دالة المؤشر (التحليل المحدب)

في مجال الرياضيات المعروف بالتحليل المحدب ، تُعرَّف دالة المؤشر لمجموعة ما بأنها دالة محدبة تُشير إلى انتماء (أو عدم انتماء) عنصر معين إلى تلك المجموعة. وهي تُشبه دالة المؤشر المستخدمة في الاحتمالات، ولكنها تُعيِّن${\displaystyle +\infty }$بدلاً من${\displaystyle 0}$للعوامل الخارجية.

يبدو أن لكل مجال معناه الخاص لـ "وظيفة المؤشر"، كما هو الحال في التحليل المركب على سبيل المثال.

يترك${\displaystyle X}$لتكن مجموعة ، ولتكن${\displaystyle A}$أن تكون مجموعة جزئية من${\displaystyle X}$وظيفة المؤشر لـ${\displaystyle A}$هي الدالة ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \iota _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$

أخذ القيم في خط الأعداد الحقيقية الممتد المحدد بواسطة

${\displaystyle \iota _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}}$

تكون هذه الدالة محدبة إذا وفقط إذا كانت المجموعة${\displaystyle A}$محدب. ^{[ 5 ]}

تكون هذه الدالة شبه متصلة من الأسفل إذا وفقط إذا كانت المجموعة${\displaystyle A}$مغلق. ^{[ 4 ]}

لأي مجموعات عشوائية${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$، ذلك${\displaystyle \iota _{A}+\iota _{B}=\iota _{A\cap B}}$.

بالنسبة لأي مجموعة غير فارغة، فإن تحويل ليجندر الخاص بها هو دالة الدعم . ^{[ 6 ]}

التدرج الفرعي لـ${\displaystyle \iota _{A}(x)}$لمجموعة${\displaystyle A}$و${\displaystyle x\in A}$المخروط الطبيعي لتلك المجموعة عند${\displaystyle x}$[ ^{7 ]​}

التفافها الأدنى مع المعيار الإقليدي${\displaystyle ||\cdot ||_{2}}$هي المسافة الإقليدية إلى تلك المجموعة. ^{[ 8 ]}

• روكافيلر، آر تي (1997) [1970]. التحليل المحدب . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-01586-6.
• هيريارت-أوروتي، جيه بي؛ ليمارشال، سي. (1993). التحليل المحدب وخوارزميات التصغير I و II . سبرينغر-فيرلاغ.
• بويد، إس بي؛ فاندنبيرغ، إل. (2004). التحسين المحدب . مطبعة جامعة كامبريدج.
• باوشكه، إتش إتش؛ كومبيتس، بي إل (2011). التحليل المحدب ونظرية المؤثرات الرتيبة في فضاءات هيلبرت . سبرينغر.