مجموعة محدودة (فضاء متجهي طوبولوجي)

في التحليل الوظيفي والمجالات الرياضية ذات الصلة ، تُسمى المجموعة في فضاء متجهي طوبولوجي محدودة أو محدودة فون نيومان ، إذا أمكن توسيع كل جوار للمتجه الصفري ليشمل المجموعة. أما المجموعة غير المحدودة فتُسمى غير محدودة .

تُعدّ المجموعات المحدودة طريقة طبيعية لتعريف الطوبولوجيات القطبية المحدبة محليًا على الفضاءات المتجهة في زوج ثنائي ، حيث أن المجموعة القطبية لمجموعة محدودة هي مجموعة محدبة وممتصة مطلقًا . وقد طُرح هذا المفهوم لأول مرة من قِبل جون فون نيومان وأندريه كولموغوروف عام 1935.

يفترض${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي طوبولوجي (TVS) فوق حقل طوبولوجي${\displaystyle \mathbb {K} .}$

مجموعة فرعية${\displaystyle B}$ل${\displaystyle X}$يُطلق عليها اسم حدود فون نيومان أو ببساطة محدودة في${\displaystyle X}$إذا تحققت أي من الشروط المكافئة التالية:

1. التعريف : لكل حي${\displaystyle V}$يوجد أصل حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle B\subseteq sV}$^{[ ملاحظة 1 ]} لجميع الكميات العددية${\displaystyle s}$مُرضٍ${\displaystyle |s|\geq r.}$^{[ 1 ]}
   • كان هذا هو التعريف الذي قدمه جون فون نيومان في عام 1935. ^{[ 1 ]}
2. ${\displaystyle B}$^{[ 2 ]} يتم استيعابها من قبل كل منطقة مجاورة للأصل.
3. لكل حي${\displaystyle V}$يوجد في الأصل كمية قياسية${\displaystyle s}$بحيث${\displaystyle B\subseteq sV.}$
4. لكل حي${\displaystyle V}$يوجد أصل حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle sB\subseteq V}$لجميع الكميات القياسية${\displaystyle s}$مُرضٍ${\displaystyle |s|\leq r.}$^{[ 1 ]}
5. لكل حي${\displaystyle V}$يوجد أصل حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle tB\subseteq V}$لكل حقيقي${\displaystyle 0<t\leq r.}$^{[ 3 ]}
6. أي من العبارات (1) إلى (5) أعلاه ولكن مع استبدال كلمة "neighborhood" بأي مما يلي: " balanced neighborhood" و "open balance neighborhood" و "closed balance neighborhood" و "open neighborhood" و "closed neighborhood".
   • على سبيل المثال، قد تصبح العبارة (2) كالتالي:${\displaystyle B}$تكون محدودة إذا وفقط إذا${\displaystyle B}$يتم استيعابها بواسطة كل جوار متوازن للأصل. ^{[ 1 ]}
   • لو${\displaystyle X}$إذا كانت محدبة محليًا، فيمكن أيضًا إضافة الصفة "محدبة" إلى أي من هذه البدائل الخمسة.
7. لكل سلسلة من الكميات العددية${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$ذلك يتقارب إلى${\displaystyle 0}$وكل تسلسل${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$في${\displaystyle B,}$التسلسل${\displaystyle s_{1}b_{1},s_{2}b_{2},s_{3}b_{3},\ldots }$يتقارب إلى${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}
   • كان هذا هو تعريف "المحدود" الذي استخدمه أندريه كولموغوروف عام 1934، وهو نفس التعريف الذي قدمه ستانيسواف مازور وفلاديسلاف أورليتش عام 1933 لأنظمة TVS القابلة للقياس. استخدم كولموغوروف هذا التعريف لإثبات أن نظام TVS شبه معياري إذا وفقط إذا كان له جوار محدب محدود حول نقطة الأصل. ^{[ 1 ]}
8. لكل تسلسل${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$في${\displaystyle B,}$التسلسل${\textstyle \left({\tfrac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$يتقارب إلى${\displaystyle 0}$في${\displaystyle X.}$^{[ 4 ]}
9. كل مجموعة فرعية قابلة للعد من${\displaystyle B}$محدود (وفقًا لأي شرط تعريف آخر غير هذا الشرط). ^{[ 1 ]}

