الإمكانات الفعالة

يجمع الجهد الفعال (المعروف أيضًا باسم طاقة الوضع الفعالة) تأثيرات متعددة، قد تكون متعارضة، في جهد واحد . في أبسط صوره ، هو مجموع طاقة الوضع الطاردة المركزية "المعاكسة" مع طاقة الوضع لنظام ديناميكي . يمكن استخدامه لتحديد مدارات الكواكب ( النيوتونية والنسبية ) ولإجراء حسابات ذرية شبه كلاسيكية ، وغالبًا ما يسمح بتقليص أبعاد المسائل .

الشكل الأساسي للجهد${\displaystyle U_{\text{eff}}}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+U(\mathbf {r} ),}$$ أين

L هو الزخم الزاوي ،

r هي المسافة بين الكتلتين،

μ هي الكتلة المختزلة للجسمين (تساوي تقريبًا كتلة الجسم الذي يدور في المدار إذا كانت كتلة أحدهما أكبر بكثير من الآخر)،

U ( r ) هو الشكل العام للجهد .

إذن، القوة الفعالة هي التدرج السالب للجهد الفعال: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} ),\end{محاذاة}}}$$ أين${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$يشير إلى متجه وحدة في الاتجاه القطري.

توجد العديد من الميزات المفيدة للجهد الفعال، مثل: $${\displaystyle U_{\text{eff}}\leq E.}$$

لإيجاد نصف قطر مدار دائري ، ما عليك سوى تقليل الجهد الفعال بالنسبة إلى${\displaystyle r}$أو بعبارة أخرى، اجعل محصلة القوى تساوي صفرًا ثم احسب قيمة القوة.${\displaystyle r_{0}}$: $${\displaystyle {\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0.}$$ بعد حل المعادلة التالية:${\displaystyle r_{0}}$أعد توصيل هذا بـ${\displaystyle U_{\text{eff}}}$لإيجاد القيمة القصوى للجهد الفعال${\displaystyle U_{\text{eff}}^{\text{max}}}$.

قد يكون المدار الدائري مستقرًا أو غير مستقر. إذا كان غير مستقر، فقد يؤدي اضطراب طفيف إلى زعزعة استقراره، أما المدار المستقر فسيعود إلى حالة التوازن. لتحديد استقرار المدار الدائري، حدد تقعر الجهد الفعال. إذا كان التقعر موجبًا، $${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\text{eff}}}{dr^{2}}}>0,}$$ المدار مستقر.

تردد التذبذبات الصغيرة، باستخدام تحليل هاميلتوني أساسي، هو$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}},}$$ حيث تشير علامة الفتحة المزدوجة إلى المشتقة الثانية للجهد الفعال بالنسبة إلى${\displaystyle r}$ويتم تقييمها كحد أدنى.

لنفترض جسيمًا كتلته m يدور حول جسم أثقل بكثير كتلته M. بافتراض الميكانيكا النيوتونية ، وهي ميكانيكا كلاسيكية وغير نسبية، فإن قانوني حفظ الطاقة والزخم الزاوي يعطيان ثابتين E و L ، لهما قيمتان $${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},}$$$${\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\phi }},}$$ عندما تكون حركة الكتلة الأكبر ضئيلة. في هذه التعبيرات،

${\displaystyle {\dot {r}}}$هي مشتقة r بالنسبة للزمن،

${\displaystyle {\dot {\phi }}}$هي السرعة الزاوية للكتلة m ، 

G هو ثابت الجاذبية ،

E هي الطاقة الكلية،

L هو الزخم الزاوي .

لا نحتاج إلا إلى متغيرين، لأن الحركة تحدث في مستوى. وبتعويض التعبير الثاني في الأول وإعادة ترتيبه نحصل على $${\displaystyle m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),}$$ أين $${\displaystyle U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}}$$ يمثل الجهد الفعال. ^{[ ملاحظة 1 ]} تم اختزال المسألة الأصلية ذات المتغيرين إلى مسألة ذات متغير واحد. في العديد من التطبيقات، يمكن التعامل مع الجهد الفعال تمامًا مثل طاقة الوضع لنظام أحادي البعد: على سبيل المثال، يحدد مخطط الطاقة باستخدام الجهد الفعال نقاط التحول ومواقع التوازنات المستقرة وغير المستقرة. يمكن استخدام طريقة مماثلة في تطبيقات أخرى، على سبيل المثال، تحديد المدارات في مقياس شوارزشيلد النسبي العام .

تُستخدم الجهود الفعالة على نطاق واسع في مختلف المجالات الفرعية للمادة المكثفة، على سبيل المثال جهد النواة الغاوسية (Likos 2002، Baeurle 2004) وجهد كولوم المحجوب (Likos 2001).

• الجهد الجيوديناميكي

• خوسيه، جيه في؛ ساليتان، إي جيه (1998). الديناميكا الكلاسيكية: منهج معاصر (  الطبعة الأولى). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-63636-0..
• ليكوس، سي إن؛ روزنفيلدت، إس؛ دينجينوتس ، إن؛ بالوف، إم ؛ ليندنر، بي؛ فيرنر، إن؛ فوغتلي، إف؛ وآخرون  (2002). "التفاعل الفعال الغاوسي بين المتفرعات المرنة من الجيل الرابع: دراسة نظرية وتجريبية" . مجلة الفيزياء الكيميائية 117 (4): 1869-1877 . رمز Bibcode : 2002JChPh.117.1869L . doi : 10.1063/1.1486209 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 19 يوليو 2011.
• باورل، إس. أ.؛ كرونر، ج. (2004). "نمذجة التفاعلات الفعالة للتجمعات المذيلية للمواد الفعالة بالسطح الأيونية باستخدام جهد غاوس-كور". مجلة الكيمياء الرياضية . 36 (4): 409-421 . doi : 10.1023/B:JOMC.0000044526.22457.bb .
• ليكوس، سي إن (2001). "التفاعلات الفعّالة في فيزياء المادة المكثفة اللينة". تقارير الفيزياء . 348 ( 4-5 ): 267-439 . Bibcode : 2001PhR...348..267L . CiteSeerX 10.1.1.473.7668 . doi : 10.1016/S0370-1573(00)00141-1 .