وظيفة الدعم

يكون تفسير دالة الدعم أكثر سهولة عندما${\displaystyle x}$هو متجه وحدة . بحسب التعريف، المجموعة المحدبة${\displaystyle A}$موجود في نصف الفضاء المغلق

${\displaystyle \{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot x\leqslant h_{A}(x)\}}$

وهناك نقطة واحدة على الأقل من${\displaystyle A}$في الحدود

${\displaystyle H(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot x=h_{A}(x)\}}$

من هذا النصف فضاء. المستوى الفائق${\displaystyle H(x)}$وبالتالي، فهو مستوى فائق داعم ذو متجه وحدة عمودي خارجي${\displaystyle x}$إن كلمة "خارجي" مهمة هنا، لأن اتجاه x يلعب دورًا، فالمجموعة H ( x ) تختلف عمومًا عن H ( -x ). في هذه الحالة تحديدًا،${\displaystyle h_{A}(x)}$يمثل المسافة الإقليدية الفيزيائية الموقعة من نقطة الأصل إلى المستوى الفائق الداعم${\displaystyle H(x)}$.

بالنسبة لمتجه عشوائي غير وحدة${\displaystyle x\neq 0}$قيمة دالة الدعم${\displaystyle h_{A}(x)}$لم يعد يمثل مسافة مكانية مباشرة. بدلاً من ذلك، يمكن تفسيره على أنه مجموع النقاط التي يمكن تحقيقها على${\displaystyle A}$يخضع ذلك لنظام نقاط تحدده${\displaystyle x}$في هذا الإطار، المتجه${\displaystyle x}$يعمل كعامل تقييم حيث يعمل كل عنصر كعامل ترجيح. الضرب الداخلي${\displaystyle x\cdot a}$هي آلة خطية تحول متجه الموضع المكاني${\displaystyle a\in A}$إلى درجة عددية. المقدار${\displaystyle ||x||_{2}}$يحدد هذا المصطلح حساسية هذه الآلة، ويمثل عدد وحدات النقاط التي يتم تجميعها لكل متر من الإزاحة المادية في اتجاه${\displaystyle x}$.

وفقًا لهذا التفسير، قيمة دالة الدعم${\displaystyle h_{A}(x)}$هي أعلى درجة ممكنة يمكن تحقيقها بواسطة أي نقطة داخل المجموعة${\displaystyle A}$على طول الاتجاه${\displaystyle x}$المستوى الفائق الداعم${\displaystyle H(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot y=h_{A}(x)\}}$يمثل هذا المقياس مجموعة جميع النقاط في الفضاء التي تحقق عتبة الدرجة القصوى المحددة. المسافة الفيزيائية الحقيقية${\displaystyle d}$يتم تحديد المسافة من نقطة الأصل إلى المستوى الفائق الداعم عن طريق قسمة الحد الأقصى للنتيجة المتراكمة على معدل التسجيل:

${\displaystyle d={\frac {h_{A}(x)}{||x||_{2}}}}$

يوفر هذا المنظور أساسًا بديهيًا لخاصية التجانس الإيجابي لدالة الدعم،${\displaystyle h_{A}(\alpha x)=\alpha h_{A}(x)}$ل${\displaystyle \alpha \geq 0}$تغيير حجم المتجه${\displaystyle x}$بمعامل${\displaystyle \alpha }$لا يغير الهندسة الفيزيائية أو حدود المجموعة الأساسية${\displaystyle A}$وهذا يعني أن المستوى الفائق الداعم يبقى في نفس الموقع الفيزيائي تمامًا. بدلاً من ذلك، يتم تغيير الحجم${\displaystyle x}$يضاعف حساسية التقييم (سعر الصرف) بـ${\displaystyle \alpha }$ونتيجة لذلك، فإن الحد الأقصى للدرجة${\displaystyle h_{A}(x)}$المقاييس بواسطة${\displaystyle \alpha }$باعتبارها مجرد نتيجة ثانوية لمعايير القياس المعدلة.

تكون دالة الدعم لمجموعة محدبة مضغوطة غير فارغة ذات قيم حقيقية ومتصلة، ولكن إذا كانت المجموعة مغلقة وغير محدودة، فإن دالة الدعم الخاصة بها تكون ذات قيم حقيقية موسعة (تأخذ القيمة ${\displaystyle \infty }$بما أن أي مجموعة محدبة مغلقة غير فارغة هي تقاطع أنصاف فضاءاتها الداعمة، فإن الدالة h( _A) تحدد المجموعة A بشكل فريد. يمكن استخدام هذا لوصف بعض الخصائص الهندسية للمجموعات المحدبة تحليليًا. على سبيل المثال، تكون المجموعة A متناظرة نقطيًا بالنسبة لنقطة الأصل إذا وفقط إذا كانت h( _A) دالة زوجية .

