مركز المثلث

في بعض الحالات، لا يتم تعريف هذه الدوال على كامل ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$على سبيل المثال ، الخطوط الثلاثية للمثلث X _365، وهو المدخل رقم 365 في موسوعة مراكز المثلثات ، هي${\displaystyle a^{1/2}:b^{1/2}:c^{1/2}}$لذا ، لا يمكن أن تكون قيم a و b و c سالبة. علاوة على ذلك، لكي تمثل أضلاع المثلث، يجب أن تحقق متباينة المثلث . لذلك، عمليًا، يقتصر مجال كل دالة على منطقة ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$أين​ $${\displaystyle a\leq b+c,\quad b\leq c+a,\quad c\leq a+b.}$$ هذه المنطقة T هي مجال جميع المثلثات، وهي المجال الافتراضي لجميع الدوال القائمة على المثلثات.

توجد حالات عديدة قد يكون من المستحسن فيها حصر التحليل في نطاق أصغر من T. على سبيل المثال:

• تشير المراكز X ₃ و X ₄ و X ₂₂ و X ₂₄ و X _{40 تحديدًا إلى} المثلثات الحادة ، وتحديدًا تلك المنطقة من T حيث$${\displaystyle a^{2}\leq b^{2}+c^{2},\quad b^{2}\leq c^{2}+a^{2},\quad c^{2}\leq a^{2}+b^{2}.}$$
• عند التمييز بين نقطة فيرما و X _13، يكون مجال المثلثات ذات الزاوية التي تزيد عن 2π/3 مهمًا؛ بعبارة أخرى، المثلثات التي يكون فيها أي مما يلي صحيحًا:

$${\displaystyle a^{2}>b^{2}+bc+c^{2};\quad b^{2}>c^{2}+ca+a^{2};\quad c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}.}$$

• تُعدّ مجموعة المثلثات المختلفة الأضلاع مجالًا ذا قيمة عملية كبيرة، نظرًا لكونها كثيفة في T، ومع ذلك تستبعد جميع المثلثات التافهة (أي النقاط) والمثلثات المنحلة ( أي الخطوط) . ويتم الحصول عليها بإزالة المستويات b = c و c = a و a = b من T.

ليست كل مجموعة جزئية D ⊆ T مجالًا صالحًا. لدعم اختبار التناظر الثنائي، يجب أن تكون D متناظرة حول المستويين b = c و c = a و a = b . لدعم اختبار الدورية، يجب أن تكون D ثابتة تحت دوران 2π/3 حول الخط a = b = c . أبسط مجال على الإطلاق هو الخط ( t , t , t ) الذي يُمثل مجموعة جميع المثلثات متساوية الأضلاع .

نقطة التقاء المنصفات العمودية لأضلاع المثلث △ ABC هي مركز الدائرة المحيطة. إحداثيات مركز الدائرة المحيطة هي:

$${\displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}$$

يترك${\displaystyle f\left(a,b,c\right)=a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}$يمكن إثبات أن الدالة f متجانسة: $${\displaystyle {\begin{aligned}f(ta,tb,tc)&=ta{\Bigl [}(tb)^{2}+(tc)^{2}-(ta)^{2}{\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}{\Bigl [}a(b^{2}+c^{2}-a^{2}){\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}f(a,b,c)\end{aligned}}}$$ بالإضافة إلى كونها متناظرة ثنائياً: $${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,c,b)&=a(c^{2}+b^{2}-a^{2})\\[2pt]&=a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\\[2pt]&=f(a,b,c)\end{aligned}}}$$ إذن، f هي دالة مركز المثلث. وبما أن مركز المثلث المقابل له نفس الخطوط الثلاثية لمركز الدائرة المحيطة، فإنه يترتب على ذلك أن مركز الدائرة المحيطة هو مركز المثلث.

ليكن المثلث A'BC مثلثًا متساوي الأضلاع قاعدته BC ورأسه A' يقع على الضلع السالب لـ BC ، وليكن المثلثان AB'C و ABC ' مثلثين متساويي الأضلاع مبنيين بنفس الطريقة على الضلعين الآخرين للمثلث ABC . عندئذٍ، تتقاطع الخطوط AA' وBB' وCC' ، ونقطة التقاطع هي المركز المتساوي الزوايا الأول. إحداثياته ​​الثلاثية هي

${\displaystyle \csc \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right).}$

بتعبير هذه الإحداثيات بدلالة a و b و c ، يمكن التحقق من أنها تحقق بالفعل الخصائص المميزة لإحداثيات مركز المثلث. وبالتالي، فإن المركز المتساوي الزوايا الأول هو أيضاً مركز مثلث.

