التساوي القياسي

في الرياضيات، يُعرف التحويل المتطابق (أو التطابق ، أو التحويل المتطابق ) بأنه تحويل يحافظ على المسافة بين فضاءات مترية ، ويُفترض عادةً أنه تقابلي . ^{[ أ ]} كلمة "التحويل المتطابق" مشتقة من اليونانية القديمة : ἴσος ( isos) وتعني "متساوٍ"، وμέτρον (metron) وتعني " قياس ". إذا كان التحويل من فضاء متري إلى نفسه، فهو نوع من التحويلات الهندسية يُعرف بالحركة .

بالنظر إلى فضاء متري (بشكل عام، مجموعة ونظام لتحديد المسافات بين عناصر المجموعة)، فإن التحويل المتساوي القياس هو تحويل ينقل العناصر إلى نفس الفضاء المتري أو إلى فضاء متري آخر بحيث تكون المسافة بين عناصر الصورة في الفضاء المتري الجديد مساوية للمسافة بين العناصر في الفضاء المتري الأصلي. في الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد أو ثلاثي الأبعاد ، يكون شكلان هندسيان متطابقين إذا كانا مرتبطين بتحويل متساوي القياس؛ ^{[ ب ]} يكون التحويل المتساوي القياس الذي يربط بينهما إما حركة صلبة (انتقال أو دوران)، أو تركيبًا لحركة صلبة وانعكاس .

تُستخدم التماثلات غالبًا في الإنشاءات التي يكون فيها فضاء ما مُضمنًا في فضاء آخر. على سبيل المثال، إكمال الفضاء المتري${\displaystyle M}$يتضمن ذلك قياسًا متساويًا من${\displaystyle M}$داخل${\displaystyle M',}$مجموعة خارج القسمة لفضاء متتابعات كوشي على${\displaystyle M.}$ المساحة الأصلية${\displaystyle M}$وبالتالي، فإن الفضاء المتري متماثل قياسياً مع فضاء جزئي من فضاء متري كامل ، وعادةً ما يُعرَّف بهذا الفضاء الجزئي. وتُظهر بنى تضمين أخرى أن كل فضاء متري متماثل قياسياً مع مجموعة جزئية مغلقة من فضاء متجهي معياري، وأن كل فضاء متري كامل متماثل قياسياً مع مجموعة جزئية مغلقة من فضاء باناخ .

يُطلق على المؤثر الخطي المتساوي القياس والشامل على فضاء هيلبرت اسم المؤثر الوحدوي .

يترك ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$أن تكون فضاءات مترية ذات مقاييس (مثل المسافات) ${\textstyle d_{X}}$و${\textstyle d_{Y}.}$خريطة​${\textstyle f\colon X\to Y}$تُسمى الخريطة متساوية القياس أو خريطة تحافظ على المسافة إذا كان لأي${\displaystyle a,b\in X}$،

${\displaystyle d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).}$^{[ 4 ] [ ج ]}

يكون التناظر المتساوي تلقائيًا أحاديًا ؛ ^{[ أ ]} وإلا فإنه يمكن إسقاط نقطتين مختلفتين، أ و ب ، على نفس النقطة، مما يناقض بديهية التطابق للمقياس د ، أي${\displaystyle d(a,b)=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle a=b}$هذا البرهان مشابه للبرهان على أن تمثيل الترتيب بين المجموعات المرتبة جزئيًا هو تمثيل أحادي. من الواضح أن كل تماثل بين الفضاءات المترية هو تمثيل طوبولوجي .

التناظر المتساوي القياس ، أو التماثل المتساوي القياس ، أو تطبيق التطابق، هو تناظر تقابلي . وكأي تناظر تقابلي آخر، فإن للتناظر المتساوي القياس دالة معكوسة . ومعكوس التناظر المتساوي القياس هو أيضاً تناظر متساوي القياس.

يُطلق على فضاءين متريين X و Y اسم "متساويي القياس" إذا وُجد تقابل متساوي القياس من X إلى Y. وتُشكّل مجموعة التقابلات متساوية القياس من فضاء متري إلى نفسه زمرةً بالنسبة لتركيب الدوال ، وتُسمى زمرة متساوية القياس .

