مشتق فرعي

في الرياضيات ، يُعمم مفهوم المشتقة الجزئية (أو التدرج الجزئي ) مفهوم المشتقة ليشمل الدوال المحدبة التي لا تكون بالضرورة قابلة للتفاضل . تُسمى مجموعة المشتقات الجزئية عند نقطة ما بالمشتقة الجزئية عند تلك النقطة. ^{[ 1 ]} تظهر المشتقات الجزئية في التحليل المحدب ، وهو فرع من فروع دراسة الدوال المحدبة ، وغالبًا ما ترتبط بتحسين الدوال المحدبة .

يترك${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$لتكن دالة محدبة حقيقية القيم معرفة على فترة مفتوحة من خط الأعداد الحقيقية. لا يشترط أن تكون هذه الدالة قابلة للتفاضل عند جميع النقاط: على سبيل المثال، دالة القيمة المطلقة${\displaystyle f(x)=|x|}$تكون غير قابلة للتفاضل عندما${\displaystyle x=0}$ومع ذلك، كما هو موضح في الرسم البياني على اليمين (حيث${\displaystyle f(x)}$(باللون الأزرق، لها انحناءات غير قابلة للتفاضل مشابهة لدالة القيمة المطلقة)، لأي${\displaystyle x_{0}}$في مجال الدالة، يمكن رسم خط يمر بالنقطة${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$والذي يكون في كل مكان إما ملامساً أو أسفل منحنى الدالة f . ويسمى ميل هذا الخط بالمشتقة الفرعية .

بدقة، مشتقة فرعية لدالة محدبة${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$في نقطة${\displaystyle x_{0}}$في الفترة المفتوحة${\displaystyle I}$هو عدد حقيقي${\displaystyle c}$بحيث$${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})}$$للجميع${\displaystyle x\in I}$وبحسب عكس نظرية القيمة المتوسطة ، فإن مجموعة المشتقات الجزئية عند${\displaystyle x_{0}}$بالنسبة للدالة المحدبة، تكون الفترة المغلقة غير الفارغة${\displaystyle [a,b]}$، أين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$الحدود أحادية الجانب$${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},}$$$${\displaystyle b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}.}$$الفاصل الزمني${\displaystyle [a,b]}$يُطلق على جميع المشتقات الجزئية اسم التفاضل الجزئي للدالة${\displaystyle f}$في${\displaystyle x_{0}}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$. لو${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة محدبة، فإن تفاضلها الجزئي عند أي نقطة يكون غير فارغ. علاوة على ذلك، إذا كان تفاضلها الجزئي عند${\displaystyle x_{0}}$يحتوي على مشتق فرعي واحد فقط، إذن${\displaystyle f}$قابلة للتفاضل عند${\displaystyle x_{0}}$و${\displaystyle \partial f(x_{0})=\{f'(x_{0})\}}$[ ^{2 ]​}

ضع في اعتبارك الدالة${\displaystyle f(x)=|x|}$وهي محدبة. إذن، التفاضل الجزئي عند نقطة الأصل هو الفترة${\displaystyle [-1,1]}$التفاضل الجزئي عند أي نقطة${\displaystyle x_{0}<0}$هي مجموعة العناصر المفردة${\displaystyle \{-1\}}$، بينما يكون التفاضل الفرعي عند أي نقطة${\displaystyle x_{0}>0}$هي مجموعة العناصر المفردة${\displaystyle \{1\}}$يشبه هذا دالة الإشارة ، ولكنه ليس أحادي القيمة عند${\displaystyle 0}$بدلاً من ذلك، يشمل ذلك جميع المشتقات الفرعية الممكنة.

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle f(x)=\|x\|}$هو معيار في فضاء معياري${\displaystyle X}$ثم لـ${\displaystyle x\neq 0}$،

${\displaystyle \partial f(x)=\{x^{*}\in X^{*}:\langle x^{*},x\rangle =\|x\|,\ \|x^{*}\|_{*}=1\},}$

بينما

${\displaystyle \partial f(0)=\{x^{*}\in X^{*}:\|x^{*}\|_{*}\leq 1\}.}$

• دالة محدبة${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$قابلة للتفاضل عند${\displaystyle x_{0}}$إذا وفقط إذا كانت المجموعة التفاضلية الجزئية مجموعة أحادية، وهو${\displaystyle \{f'(x_{0})\}}$.
• نقطة${\displaystyle x_{0}}$يمثل الحد الأدنى العالمي لدالة محدبة${\displaystyle f}$إذا وفقط إذا كان الصفر موجودًا في التفاضل الجزئي. على سبيل المثال، في الشكل أعلاه، يمكن رسم "خط مماس جزئي" أفقي لمنحنى${\displaystyle f}$في${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$هذه الخاصية الأخيرة هي تعميم لحقيقة أن مشتقة الدالة القابلة للتفاضل عند الحد الأدنى المحلي تساوي صفرًا.
• لو${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$هي دوال محدبة ذات تفاضلات جزئية${\displaystyle \partial f(x)}$و${\displaystyle \partial g(x)}$مع${\displaystyle x}$إذا كانت النقطة الداخلية لإحدى الدوال، فإن التفاضل الجزئي لـ${\displaystyle f+g}$يكون${\displaystyle \partial (f+g)(x)=\partial f(x)+\partial g(x)}$(حيث يشير عامل الجمع إلى مجموع مينكوفسكي ). وهذا يُقرأ على النحو التالي: "التفاضل الجزئي لمجموع ما هو مجموع التفاضلات الجزئية". ^{[ 3 ]}