يترك

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{إذا كان }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&\iff {\text{إذا كان }}A>2\pi /3\\[8pt]0&\quad \!\!\displaystyle {{{\text{إذا كان }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}} \atop {{\text{أو }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}}}&\iff \!\!\displaystyle {{{\text{إذا كان }}B>2\pi /3} \atop {{\text{أو }}C>2\pi /3}}\\[8pt]\csc(A+{\frac {\pi }{3}})&\quad {\text{فيما عدا ذلك}}&\iff A,B,C\leq 2\pi /3\end{cases}}}$$

إذن، الدالة f متناظرة ثنائية ومتجانسة، لذا فهي دالة مركز المثلث. علاوة على ذلك، يتطابق مركز المثلث المقابل مع الرأس المنفرج الزاوية كلما تجاوزت أي زاوية من زوايا الرأس${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}}$وإلا فإن مركز المثلث الأول هو نقطة فيرما .

الإحداثيات الثلاثية الخطية لنقطة بروكارد الأولى هي: $${\displaystyle {\frac {c}{b}}\$$ :\ {\frac {a}{c}}\  :\ {\frac {b}{a}}} تحقق هذه الإحداثيات خصائص التجانس والدورية، ولكنها لا تحقق خاصية التناظر الثنائي. لذا، فإن نقطة بروكارد الأولى ليست (بشكل عام) مركز مثلث. أما نقطة بروكارد الثانية فلها إحداثيات ثلاثية الخطوط. $${\displaystyle {\frac {b}{c}}\$$ :\ {\frac {c}{a}}\  :\ {\frac {a}{b}}} والملاحظات المماثلة تنطبق.

تُعدّ نقطتا بروكارد الأولى والثانية إحدى أزواج النقاط ثنائية المركز العديدة، ^{[ 6 ]} وهي أزواج من النقاط تُعرَّف من مثلث بحيث تبقى المجموعة (وليس كل نقطة على حدة) محفوظةً عند تطبيق عمليات التشابه على المثلث. وتُنتج العديد من العمليات الثنائية، مثل نقطة المنتصف والضرب الثلاثي، عند تطبيقها على نقطتي بروكارد، بالإضافة إلى أزواج النقاط ثنائية المركز الأخرى، مراكز المثلث.

في الجدول التالي الذي يعرض مراكز المثلثات الحديثة، لم تُذكر رموز محددة للنقاط المختلفة. كما تم تحديد الإحداثي الثلاثي الخطي الأول فقط f(a,b,c) لكل مركز. ويمكن استنتاج الإحداثيات الأخرى بسهولة باستخدام خاصية الدورية للإحداثيات الثلاثية الخطية.

مرجع ETC؛ الاسم		وظيفة المركز${\displaystyle f(a,b,c)}$	السنة الموصوفة
X 21	نقطة شيفلر	${\displaystyle {\frac {1}{\cos B+\cos C}}}$	1985
X 22	نقطة إكستر	${\displaystyle a(b^{4}+c^{4}-a^{4})}$	1986
X 111	نقطة صد	${\displaystyle {\frac {a}{2a^{2}-b^{2}-c^{2}}}}$	أوائل التسعينيات
X 173	نقطة خطوط التساوي المتطابقة	${\displaystyle \tan {\tfrac {A}{2}}+\sec {\tfrac {A}{2}}}$	1989
X 174	مركز التطابق Yff	${\displaystyle \sec {\tfrac {A}{2}}}$	1987
X 175	نقطة متساوية المحيط	${\displaystyle \sec {\tfrac {A}{2}}\cos {\tfrac {B}{2}}\cos {\tfrac {C}{2}}-1}$	1985
X 179	نقطة أجيما-مالفاتي الأولى	${\displaystyle \sec ^{4}{\tfrac {A}{4}}}$
X 181	نقطة أبولونيوس	${\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}}$	1987
X 192	نقطة متوازية متساوية	${\displaystyle bc(ca+ab-bc)}$	1961
X 356	مركز مورلي	${\displaystyle \cos {\tfrac {A}{3}}+2\cos {\tfrac {B}{3}}\cos {\tfrac {C}{3}}}$	1978 [ 7 ]
إكس 360	نقطة الصفر لهوفستاتر	${\displaystyle {\frac {A}{a}}}$	1992

تكريماً لكلارك كيمبرلينج الذي أنشأ الموسوعة الإلكترونية لأكثر من 32000 مركز مثلث، تُسمى مراكز المثلث المدرجة في الموسوعة مجتمعة بمراكز كيمبرلينج . ^{[ 8 ]}

يُطلق على مركز المثلث P اسم مركز المثلث متعدد الحدود إذا كان من الممكن التعبير عن الإحداثيات الثلاثية الخطية لـ P على أنها متعددات حدود في a و b و c .