وهناك أيضاً المفهوم الأضعف لتساوي القياس في المسار أو تساوي القياس في اتجاه القوس :

التحويل المتساوي المساري أو التحويل المتساوي القوسي هو تحويل يحافظ على أطوال المنحنيات ؛ ولا يُعد هذا التحويل بالضرورة تحويلاً متساوي القياس بمعنى الحفاظ على المسافة، كما أنه ليس بالضرورة تقابلياً أو حتى أحادياً. ^{[ 5 ] [ 6 ]} غالباً ما يُختصر هذا المصطلح إلى "التحويل المتساوي القياس " فقط ، لذا ينبغي توخي الحذر لتحديد النوع المقصود من السياق.

أمثلة

• أي انعكاس أو إزاحة أو دوران هو تحويل متساوي القياس شامل على الفضاءات الإقليدية . انظر أيضًا المجموعة الإقليدية والفضاء الإقليدي §  التحويلات متساوية القياس .
• الخريطة${\displaystyle x\mapsto |x|}$في${\displaystyle \mathbb {R} }$هو تحويل مسار متساوي القياس، ولكنه ليس تحويلاً متساوي القياس (عاماً). لاحظ أنه على عكس التحويل المتساوي القياس، فإن تحويل المسار المتساوي القياس هذا لا يشترط أن يكون أحاديًا.

النظرية التالية تعود إلى مازور وأولام.

التعريف : ^{[ 7 ]} نقطة المنتصف لعنصرين x و y في فضاء متجهي هي المتجه 1/2 ( x + y ) .

التناظر المتساوي لمتشعب هو أي تحويل (أملس) لهذا المتشعب إلى نفسه، أو إلى متشعب آخر يحافظ على مفهوم المسافة بين النقاط. يتطلب تعريف التناظر المتساوي وجود مفهوم المقياس على المتشعب؛ فالمتشعب ذو المقياس (الموجب المحدد) هو متشعب ريماني ، أما المتشعب ذو المقياس غير المحدد فهو متشعب شبه ريماني . لذا، تُدرس التناظرات المتساوية في الهندسة الريمانية .

التناظر الموضعي من مشعب ريماني ( أو شبه ريماني ) إلى آخر هو دالة تعيد موتر القياس على المشعب الثاني إلى موتر القياس على المشعب الأول. عندما تكون هذه الدالة أيضًا تماثلًا تفاضليًا ، تُسمى تناظرًا (أو تماثلًا متساوي القياس )، وتُقدم مفهومًا للتماثل ("التطابق") في فئة Rm للمشعبات الريمانية.

• بفرض عدد حقيقي موجب ε، فإن التماثل ε أو التماثل شبه الكامل (يسمى أيضًا تقريب هاوسدورف ) هو دالة${\displaystyle f\colon X\to Y}$بين الفضاءات المترية بحيث
  1. ل${\displaystyle x,x'\in X}$يمتلك المرء${\displaystyle |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon ,}$و
  2. لأي نقطة${\displaystyle y\in Y}$توجد نقطة${\displaystyle x\in X}$مع${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon }$

أي أن التماثل الهندسي ε يحافظ على المسافات ضمن نطاق ε ، ولا يترك أي عنصر من المجال المقابل أبعد من ε عن صورة عنصر من المجال. تجدر الإشارة إلى أن التماثل الهندسي ε لا يُفترض أن يكون متصلاً .

• تتميز خاصية التساوي المقيد للمصفوفات شبه المتساوية القياس للمتجهات المتفرقة.
• يُعدّ التماثل شبه المتساوي تعميمًا مفيدًا آخر.
• يمكن أيضاً تعريف عنصر في جبر C* الموحد المجرد بأنه تماثل قياس:

  ${\displaystyle a\in {\mathfrak {A}}}$تكون عملية التماثل متساوية القياس إذا وفقط إذا${\displaystyle a^{*}\cdot a=1.}$

لاحظ أنه كما ذكر في المقدمة، فإن هذا ليس بالضرورة عنصرًا وحدويًا لأنه ليس من الضروري بشكل عام أن يكون المعكوس الأيسر هو المعكوس الأيمن.

• في الفضاء شبه الإقليدي ، يُقصد بمصطلح التماثل التقابل الخطي الذي يحافظ على المقدار. انظر أيضًا: الفضاءات التربيعية .