لو${\displaystyle {\mathcal {B}}}$يُعد أساسًا محليًا لـ${\displaystyle X}$عند نقطة الأصل، يمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

10. أي من العبارات من (1) إلى (5) أعلاه، ولكن مع اقتصار الأحياء على تلك التي تنتمي إلى${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
    • على سبيل المثال، قد تصبح العبارة (3) كما يلي: لكل${\displaystyle V\in {\mathcal {B}}}$يوجد عدد قياسي${\displaystyle s}$بحيث${\displaystyle B\subseteq sV.}$

لو${\displaystyle X}$هو فضاء محدب محليًا تُحدد طوبولوجيته بواسطة عائلة${\displaystyle {\mathcal {P}}}$إذا كانت لدينا أنصاف معايير متصلة ، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل ما يلي:

11. ${\displaystyle p(B)}$محدود للجميع${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$^{[ 1 ]}
12. توجد سلسلة من القيم العددية غير الصفرية${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$بحيث يكون لكل متتالية${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$في${\displaystyle B,}$التسلسل${\displaystyle b_{1}s_{1},b_{2}s_{2},b_{3}s_{3},\ldots }$محصور في${\displaystyle X}$(وفقًا لأي شرط تعريفي آخر غير هذا الشرط). ^{[ 1 ]}
13. للجميع${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$${\displaystyle B}$تكون محدودة (وفقًا لأي شرط تعريف آخر غير هذا الشرط) في الفضاء شبه المعياري${\displaystyle (X,p).}$
14. B محدودة بشكل ضعيف، أي أن كل دالة خطية مستمرة محدودة على B ^{[ 5 ]}

لو${\displaystyle X}$هو فضاء معياري ذو معيار${\displaystyle \|\cdot \|}$(أو بشكل أعم، إذا كانت مساحة شبه معيارية و${\displaystyle \|\cdot \|}$إذا كان مجرد شبه معيار )، ^{[ ملاحظة 2 ]} ، فيمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

14. ${\displaystyle B}$هي مجموعة جزئية محدودة المعيار من${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$هذا يعني، بحسب التعريف، وجود عدد حقيقي${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle \|b\|\leq r}$للجميع${\displaystyle b\in B.}$^{[ 1 ]}
15. ${\displaystyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}$
    • وبالتالي، إذا${\displaystyle L:(X,\|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)}$هي دالة خطية بين فضاءين معياريين (أو شبه معياريين)، وإذا${\displaystyle B}$هي كرة الوحدة المغلقة (أو المفتوحة) في${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$متمركزة عند نقطة الأصل، ثم${\displaystyle L}$هو مؤثر خطي محدود (وهذا يعني، كما هو معروف، أن معيار المؤثر الخاص به${\displaystyle \|L\|:=\sup _{b\in B}\|L(b)\|<\infty }$تكون الصورة محدودة إذا وفقط إذا كانت الصورة${\displaystyle L(B)}$من هذه الكرة تحت${\displaystyle L}$هي مجموعة جزئية محدودة المعيار من${\displaystyle (Y,\|\cdot \|).}$
16. ${\displaystyle B}$هي مجموعة جزئية من كرة ما (مفتوحة أو مغلقة). ^{[ ملاحظة 3 ]}
    • لا يشترط أن تكون هذه الكرة متمركزة عند نقطة الأصل، ولكن يجب أن يكون نصف قطرها (كالعادة) موجبًا ومحدودًا.

