فضاء متجه معياري

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( ديسمبر 2019 ) ( تعرف على كيفية ومتى تحذف هذه الرسالة )

في الرياضيات ، الفضاء المتجهي المعياري أو الفضاء المعياري هو فضاء متجهي على الأعداد الحقيقية أو المركبة التي يتم على أساسها تعريف معيار . ^[1] المعيار هو تعميم للمفهوم البديهي "للطول" في العالم المادي. إذا كان فضاء متجه على ، حيث يكون الحقل مساويًا لـ أو إلى ، فإن المعيار على هو خريطة ، يشار إليها عادةً بـ ، تلبي البديهيات الأربعة التالية: ${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$

1. غير سلبية: لكل ، .${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle \;\lVert x\rVert \geq 0}$
2. التحديد الإيجابي: لكل ، إذا وفقط إذا كان المتجه صفرًا.${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle \;\lالرأس x\rالرأس =0}$${\displaystyle x}$
3. التجانس المطلق: لكل و ،${\displaystyle \lambda \in K}$${\displaystyle x\in V}$$${\displaystyle \lرأس \lambda x\rرأس =|\lambda |\,\lرأس x\rرأس }$$
4. متباينة المثلث : لكل و ،${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle y\in V}$$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

إذا كانت فضاء متجه حقيقي أو مركب كما هو موضح أعلاه، وكانت قاعدة على ، فإن الزوج المرتب يسمى فضاء متجه معياري. إذا كان من الواضح من السياق أي قاعدة مقصودة، فمن الشائع الإشارة إلى فضاء المتجه المعياري ببساطة بواسطة . ${\displaystyle V}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$${\displaystyle V}$${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$${\displaystyle V}$

يحث المعيار مسافة ، تسمى متريه المستحثة (المعيارية) ، من خلال الصيغة التي تجعل أي فضاء متجه معياري في فضاء متري وفضاء متجه طوبولوجي . إذا كان هذا الفضاء المتري مكتملًا ، فإن الفضاء المعياري هو فضاء باناخ . يمكن "تمديد" كل فضاء متجه معياري بشكل فريد إلى فضاء باناخ، مما يجعل المساحات المعيارية مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمساحات باناخ. كل فضاء باناخ هو فضاء معياري ولكن العكس ليس صحيحًا. على سبيل المثال، يمكن معايرة مجموعة المتتاليات المحدودة للأعداد الحقيقية باستخدام المعيار الإقليدي ، لكنها ليست مكتملة بالنسبة لهذا المعيار. $${\displaystyle d(x,y)=\|yx\|.}$$

فضاء الضرب الداخلي هو فضاء متجه معياري يكون معياره هو الجذر التربيعي للضرب الداخلي للمتجه ونفسه. المعيار الإقليدي لفضاء متجه إقليدي هو حالة خاصة تسمح بتحديد المسافة الإقليدية بالصيغة $${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$$

تشكل دراسة المساحات المعيارية ومساحات باناخ جزءًا أساسيًا من التحليل الوظيفي ، وهو أحد المجالات الفرعية الرئيسية في الرياضيات.

الفضاء المتجهي المعياري هو فضاء متجهي مزود بمعيار .فضاء المتجه شبه المعياري هو فضاء متجه مجهز بشبهمعياري.

إن أحد الاختلافات المفيدة في متباينة المثلث هو لأي متجهات و$${\displaystyle \|xy\|\geq |\|x\|-\|y\||}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

يوضح هذا أيضًا أن معيار المتجه هو دالة مستمرة (بشكل منتظم) .

تعتمد الخاصية 3 على اختيار معيار في مجال القيم القياسية. عندما يكون المجال القياسي هو (أو بشكل عام مجموعة فرعية من )، فإن هذا عادة ما يُؤخذ على أنه القيمة المطلقة العادية ، ولكن هناك خيارات أخرى ممكنة. على سبيل المثال، بالنسبة لمساحة متجهة على واحد يمكن أن يُؤخذ على أنه القيمة المطلقة -adic . ${\displaystyle \alpha |}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {س} }$${\displaystyle \alpha |}$${\displaystyle p}$

إذا كانت فضاء متجه معياري، فإن المعيار يحفز مقياسًا (مفهوم المسافة ) وبالتالي طوبولوجيا على هذا المقياس يتم تعريفه بالطريقة الطبيعية: المسافة بين متجهين و تعطى بواسطة هذه الطوبولوجيا هي على وجه التحديد أضعف طوبولوجيا مما يجعلها مستمرة ومتوافقة مع البنية الخطية لـ بالمعنى التالي: ${\displaystyle (V,\|\,\cdot \,\|)}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$${\displaystyle V}$

