الدوائر الداخلية والخارجية

الإحداثيات الثلاثية لنقطة داخل المثلث هي نسبة جميع المسافات إلى أضلاع المثلث. ولأن مركز الدائرة الداخلية يبعد نفس المسافة عن جميع أضلاع المثلث، فإن الإحداثيات الثلاثية لمركز الدائرة الداخلية هي ^{[ 6 ].}$${\displaystyle \ 1:1:1.}$$

تُعطي الإحداثيات الباريسنترية لنقطة داخل مثلث أوزانًا بحيث تكون تلك النقطة هي المتوسط ​​المرجح لمواقع رؤوس المثلث. أما الإحداثيات الباريسنترية لمركز الدائرة الداخلية فتُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle a:b:c}$$ أين${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$هي أطوال أضلاع المثلث، أو بصورة مكافئة (باستخدام قانون الجيب ) بواسطة $${\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C}$$ أين${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$، و${\displaystyle C}$هي الزوايا عند الرؤوس الثلاثة.

تُحسب الإحداثيات الديكارتية لمركز الدائرة الداخلية كمتوسط ​​مرجح لإحداثيات الرؤوس الثلاثة باستخدام أطوال أضلاع المثلث نسبةً إلى محيطه (أي باستخدام الإحداثيات الباريسنترية المذكورة أعلاه، بعد توحيد مجموعها ليكون واحدًا) كأوزان. تكون الأوزان موجبة، لذا يقع مركز الدائرة الداخلية داخل المثلث كما ذُكر سابقًا. إذا كانت الرؤوس الثلاثة تقع عند${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$،${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$، و${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$والضلوع المقابلة لهذه الرؤوس لها أطوال مماثلة.${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$ثم يكون المركز الداخلي عند$${\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}$$

لنرمز إلى مركز الدائرة الداخلية لـ${\displaystyle \triangle ABC}$مثل${\displaystyle I}$.

المسافة من الرأس${\displaystyle A}$إلى المركز${\displaystyle I}$يكون: $${\displaystyle {\overline {AI}}=d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.}$$

استخدم قانون الجيب في المثلث${\displaystyle \triangle IAB}$.

نحصل${\displaystyle {\frac {\overline {AI}}{\sin {\frac {B}{2}}}}={\frac {c}{\sin \angle AIB}}}$لدينا ذلك${\displaystyle \angle AIB=\pi -{\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {C}{2}}}$.

ويترتب على ذلك أن${\displaystyle {\overline {AI}}=c\ {\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}}$.

يتم الحصول على المساواة مع التعبير الثاني بنفس الطريقة.

المسافات من المركز الداخلي إلى الرؤوس بالإضافة إلى أطوال أضلاع المثلث تخضع للمعادلة ^{[ 7 ].}$${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

بالإضافة إلى ذلك، ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},}$$ أين${\displaystyle R}$و${\displaystyle r}$يمثل نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث ونصف قطر الدائرة الداخلية على التوالي.

يمكن إعطاء مجموعة مراكز المثلثات بنية مجموعة تحت الضرب الإحداثي للإحداثيات الثلاثية؛ في هذه المجموعة، يشكل المركز الداخلي عنصر الوحدة . ^{[ 6 ]}

المسافات من رأس إلى أقرب نقطتي تماس متساوية؛ على سبيل المثال من الرأس${\displaystyle A}$: ^{[ 9 ] [ 10 ]}$${\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+ca)=sa,}$$ أين${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$هو نصف المحيط .

وبالمثل، تقسم نقاط التماس للدائرة الداخلية الأضلاع إلى أجزاء ذات أطوال مختلفة${\displaystyle sb}$من${\displaystyle B}$، و${\displaystyle sc}$من${\displaystyle C}$(انظر الخطوط المماسية للدائرة ).

نصف القطر الداخلي${\displaystyle r}$من الدائرة الداخلية في مثلث طول أضلاعه${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$،${\displaystyle c}$يتم تحديده بواسطة ^{[ 11 ]}$${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(sa)(sb)(sc)}{s}}},}$$ أين${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$هو نصف المحيط (انظر صيغة هيرون ).

يرتبط نصف قطر الدائرة الداخلية بمساحة المثلث . ^{[ 12 ]} نسبة مساحة الدائرة الداخلية إلى مساحة المثلث أقل من أو تساوي${\displaystyle \pi {\big /}3{\sqrt {3}}}$[ ¹³ ]​^​​

يفترض${\displaystyle \triangle ABC}$يحتوي على دائرة داخلية بنصف قطر${\displaystyle r}$والمركز${\displaystyle I}$. يترك${\displaystyle a}$ليكن طول${\displaystyle {\overline {BC}}}$،${\displaystyle b}$طول${\displaystyle {\overline {AC}}}$، و${\displaystyle c}$طول${\displaystyle {\overline {AB}}}$.

الآن، الدائرة الداخلية مماسة لـ${\displaystyle {\overline {AB}}}$في مرحلة ما${\displaystyle T_{C}}$وهكذا${\displaystyle \angle AT_{C}I}$هذا صحيح. وبالتالي، فإن نصف القطر${\displaystyle T_{C}I}$وهو ارتفاع​${\displaystyle \triangle IAB}$.

لذلك،${\displaystyle \triangle IAB}$له طول أساسي${\displaystyle c}$والارتفاع${\displaystyle r}$وكذلك المساحة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$.

بصورة مماثلة،${\displaystyle \triangle IAC}$لديها مساحة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$و${\displaystyle \triangle IBC}$لديها مساحة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$.

بما أن هذه المثلثات الثلاثة تتحلل${\displaystyle \triangle ABC}$نرى أن المنطقة${\displaystyle \Delta }$ل${\displaystyle \triangle ABC}$يكون: $${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}$$ و $${\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},}$$ أين${\displaystyle \Delta }$هي منطقة${\displaystyle \triangle ABC}$و${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$هو نصف محيطها .

للحصول على صيغة بديلة، انظر${\displaystyle \triangle IT_{C}A}$هذا مثلث قائم الزاوية، أحد أضلاعه يساوي${\displaystyle r}$والجانب الآخر يساوي${\displaystyle r\cot {\tfrac {A}{2}}}$وينطبق الشيء نفسه على${\displaystyle \triangle IB'A}$يتكون المثلث الكبير من ستة مثلثات من هذا النوع، ومساحته الإجمالية هي:$${\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).}$$

إذا كانت الارتفاعات من جوانب الأطوال${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$نكون${\displaystyle h_{a}}$،${\displaystyle h_{b}}$، و${\displaystyle h_{c}}$ثم نصف القطر الداخلي${\displaystyle r}$يمثل ثلث المتوسط ​​التوافقي لهذه الارتفاعات؛ أي ^{[ 14 ]}$${\displaystyle r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.}$$

حاصل ضرب نصف قطر الدائرة الداخلية${\displaystyle r}$ونصف قطر الدائرة المحيطة${\displaystyle R}$جزء من مثلث له أضلاع${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$هو ^{[ 15 ]}$${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$$

بعض العلاقات بين الأضلاع ونصف قطر الدائرة الداخلية ونصف قطر الدائرة المحيطة هي: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}}$$

أي خط يمر عبر مثلث ويقسم مساحته ومحيطه إلى نصفين يمر بمركز الدائرة الداخلية للمثلث. يوجد إما واحد أو اثنان أو ثلاثة من هذه النقاط لأي مثلث معين. ^{[ 17 ]}

لا يتجاوز نصف قطر الدائرة الداخلية تسع مجموع الارتفاعات. ^{[ 18 ] : 289}

المسافة التربيعية من المركز الداخلي${\displaystyle I}$إلى مركز الدائرة${\displaystyle O}$يُعطى بواسطة ^{[ 19 ] : 232}$${\displaystyle {\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$$ والمسافة من مركز الدائرة الداخلية إلى المركز${\displaystyle N}$نسبة الدائرة ذات النقاط التسع هي ^{[ 19 ] : 232}$${\displaystyle {\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.}$$

يقع مركز الدائرة الداخلية في المثلث المتوسط ​​(الذي رؤوسه هي منتصفات أضلاعه). ^{[ 19 ] : 233، اللمة 1}

المصدر: ^{[ 23 ]}

دع الدائرة الخارجية على الجانب${\displaystyle AB}$المس من الجانب${\displaystyle AC}$ممتد في${\displaystyle G}$وليكن نصف قطر هذه الدائرة الخارجية هو${\displaystyle r_{c}}$ويكون مركزها${\displaystyle J_{c}}$. ثم${\displaystyle J_{c}G}$وهو ارتفاع${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$، لذا${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$لديها مساحة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$وبحجة مماثلة،${\displaystyle \triangle BCJ_{c}}$لديها مساحة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$و${\displaystyle \triangle ABJ_{c}}$لديها مساحة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$وبالتالي المنطقة${\displaystyle \Delta }$مثلث${\displaystyle \triangle ABC}$يكون $${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}.}$$

لذا، بالدلالة على التناظر،${\displaystyle r}$باعتباره نصف قطر الدائرة الداخلية، $${\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}.}$$

بحسب قانون جيب التمام ، لدينا $${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$$

بدمج هذا مع الهوية${\displaystyle \sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1}$لدينا $${\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$$

لكن${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}$وهكذا $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[5mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}}$$ وهي صيغة هيرون .

بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle sr=\Delta }$لدينا $${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}$$

بصورة مماثلة،${\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }$أعطِ $${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\[4pt]&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}}$$

من الصيغ المذكورة أعلاه، يتضح أن الدوائر الخارجية أكبر دائمًا من الدوائر الداخلية، وأن أكبر دائرة خارجية هي تلك المماسّة لأطول ضلع، وأصغر دائرة خارجية هي تلك المماسّة لأقصر ضلع. وبدمج هذه الصيغ، نحصل على: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$$