يُطلق على مركز المثلث P اسم نقطة مثلث منتظمة إذا كان من الممكن التعبير عن الإحداثيات الثلاثية الخطية لـ P على شكل كثيرات حدود في △، a ، b ، c ، حيث △ هي مساحة المثلث.

يُقال إن مركز المثلث P هو مركز مثلث رئيسي إذا أمكن التعبير عن الإحداثيات الثلاثية الخطية لـ P بالشكل التالي${\displaystyle f(A):f(B):f(C)}$أين​${\displaystyle f(X)}$^{[ 9 ]} هي دالة للزاوية X فقط ولا تعتمد على الزوايا الأخرى أو على أطوال الأضلاع.

يُطلق على مركز المثلث P اسم مركز المثلث المتسامي إذا لم يكن لـ P تمثيل ثلاثي الخطوط باستخدام الدوال الجبرية فقط لـ a و b و c .

لتكن f دالة مركز المثلث. إذا كان ضلعان من أضلاع المثلث متساويين (مثلاً a = b )، فإن $${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b,c)&=f(b,a,c)&({\text{since }}a=b)\\&=f(b,c,a)&{\text{(by bisymmetry)}}\end{aligned}}}$$ لذا، فإنّ مركّبتين من مركز المثلث المرتبط به متساويتان دائمًا. وبالتالي، يجب أن تقع جميع مراكز المثلث متساوي الساقين على محور التناظر . أما بالنسبة للمثلث متساوي الأضلاع، فإنّ جميع المركّبات الثلاثة متساوية، لذا فإنّ جميع المراكز تتطابق مع مركز الثقل. لذلك، وكما هو الحال في الدائرة، فإنّ للمثلث متساوي الأضلاع مركزًا واحدًا.

يترك $${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}-1&\quad {\text{if }}a\geq b{\text{ and }}a\geq c,\\\;\;\;1&\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

يتضح بسهولة أن هذه دالة لتحديد مركز المثلث، وإذا كان المثلث مختلف الأضلاع، فإن مركز المثلث المقابل هو مركز الزاوية الخارجية المقابلة لأكبر زاوية رأس. ويمكن تحديد مركزي الزاويتين الخارجيتين الأخريين بدوال مماثلة. مع ذلك، وكما ذُكر سابقًا، لا يمكن أن يكون مركز الزاوية الخارجية للمثلث متساوي الساقين مركزًا للمثلث، ولا يمكن أن يكون أي من مراكز الزوايا الخارجية للمثلث متساوي الأضلاع مركزًا للمثلث.

تكون الدالة f متناظرة ثنائياً إذا $${\displaystyle f(a,b,c)=-f(a,c,b)\quad {\text{for all}}\quad a,b,c.}$$ إذا كانت هذه الدالة غير صفرية ومتجانسة أيضًا، فمن السهل ملاحظة أن التطبيق $${\displaystyle (a,b,c)\to f(a,b,c)^{2}\,f(b,c,a)\,f(c,a,b)}$$ هي دالة مركز المثلث. مركز المثلث المقابل هو $${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b).}$$ وبناءً على ذلك، يُؤخذ تعريف دالة مركز المثلث أحيانًا على أنه يشمل الدوال المتجانسة غير الصفرية ذات التناظر الثنائي.

يمكن تطبيع أي دالة مركز مثلث f بضربها بدالة متناظرة لـ a و b و c بحيث يكون n = 0. دالة مركز المثلث المُطَبَّعة لها نفس مركز المثلث الأصلي، بالإضافة إلى الخاصية الأقوى التالية: $${\displaystyle f(ta,tb,tc)=f(a,b,c)\quad {\text{for all}}\quad t>0,\ (a,b,c).}$$ تشكل دوال مركز المثلث المعيارية، إلى جانب دالة الصفر، جبرًا قائمًا على عمليات الجمع والطرح والضرب. وهذا يوفر طريقة سهلة لإنشاء مراكز مثلثات جديدة. مع ذلك، غالبًا ما تُعرّف دوال مركز المثلث المعيارية المختلفة نفس مركز المثلث، على سبيل المثال f و${\displaystyle (abc)^{-1}(a+b+c)^{3}f.}$

لنفترض أن a و b و c متغيرات حقيقية، ولنفترض أن α و β و γ ثلاثة ثوابت حقيقية.