1. إن عملية جمع المتجهات مستمرة بشكل مشترك فيما يتعلق بهذه الطوبولوجيا. وهذا يتبع مباشرة من متباينة المثلث .${\displaystyle \,+\,:V\times V\to V}$
2. الضرب القياسي حيث هو الحقل القياسي الأساسي لـ متصل بشكل مشترك. وهذا يتبع من عدم مساواة المثلث وتجانس القاعدة.${\displaystyle \,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,}$${\displaystyle \mathbb {ك} }$${\displaystyle V,}$

وبالمثل، بالنسبة لأي فضاء متجه شبه معياري، يمكننا تعريف المسافة بين متجهين وكما يحول هذا الفضاء شبه المعياري إلى فضاء شبه قياسي (لاحظ أن هذا أضعف من المتري) ويسمح بتعريف مفاهيم مثل الاستمرارية والتقارب . وبعبارة أكثر تجريدًا، فإن كل فضاء متجه شبه معياري هو فضاء متجه طوبولوجي وبالتالي يحمل بنية طوبولوجي يتم تحريضها بواسطة شبه المعياري. ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$

من الأمور ذات الأهمية الخاصة المساحات المعيارية الكاملة ، والتي تُعرف بمساحات باناخ . كل مساحة متجه معيارية توجد كمساحة فرعية كثيفة داخل بعض مساحات باناخ؛ هذه المساحة من باناخ محددة بشكل فريد من خلال وتُسمى اكتمال${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V.}$

تُسمى معياران على نفس فضاء المتجه متكافئين إذا كانا يحددان نفس الطوبولوجيا . في فضاء المتجه ذي الأبعاد المحدودة، تكون جميع المعايير متكافئة، لكن هذا ليس صحيحًا بالنسبة لمساحات المتجه ذات الأبعاد غير المحدودة.

جميع المعايير على فضاء متجه ذي أبعاد محدودة متكافئة من وجهة نظر طوبولوجية لأنها تحفز نفس الطوبولوجيا (على الرغم من أن المساحات المترية الناتجة لا يلزم أن تكون هي نفسها). ^[2] ونظرًا لأن أي فضاء إقليدي كامل، فيمكننا بالتالي أن نستنتج أن جميع فضاءات المتجهات المعيارية ذات الأبعاد المحدودة هي فضاءات باناخ. تكون فضاءات المتجهات المعيارية مضغوطة محليًا إذا وفقط إذا كانت الكرة الوحدوية مضغوطة ، وهي الحالة إذا وفقط إذا كانت ذات أبعاد محدودة؛ هذه نتيجة لمعضلة ريز . (في الواقع، هناك نتيجة أكثر عمومية صحيحة: تكون فضاءات المتجهات الطوبولوجية مضغوطة محليًا إذا وفقط إذا كانت ذات أبعاد محدودة. النقطة هنا هي أننا لا نفترض أن الطوبولوجيا تأتي من معيار.) ${\displaystyle V}$${\displaystyle B=\{x:\|x\|\leq 1\}}$${\displaystyle V}$

تتمتع طوبولوجيا فضاء المتجه شبه المعياري بالعديد من الخصائص الجيدة. وبالنظر إلى نظام الجوار حول 0، يمكننا إنشاء جميع أنظمة الجوار الأخرى كما هو الحال مع ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$$$${\displaystyle x+N:=\{x+n:n\in N\}.}$$

علاوة على ذلك، هناك أساس جوار للأصل يتكون من مجموعات ماصة ومحدبة . ونظرًا لأن هذه الخاصية مفيدة جدًا في التحليل الوظيفي ، فإن التعميمات الخاصة بمساحات المتجهات المعيارية التي تتمتع بهذه الخاصية تتم دراستها تحت مسمى المساحات المحدبة محليًا .

تكون القاعدة (أو شبه القاعدة ) في فضاء متجه طوبولوجي متصلة إذا وفقط إذا كانت الطوبولوجيا التي تحث على أكثر خشونة من (بمعنى، )، والذي يحدث إذا وفقط إذا كانت هناك كرة مفتوحة في (مثل ربما على سبيل المثال) مفتوحة في (يقال مختلفة، مثل أن ). ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau }$${\displaystyle B}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle \{x\in X:\|x\|<1\}}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle B\in\tau }$

تُسمى مساحة المتجه الطوبولوجي قابلة للقياس إذا كان هناك معيار على بحيث يحث المقياس القياسي الطوبولوجيا على . ترجع النظرية التالية إلى كولموغوروف : ^[3]${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x,y)\mapsto \|yx\|}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X.}$