بشكل عام، دالة الدعم غير قابلة للتفاضل. مع ذلك، توجد مشتقات اتجاهية تُنتج دوال دعم لمجموعات الدعم. إذا كانت A مجموعة مضغوطة ومحدبة، و h _A '( u ; x ) تُمثل المشتقة الاتجاهية لـ h _A عند u ≠ 0 في الاتجاه x ، فإننا نحصل على

${\displaystyle h_{A}'(u;x)=h_{A\cap H(u)}(x)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

هنا، H ( u ) هو المستوى الفائق الداعم للمصفوفة A، وله متجه عمودي خارجي u ، كما هو مُعرَّف أعلاه. إذا كانت A ∩ H ( u ) مجموعة أحادية { y }، على سبيل المثال، فإن دالة الدعم قابلة للتفاضل عند u ، ويتطابق تدرجها مع y . وبالعكس، إذا كانت hA قابلة للتفاضل عند u ، فإن A ∩ H ( u ) مجموعة أحادية. وبالتالي، فإن _hA قابلة للتفاضل عند جميع النقاط u ≠ 0 إذا وفقط إذا كانت A محدبة تمامًا ( _أي أن حدود A لا تحتوي على أي قطع مستقيمة).

وبشكل أعم، عندما${\displaystyle A}$إذا كان السطح محدبًا ومغلقًا، فإنه لأي${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$،

${\displaystyle \partial h_{A}(u)=H(u)\cap A\,,}$

أين${\displaystyle \partial h_{A}(u)}$يشير إلى مجموعة التدرجات الفرعية لـ ${\displaystyle h_{A}}$في${\displaystyle u}$.

ويترتب على تعريفها مباشرة أن دالة الدعم متجانسة موجبة:

${\displaystyle h_{A}(\alpha x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathbb {R} ^{n},}$

ودون الجمع:

${\displaystyle h_{A}(x+y)\leq h_{A}(x)+h_{A}(y),\qquad x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$

يستنتج من ذلك أن h( _A) دالة محدبة . ومن الأهمية بمكان في الهندسة المحدبة أن تُميز هذه الخصائص دوال الدعم: أي دالة موجبة متجانسة، محدبة، وحقيقية القيمة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هي دالة الدعم لمجموعة محدبة مضغوطة غير فارغة. توجد عدة براهين معروفة، ^{[ 3 ]} أحدها يستخدم حقيقة أن تحويل ليجندر لدالة حقيقية موجبة متجانسة ومحدبة هي دالة المؤشر (المحدبة) لمجموعة محدبة مضغوطة.

يقصر العديد من المؤلفين دالة الدعم على كرة الوحدة الإقليدية ويعتبرونها دالة على S ^{n -1} . تُظهر خاصية التجانس أن هذا التقييد يحدد دالة الدعم على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، كما هو موضح أعلاه.

ترتبط وظائف الدعم لمجموعة موسعة أو منقولة ارتباطًا وثيقًا بالمجموعة الأصلية A :

${\displaystyle h_{\alpha A}(x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathbb {R} ^{n}}$

و

${\displaystyle h_{A+b}(x)=h_{A}(x)+x\cdot b,\qquad x,b\in \mathbb {R} ^{n}.}$

وهذا الأخير يعمم إلى

${\displaystyle h_{A+B}(x)=h_{A}(x)+h_{B}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},}$

حيث يرمز A + B إلى مجموع مينكوفسكي :

${\displaystyle A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.}$

يمكن التعبير عن مسافة هاوسدورف d _H ( A , B ) لمجموعتين محدبتين مضغوطتين غير فارغتين A و B بدلالة دوال الدعم،

${\displaystyle d_{\mathrm {H} }(A,B)=\|h_{A}-h_{B}\|_{\infty }}$

حيث يتم استخدام المعيار الموحد على الكرة الوحدة على الجانب الأيمن .

يمكن تلخيص خصائص دالة الدعم كدالة للمجموعة A أحيانًا بالقول إن${\displaystyle \tau }$أ​${\displaystyle \mapsto }$h _A تُسقط عائلة المجموعات المحدبة المدمجة غير الفارغة على مخروط جميع الدوال الحقيقية المتصلة على الكرة التي يكون امتدادها المتجانس الموجب محدبًا. مع بعض التجاوز في المصطلحات، ${\displaystyle \tau }$ يُطلق عليه أحيانًا اسم الخطي ، لأنه يحترم جمع مينكوفسكي، على الرغم من أنه غير معرف على فضاء خطي، بل على مخروط محدب (مجرد) من مجموعات محدبة مضغوطة غير فارغة.${\displaystyle \tau }$هو تماثل بين هذا المخروط، المزود بمقياس هاوسدورف، ومخروط فرعي من عائلة الدوال المستمرة على S ^{n -1} مع المعيار المنتظم.