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\alpha &\quad {\text{if }}a<b{\text{ and }}a<c&(a{\text{ is least}}),\\[2pt]\gamma &\quad {\text{if }}a>b{\text{ and }}a>c&(a{\text{ is greatest}}),\\[2pt]\beta &\quad {\text{otherwise}}&(a{\text{ is in the middle}}).\end{cases}}}$$

إذن، f هي دالة مركز المثلث، و α  : β  : γ هو مركز المثلث المقابل عندما تُسمى أضلاع المثلث المرجعي بحيث يكون a < b < c . وبالتالي، فإن كل نقطة هي مركز مثلث محتمل. مع ذلك، فإن الغالبية العظمى من مراكز المثلثات لا تحظى باهتمام كبير، تمامًا كما هو الحال مع معظم الدوال المتصلة.

إذا كانت f دالة مركز المثلث، فإن af هي دالة مركز المثلث أيضًا، ويكون مركز المثلث المقابل هو $${\displaystyle a\,f(a,b,c):b\,f(b,c,a):c\,f(c,a,b).}$$ بما أن هذه هي إحداثيات مركز المثلث المقابلة للدالة f، فإنه من الممكن تعريف مراكز المثلثات بدلالة الإحداثيات المركزية بدلاً من الإحداثيات الثلاثية. عملياً، ليس من الصعب التحويل من نظام إحداثيات إلى آخر.

توجد أزواج مركزية أخرى إلى جانب نقطة فيرما والمركز المتساوي الزوايا الأول. ويتكون نظام آخر من X ₃ ومركز الدائرة الداخلية للمثلث المماسي . لنفترض دالة مركز المثلث المعطاة بالصيغة التالية:

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\cos A&{\text{if }}\triangle {\text{ is acute}},\\[2pt]\cos A+\sec B\sec C&{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse}},\\[2pt]\cos A-\sec A&{\text{if either}}\measuredangle B{\text{ or }}\measuredangle C{\text{ is obtuse}}.\end{cases}}}$$

بالنسبة لمركز المثلث المقابل، توجد أربعة احتمالات متميزة: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{if reference }}\triangle {\text{ is acute:}}\quad \cos A\$$ :\,\cos B\  :\,\cos C\\[6pt]&{\begin{array}{rcccc}{\text{إذا كانت الزاوية المقاسة A منفرجة:}}&\cos A+\sec B\sec C&:&\cos B-\sec B&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{إذا كانت الزاوية المقاسة B منفرجة:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B+\sec C\sec A&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{إذا كانت الزاوية المقاسة C منفرجة:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B-\sec B&:&\cos C+\sec A\sec B\end{array}}\end{aligned}}} لاحظ أن الأول هو أيضًا مركز الدائرة المحيطة.

تُظهر الحسابات الروتينية أن هذه الخطوط الثلاثية تمثل في كل حالة مركز الدائرة الداخلية للمثلث المماسي. لذا، فإن هذه النقطة هي مركز مثلث قريب من مركز الدائرة المحيطة به.

يؤدي عكس المثلث إلى تغيير ترتيب أضلاعه. في الصورة، تشير الإحداثيات إلى المثلث ( ج ، ب ، أ ) ، وباستخدام الرمز "|" كفاصل، يشير الرمز "|" إلى انعكاس نقطة عشوائية.${\displaystyle \gamma$ } β  α ...${\displaystyle \gamma \ |\ \beta \ |\ \alpha .}$إذا كانت f دالة مركز المثلث، فإن انعكاس مركز المثلث هو${\displaystyle f(c,a,b)\ |\ f(b,c,a)\ |\ f(a,b,c),}$وهو، بحكم التناظر الثنائي، هو نفسه${\displaystyle f(c,b,a)\ |\ f(b,a,c)\ |\ f(a,c,b).}$ بما أن هذا هو أيضًا مركز المثلث المقابل للنقطة f بالنسبة للمثلث ( c , b , a )، فإن التناظر الثنائي يضمن ثبات جميع مراكز المثلثات تحت الانعكاس. وبما أن الدوران والانتقال يُمكن اعتبارهما انعكاسين مزدوجين، فإنهما أيضًا يحافظان على مراكز المثلثات. وتُبرر خصائص الثبات هذه التعريف.

ومن الأسماء الأخرى للتمدد: التمدد المنتظم ، والتمدد المتساوي الخواص ، والتجانس ، والتجانس .