r في وجود مجال كهربائي E هو سالب العمل الذي تقوم به القوة الكهروستاتيكية لإحضارها من موضع المرجع r _ref إلى ذلك الموضع r .

$${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .}$$

أين:

• r = موضع الشحنة q في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، باستخدام إحداثيات ديكارتية r = ( x ، y ، z )، مع الأخذ في الاعتبار موضع الشحنة Q عند r = (0,0,0)، فإن المتجه القياسي r = | r | هو معيار متجه الموضع،
• d s = متجه الإزاحة التفاضلية على طول المسار C الممتد من r _ref إلى r ،
• ${\displaystyle W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}}$هو العمل الذي تبذله القوة الكهروستاتيكية لإخراج الشحنة من موضع المرجع r _ref إلى r ،

عادةً ما يتم ضبط U _E على الصفر عندما يكون r _ref هو اللانهاية: لذا $${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0}$$$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$$

عندما تكون التجعيدة ∇ × E مساوية للصفر، فإن التكامل الخطي أعلاه لا يعتمد على المسار المحدد C المختار ولكن فقط على نقاط نهايته. يحدث هذا في المجالات الكهربائية الثابتة مع الزمن. عند الحديث عن الطاقة الكامنة الكهروستاتيكية، يُفترض دائمًا وجود مجالات كهربائية ثابتة مع الزمن، لذا في هذه الحالة، يكون المجال الكهربائي محافظًا ويمكن استخدام قانون كولومب.

باستخدام قانون كولومب ، من المعروف أن القوة الكهروستاتيكية F والحقل الكهربائي E الناتج عن شحنة نقطية منفصلة Q يوجهان شعاعيًا من Q. وبتعريف متجه الموضع r ومتجه الإزاحة s ، يتبع ذلك أن r و s يوجهان شعاعيًا أيضًا من Q. لذا، يجب أن يكون E وds متوازيين :

$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =|\mathbf {E} |\cdot |\mathrm {d} \mathbf {s} |\cos(0)=E\mathrm {d} s}$$

باستخدام قانون كولومب، يتم إعطاء المجال الكهربائي بواسطة

$${\displaystyle |\mathbf {E} |=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}$$

ويمكن تقييم التكامل بسهولة:

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}{\rm {d}}s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$$

الطاقة الكامنة الكهروستاتيكية U _E المخزنة في نظام من شحنتين تساوي الطاقة الكامنة الكهروستاتيكية لشحنة في الجهد الكهروستاتيكي الناتج عن الشحنة الأخرى. أي إذا كانت الشحنة q ₁ تولد جهدًا كهروستاتيكيًا V ₁ ، وهو دالة للموضع r ، فعندئذٍ $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).}$$

بإجراء نفس الحساب فيما يتعلق بالشحنة الأخرى، نحصل على $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).}$$

يتم تقاسم الطاقة الكامنة الكهروستاتيكية بشكل متبادل بين و ، وبالتالي فإن إجمالي الطاقة المخزنة هو ${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}$$

يمكن تعميم ذلك للقول بأن طاقة الوضع الكهروستاتيكية U _E المخزنة في نظام من n شحنة q ₁ و q ₂ و … و q _n عند المواضع r ₁ و r ₂ و … و r _n على التوالي هي:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).}$$

وباستخدام الصيغة الواردة في ( 1 )، فإن الطاقة الكامنة الكهروستاتيكية لنظام الشحنات الثلاث ستكون: $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]}$$

حيث أن الجهد الكهربائي في r ₁ الناتج عن الشحنتين Q ₂ و Q ₃ هو الجهد الكهربائي في r ₂ الناتج عن الشحنتين Q ₁ و Q ₃ و هو الجهد الكهربائي في r ₃ الناتج عن الشحنتين Q ₁ و Q ₂ . والجهدان هما: ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})}$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})}$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})}$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$$

حيث rj _هي المسافة بين _الشحنة Q _i و Qj .

إذا أضفنا كل شيء:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$$

وأخيرًا، نحصل على الطاقة الكامنة الكهروستاتيكية المخزنة في نظام الشحنات الثلاث:

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

من الممكن أخذ معادلة الطاقة الكامنة الكهروستاتيكية لتوزيع الشحنة المستمرة ووضعها من حيث المجال الكهروستاتيكي .

نظرًا لأن قانون جاوس للحقل الكهروستاتيكي في الشكل التفاضلي ينص على حيث $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$هو متجه المجال الكهربائي
• ${\displaystyle \rho }$هي كثافة الشحنة الكلية بما في ذلك الشحنات ثنائية القطب المرتبطة بمادة ما
• ${\displaystyle dV}$هو عنصر الحجم
• ${\displaystyle \Phi }$هي الإمكانات الكهربائية
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$هي نفاذية الفضاء الحر ،

ثم، $${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}$$

لذا، الآن باستخدام هوية متجه التباعد التالية

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} {B})=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})}$$

لدينا

$${\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}$$

باستخدام نظرية التباعد مع الأخذ في الاعتبار أن المنطقة عند اللانهاية حيث ، واستخدام${\displaystyle \Phi (\infty )=0}$${\displaystyle \nabla \Phi =-\mathbf {E} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}$$

وبالتالي، فإن كثافة الطاقة، أو الطاقة لكل وحدة حجم من المجال الكهروستاتيكي هي: ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

يمكن تجميع الشحنات في مكثف بزيادات لا نهائية في الصغر، بحيث يمكن التعبير عن مقدار العمل المبذول لتجميع كل زيادة إلى موقعها النهائي على النحو التالي: ${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.}$$

إن إجمالي العمل المبذول لشحن المكثف بالكامل بهذه الطريقة هو حيث تكون الشحنة الكلية على المكثف. يتم تخزين هذا العمل كطاقة كامنة كهروستاتيكية، وبالتالي، $${\displaystyle W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

من الجدير بالذكر أن هذا التعبير صالح فقط إذا ، والذي ينطبق على الأنظمة ذات الشحنات المتعددة مثل المكثفات الكبيرة ذات الأقطاب الكهربائية المعدنية. بالنسبة للأنظمة ذات الشحنات القليلة، تكون الطبيعة المنفصلة للشحنة مهمة. إجمالي الطاقة المخزنة في مكثف ذي شحنات قليلة هو والتي يتم الحصول عليها من خلال طريقة تجميع الشحنة باستخدام أصغر زيادة شحنة فيزيائية حيث هي الوحدة الأولية للشحنة وحيث هو العدد الإجمالي للشحنات في المكثف. ${\displaystyle dq\to 0}$$${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$${\displaystyle \Delta q=e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle Q=Ne}$${\displaystyle N}$