معيار قابلية المعيارية لكولموغوروف : تكون مساحة متجه طوبولوجي هاوسدورف قابلة للقياس إذا وفقط إذا كان هناكجوار محدب ومحدود وفقًا لفون نيومان${\displaystyle 0\in X.}$

إن حاصل ضرب عائلة من الفضاءات القابلة للقياس يكون قابلاً للقياس إذا وفقط إذا كان عدد محدود فقط من الفضاءات غير تافه (أي، ). ^[3] وعلاوة على ذلك، فإن حاصل قسمة الفضاء القابل للقياس على فضاء متجه مغلق يكون قابلاً للقياس، وإذا تم إعطاء طوبولوجيا s بالإضافة إلى ذلك بواسطة معيار ، فإن الخريطة المعطاة بواسطة هي معيار محدد جيدًا على يحث على طوبولوجيا الحاصل على ^[4]${\displaystyle \neq \{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|\,\cdot ,\|}$${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$${\displaystyle X/C}$${\displaystyle X/C.}$

إذا كانت فضاء متجه طوبولوجي محدب محليًا لـ Hausdorff ، فإن الآتي متكافئ: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$أمر طبيعي.
2. ${\displaystyle X}$يحتوي على حي محدود بالأصل.
3. الفضاء المزدوج القوي لـ قابل للقياس. ^[5]${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle X}$
4. المساحة المزدوجة القوية لـ قابلة للقياس . ^[5]${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle X}$

علاوة على ذلك، يكون ذو أبعاد محدودة إذا وفقط إذا كان قابلاً للقياس (هنا يشير إلى الموهوب بطوبولوجيا ضعيفة-* ). ${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$

يتم تعريف طوبولوجيا فضاء فريشيت كما هو محدد في المقالة حول فضاءات وظائف الاختبار والتوزيعات ، من خلال عائلة قابلة للعد من المعايير ولكنها ليست فضاءً يمكن تحديد معاييره لأنه لا يوجد أي معيار على النحو الذي يجعل الطوبولوجيا التي يحث عليها هذا المعيار مساوية لـ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle C^{\infty }(K)}$${\displaystyle \tau .}$

حتى لو كان لمساحة متجه طوبولوجي متري طوبولوجيا محددة بعائلة من المعايير، فقد تفشل مع ذلك في أن تكون مساحة قابلة للقياس (بمعنى أنه لا يمكن تعريف طوبولوجيتها بأي معيار واحد ). مثال على هذه المساحة هو مساحة فريشيت التي يمكن العثور على تعريفها في المقالة حول مساحات وظائف الاختبار والتوزيعات ، لأن طوبولوجيتها محددة بعائلة قابلة للعد من المعايير ولكنها ليست مساحة قابلة للقياس لأنه لا يوجد أي معيار على بحيث تكون الطوبولوجيا التي يحث عليها هذا المعيار مساوية لـ في الواقع، يمكن أن تكون طوبولوجيا الفضاء المحدب محليًا محددة بعائلة من المعايير على إذا وفقط إذا كان هناك معيار مستمر واحد على الأقل على ^[6]${\displaystyle C^{\infty }(K),}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle C^{\infty }(K)}$${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

الخرائط الأكثر أهمية بين فضائيين متجهين معياريين هي الخرائط الخطية المستمرة . جنبًا إلى جنب مع هذه الخرائط، تشكل فضائيات المتجهات المعيارية فئة .

القاعدة عبارة عن دالة مستمرة في فضاء متجهها. كما أن جميع الخرائط الخطية بين فضاءات متجهات ذات أبعاد محدودة متصلة أيضًا.

التماثل بين فضاءين متجهين معياريين هو خريطة خطية تحافظ على المعيار (معنى لجميع المتجهات ). التماثلات تكون مستمرة ومحقنة دائمًا . التماثل المتداخل بين فضاءين متجهين معياريين و يسمى تماثلًا متساويًا ، و و تسمى متماثلًا متساويًا . فضاءات المتجهات المعيارية المتماثلة متساوي القياس متطابقة لجميع الأغراض العملية. ${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

عند الحديث عن فضاءات المتجهات المعيارية، فإننا نوسع مفهوم الفضاء المزدوج لنأخذ المعيار في الاعتبار. إن ثنائي فضاء المتجه المعياري هو فضاء جميع الخرائط الخطية المستمرة من إلى الحقل الأساسي (المركبة أو الأعداد الحقيقية) - تسمى هذه الخرائط الخطية "الدوال". يتم تعريف معيار الدالة على أنه الحد الأعلى لـ حيث يتراوح على جميع متجهات الوحدة (أي متجهات المعيار ) في يتحول هذا إلى فضاء متجه معياري. نظرية مهمة حول الدوال الخطية المستمرة في فضاءات المتجهات المعيارية هي نظرية هان باناخ . ${\displaystyle V^{\prime }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle V^{\prime }}$