لو${\displaystyle B}$هو فضاء متجهي فرعي من فضاء المتجهات${\displaystyle X}$ثم يمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

17. ${\displaystyle B}$يتضمن إغلاق${\displaystyle \{0\}.}$^{[ 1 ]}
    • بمعنى آخر، فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X}$تكون محدودة إذا وفقط إذا كانت مجموعة جزئية من (الفضاء المتجهي)${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$
    • تذكر أن${\displaystyle X}$تكون فضاء هاوسدورف إذا وفقط إذا${\displaystyle \{0\}}$مغلق في${\displaystyle X.}$إذن، الفضاء المتجهي المحدود الوحيد في فضاء هاوسدورف المتجهي هو${\displaystyle \{0\}.}$

تُسمى المجموعة الجزئية غير المحدودة مجموعة غير محدودة .

ما لم يُذكر خلاف ذلك، فإن الفضاء المتجهي الطوبولوجي (TVS) ليس بالضرورة أن يكون هاوسدورف أو محدبًا محليًا .

• المجموعات المنتهية محدودة. ^{[ 1 ]}
• كل مجموعة جزئية محدودة تمامًا من مجموعة TVS تكون محدودة. ^{[ 1 ]}
• كل مجموعة متراصة نسبياً في فضاء متجهي طوبولوجي تكون محدودة. وإذا كان الفضاء مزوداً بالطوبولوجيا الضعيفة، فإن العكس صحيح أيضاً.
• مجموعة نقاط متتالية كوشي محدودة، بينما مجموعة نقاط شبكة كوشي ليست بالضرورة محدودة.
• إغلاق نقطة الأصل (في إشارة إلى إغلاق المجموعة)${\displaystyle \{0\}}$) هي دائمًا فضاء متجهي مغلق ومحدود. هذه المجموعة${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$هو الأكبر الفريد (فيما يتعلق بتضمين المجموعة)${\displaystyle \,\subseteq \,}$) فضاء متجهي محدود من${\displaystyle X.}$على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle B\subseteq X}$هي مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle X}$إذن كذلك${\displaystyle B+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

المجموعات غير المحدودة

يقال إن المجموعة غير المحدودة هي مجموعة غير محدودة .

أي فضاء متجهي جزئي من فضاء متجهي لا يقع ضمن إغلاق${\displaystyle \{0\}}$غير محدود

توجد مساحة فريشيه${\displaystyle X}$وجود مجموعة جزئية محدودة${\displaystyle B}$وكذلك فضاء متجهي كثيف${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle B}$لا يتضمن الإغلاق (في${\displaystyle X}$) لأي مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle M.}$^{[ 6 ]}

تتمتع الفضاءات المتجهة الطوبولوجية المحدبة محليًا بجوار محدود للصفر إذا وفقط إذا كان من الممكن تعريف طوبولوجيتها بواسطة شبه معيار واحد .

القطبية لمجموعة محدودة هي مجموعة محدبة وممتصة بشكل مطلق .

باستخدام تعريف المجموعات المحدودة بشكل منتظم الوارد أدناه، يمكن إعادة صياغة شرط ماكي للعد على النحو التالي: إذا${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$إذا كانت و ...${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\ldots }$من الأعداد الحقيقية الموجبة بحيث${\displaystyle t_{1}B_{1},\,t_{2}B_{2},\,t_{3}B_{3},\ldots }$تكون محدودة بشكل منتظم . بعبارة أخرى، إذا أُعطيت أي عائلة قابلة للعد من المجموعات المحدودة في فضاء محدب محليًا وقابل للقياس، فمن الممكن تغيير مقياس كل مجموعة بمقدارها الحقيقي الموجب بحيث تصبح محدودة بشكل منتظم.

• الفضاء البورنولوجي – الفضاء الذي تكون فيه المؤثرات المحدودة متصلة 
• مجموعة بورنيفوروس - مجموعة يمكنها استيعاب أي مجموعة جزئية محدودة 
• الدالة المحدودة – دالة رياضية تكون مجموعة قيمها محدودة. 
• المