مساحة DF

في مجال التحليل الوظيفي الرياضي ، تُعرف فضاءات DF ، أو فضاءات ( DF )، بأنها فضاءات متجهة طوبولوجية محدبة محليًا، تتميز بخاصية مشتركة مع فضاءات المتجهات الطوبولوجية القابلة للقياس المحدبة محليًا . وتلعب هذه الفضاءات دورًا هامًا في نظرية جداءات الموترات الطوبولوجية. ^{[ 1 ]}

تم تعريف فضاءات DF لأول مرة بواسطة ألكسندر غروتينديك، ودرسها بالتفصيل في ( غروتينديك 1954 ) . وقد دفعه إلى تقديم هذه الفضاءات الخاصية التالية للفضاءات الثنائية القوية للفضاءات القابلة للقياس: إذا${\displaystyle X}$هو فضاء محدب محليًا وقابل للقياس، و${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }$هي سلسلة من الجوارات المحدبة ذات الصفر في${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$بحيث${\displaystyle V:=\cap _{i}V_{i}}$يستوعب كل مجموعة محدودة بقوة، ثم${\displaystyle V}$هو حيّ من فئة 0 في${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$(أين${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$هو الفضاء الثنائي المتصل لـ${\displaystyle X}$(مزودة بالطوبولوجيا الثنائية القوية). ^{[ 2 ]}

فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا ( TVS)${\displaystyle X}$هو فضاء DF ، ويكتب أيضًا فضاء ( DF ) ، إذا ^{[ 1 ]}

1. ${\displaystyle X}$هو فضاء شبه برميلي قابل للعد (أي كل اتحاد قابل للعد ومحدود بقوة لمجموعات فرعية متساوية الاستمرارية من${\displaystyle X^{\prime }}$(متساوٍ في الاستمرارية)، و
2. ${\displaystyle X}$تمتلك متتالية أساسية من المجموعات المحدودة (أي توجد متتالية قابلة للعد من المجموعات الجزئية المحدودة).${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$بحيث أن كل مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle X}$يحتوي على بعض${\displaystyle B_{i}}$^{[ 3 ]} ).

• يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاء DF وليكن${\displaystyle V}$لتكن مجموعة جزئية محدبة ومتوازنة من${\displaystyle X.}$ثم${\displaystyle V}$تكون جوارًا للأصل إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة جزئية محدبة ومتوازنة ومحدودة${\displaystyle B\subseteq X,}$${\displaystyle B\cap V}$هو حي من أحياء الأصل في${\displaystyle B.}$^{[ 1 ]} بالتالي، يكون التحويل الخطي من فضاء DF إلى فضاء محدب محليًا متصلًا إذا كان تقييده على كل مجموعة جزئية محدودة من المجال متصلًا. ^{[ 1 ]}
• الفضاء الثنائي القوي لفضاء DF هو فضاء فريشيه . ^{[ 4 ]}
• كل فضاء مونتيل دي إف ذو الأبعاد اللانهائية هو فضاء متسلسل ولكنه ليس فضاء فريشيه -أوريسون .
• يفترض${\displaystyle X}$إما أن يكون فضاءً من نوع DF أو فضاءً من نوع LM . إذا${\displaystyle X}$إذا كان فضاءً تسلسليًا، فهو إما قابل للقياس أو فضاء مونتيل أو فضاء DF.
• كل فضاء DF شبه كامل هو فضاء كامل. ^{[ 5 ]}
• لو${\displaystyle X}$هل هو فضاء DF نووي كامل إذن${\displaystyle X}$هو فضاء مونتيل . ^{[ 6 ]}

المساحة المزدوجة القوية${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$مساحة فريشيه${\displaystyle X}$هو فضاء DF. ^{[ 7 ]}

• الفضاء الثنائي القوي لفضاء محدب محليًا وقابل للقياس هو فضاء DF ^{[ 8 ]،} لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام ^{[ 8 ]} (العكس هو القول بأن كل فضاء DF هو الفضاء الثنائي القوي لفضاء محدب محليًا وقابل للقياس). ومن هذا يترتب ما يلي:
  • كل فضاء معياري هو فضاء DF. ^{[ 9 ]}
  • كل فضاء باناخ هو فضاء DF. ^{[ 1 ]}
  • كل فضاء تحت برميلي يمتلك تسلسلًا أساسيًا من المجموعات المحدودة هو فضاء DF.
• كل خارج قسمة هاوسدورف لفضاء DF هو فضاء DF. ^{[ 10 ]}
• إكمال فضاء DF هو فضاء DF . ^{[ 10 ]}
• المجموع المحدب محليًا لتسلسل من فضاءات DF هو فضاء DF. ^{[ 10 ]}
• النهاية الاستقرائية لتسلسل من فضاءات DF هي فضاء DF. ^{[ 10 ]}
• لنفترض أن${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$هي فضاءات DF. إذن، فإن حاصل الضرب الموتري الإسقاطي ، وكذلك إكماله، لهذه الفضاءات هو فضاء DF. ^{[ 6 ]}

لكن،

• إن حاصل الضرب اللانهائي لفضاءات DF غير التافهة (أي أن جميع العوامل لها بُعد غير صفري) ليس فضاء DF. ^{[ 10 ]}
• لا يُعد الفضاء المتجهي المغلق في فضاء DF بالضرورة فضاء DF. ^{[ 10 ]}
• توجد فضاءات DF كاملة ليست متماثلة TVS مع الفضاء الثنائي القوي لفضاء TVS محدب محليًا وقابل للقياس. ^{[ 10 ]}

توجد فضاءات DF كاملة غير متماثلة مع الفضاء الثنائي القوي لفضاء محدب محلي قابل للقياس. ^{[ 10 ]} توجد فضاءات DF ذات فضاءات متجهة مغلقة ليست فضاءات DF. ^{[ 11 ]}

• الفضاء البرميلي – نوع من أنواع الفضاء المتجهي الطوبولوجي. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• مساحة قابلة للعد شبه برميلية
• فضاء-F – فضاء متجهي طوبولوجي ذو مقياس كامل غير متغير تحت الإزاحة 
• مساحة LB
• فضاء LF – فضاء متجهي طوبولوجي 
• الفضاء النووي – تعميم للفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد المحدودة، ويختلف عن فضاءات هيلبرت. 
• حاصل ضرب الموتر الإسقاطي

• غروتينديك، ألكسندر (1954). "حول الفضاءات (F) و(DF)". سوما برازيل. ماث. (بالفرنسية). 3 : 57-123 . MR 0075542 . 
• غروتينديك، ألكسندر (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [ الضربات الموترية الطوبولوجية والفضاءات النووية ] . سلسلة مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية (بالفرنسية). 16. بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية. MR 0075539. OCLC 9308061 .  
• خليل الله، إس إم (1982). أمثلة مضادة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة محاضرات في الرياضيات . المجلد  936. برلين، هايدلبرغ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 . 
• بيتش، ألبريشت (1979). الفضاءات النووية المحدبة محليا . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. المجلد.  66 (  الطبعة الثانية). برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC 539541 . 
• بيتش، ألبريشت (1972). الفضاءات النووية المحدبة محليا . برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• وونغ، ياو-تشوين (1979). فضاءات شوارتز، والفضاءات النووية، وحاصل الضرب الموتري . سلسلة محاضرات في الرياضيات . المجلد  726. برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158 . 

• مساحة DF في مختبر ncatlab