يتضمن تعريف العديد من المساحات المعيارية (على وجه الخصوص، مساحات باناخ ) شبه معيار محدد على فضاء متجه ثم يتم تعريف الفضاء المعياري على أنه فضاء حاصل القسمة بواسطة الفضاء الفرعي لعناصر شبه المعيار الصفري. على سبيل المثال، مع المساحات ، تكون الدالة المحددة بواسطة شبه معيار على الفضاء المتجهي لجميع الدوال التي يكون فيها تكامل ليبيج على الجانب الأيمن محددًا ومحدودًا. ومع ذلك، فإن شبه المعيار يساوي الصفر لأي دالة مدعومة على مجموعة من مقياس ليبيج صفر. تشكل هذه الدوال فضاءً فرعيًا "نخرج منه"، مما يجعلها معادلة للدالة الصفرية. ${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$$

تُعطى المساحات شبه المعيارية ذات شبه المعايير للدلالة على مساحة المنتج حيث يتم تعريف جمع المتجهات على أنه وضرب قياسي على أنه ${\displaystyle n}$${\displaystyle \left(X_{i},q_{i}\right)}$${\displaystyle q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}}$$$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)}$$$${\displaystyle \alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).}$$

قم بتعريف دالة جديدة تكون بها شبه معيار على الدالة تكون معيارًا إذا وفقط إذا كانت جميع المعايير معايير. ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),}$$${\displaystyle X.}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q_{i}}$

بشكل عام، بالنسبة لكل عدد حقيقي يتم تحديده بواسطة الخريطة ، فهي عبارة عن شبه معيار. وبالنسبة لكل منها، فإنها تحدد نفس المساحة الطوبولوجية. ${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$$${\displaystyle p}$

تُظهِر حجة مباشرة تتضمن الجبر الخطي الأولي أن الفضاءات شبه المعيارية ذات الأبعاد المحدودة هي تلك التي تنشأ كحاصل ضرب فضاء معياري وفضاء ذي شبه معياري تافه. وبالتالي، فإن العديد من الأمثلة والتطبيقات الأكثر إثارة للاهتمام للفضاءات شبه المعيارية تحدث في فضاءات متجهية ذات أبعاد لا نهائية.

• فضاء باناخ ، فضاءات متجهية معيارية مكتملة بالنسبة للمقياس المحفز بواسطة المعيار
• باناخ – مازور كومباكتوم  – مفهوم في التحليل الوظيفي
• متعدد شعب فينسلر ، حيث يتم تحديد طول كل متجه مماس بواسطة معيار
• فضاء الضرب الداخلي ، فضاءات المتجهات المعيارية حيث يتم تحديد المعيار بواسطة الضرب الداخلي
• معيار كولموغوروف للقياس المعياري  – توصيف المساحات المعيارية
• فضاء متجه طوبولوجي محدب محليًا – فضاء متجه ذو طوبولوجيا محددة بمجموعات مفتوحة محدبة
• الفضاء (الرياضيات) – مجموعة رياضية مع بعض البنية المضافة
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي  – الفضاء المتجهي مع فكرة القرب

• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي. السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 8 (الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . رقم ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• باناخ ، ستيفان (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ نظرية العمليات الخطية ] (PDF) . Monografie Matematyczne (بالفرنسية). المجلد. 1. وارسو: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. زبل  0005.20901. مؤرشفة من الأصلي (PDF) بتاريخ 2014-01-11 . تم الاسترجاع 2020-07-11 .
• Rolewicz, Stefan (1987)، التحليل الوظيفي ونظرية التحكم: الأنظمة الخطية ، الرياضيات وتطبيقاتها (سلسلة شرق أوروبا)، المجلد 29 (ترجم من البولندية بواسطة Ewa Bednarczuk ed.)، دوردرخت؛ وارسو: D. Reidel Publishing Co.؛ PWN—الناشرون العلميون البولنديون، ص. xvi+524، doi :10.1007/978-94-015-7758-8، ISBN 90-277-2186-6، السيد  0920371، OCLC  13064804
• شايفر، إتش إتش (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك، دار النشر سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

• الوسائط المتعلقة بالمساحات المعيارية في ويكيميديا ​​كومنز