يمكن تعميم مفهومي المشتقة الجزئية والتفاضل الجزئي ليشمل الدوال ذات المتغيرات المتعددة. إذا${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$هي دالة محدبة ذات قيم حقيقية معرفة على مجموعة مفتوحة محدبة في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$متجه${\displaystyle v}$يُطلق على هذا النطاق اسم التدرج الفرعي عند${\displaystyle x_{0}\in U}$إن كان ذلك لأي سبب${\displaystyle x\in U}$يمتلك المرء ذلك

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot (x-x_{0}),}$

حيث تشير النقطة إلى الضرب النقطي . مجموعة جميع التدرجات الفرعية عند${\displaystyle x_{0}}$يُطلق عليه اسم التفاضل الفرعي عند${\displaystyle x_{0}}$ويُشار إليه بـ${\displaystyle \partial f(x_{0})}$. التفاضل الجزئي هو دائمًا مجموعة محدبة مضغوطة غير فارغة .

تتوسع هذه المفاهيم لتشمل الدوال المحدبة.${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$على مجموعة محدبة في فضاء محدب محليًا${\displaystyle V}$. وظيفي${\displaystyle v^{*}}$في الفضاء المزدوج${\displaystyle V^{*}}$يُطلق عليه اسم التدرج الفرعي عند${\displaystyle x_{0}}$في${\displaystyle U}$إن كان ذلك للجميع${\displaystyle x\in U}$،

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq v^{*}(x-x_{0}).}$

مجموعة جميع التدرجات الفرعية عند${\displaystyle x_{0}}$يُطلق عليه اسم التفاضل الفرعي عند${\displaystyle x_{0}}$ويُشار إليه مرة أخرى${\displaystyle \partial f(x_{0})}$التفاضل الجزئي هو دائمًا مجموعة محدبة مغلقة . يمكن أن يكون مجموعة فارغة؛ لنأخذ على سبيل المثال مؤثرًا غير محدود ، وهو محدب، لكن ليس له تدرج جزئي.${\displaystyle f}$إذا كانت متصلة، فإن التفاضل الجزئي غير فارغ.

لدالة محدبة مناسبة${\displaystyle f:X\to (-\infty ,+\infty ]}$في فضاء محدب محليًا، يمكن وصف التفاضل الجزئي باستخدام المرافق المحدب . وتنص متباينة فينكل-يونغ على أن

${\displaystyle f(x)+f^{*}(x^{*})\geq \langle x^{*},x\rangle }$

للجميع${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle x^{*}\in X^{*}}$تتحقق المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle x^{*}}$هو تدرج فرعي من${\displaystyle f}$في${\displaystyle x}$؛ إنه،

${\displaystyle x^{*}\in \partial f(x)}$

إذا وفقط إذا

${\displaystyle f(x)+f^{*}(x^{*})=\langle x^{*},x\rangle .}$

وبعبارة أخرى،

${\displaystyle \partial f(x)=\{x^{*}\in X^{*}:\langle x^{*},x\rangle -f(x)=f^{*}(x^{*})\}.}$

هندسياً، هذا يعني أن الدالة الأفينية

${\displaystyle z\mapsto \langle x^{*},z\rangle -f^{*}(x^{*})}$

يدعم${\displaystyle f}$من الأسفل عند${\displaystyle x}$[ ^{4 ] [ 5 ]​}

تم تقديم التفاضل الجزئي على الدوال المحدبة بواسطة جان جاك مورو و ر. تيريل روكافيلر في أوائل الستينيات. وتم تقديم التفاضل الجزئي المعمم للدوال غير المحدبة بواسطة فرانسيس هـ. كلارك و ر. تيريل روكافيلر في أوائل الثمانينيات. ^{[ 6 ]}

• مشتق ضعيف
• طريقة التدرج الفرعي
• مشتقة كلارك المعممة

• بورواين، جوناثان؛ لويس، أدريان س. (2010). التحليل المحدب والتحسين غير الخطي  : النظرية والأمثلة (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-31256-9.
• هيريارت أوروتي، جان بابتيست؛ ليمارشال، كلود (2001). أساسيات التحليل المحدب . سبرينغر. رقم ISBN 3-540-42205-6.
• روكافيلر، ر. تيريل (1997) [1970]، التحليل المحدب ، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون، ISBN 978-0-691-01586-6.
• زالينسكو، سي. (2002). التحليل المحدب في الفضاءات المتجهة العامة .  دار النشر العالمية العلمية.  ص.  xx+367. ISBN 981-238-067-1MR 1921556 .​ 

• استخدامات${\displaystyle \lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}}$" . Stack Exchange . 18 سبتمبر 2011.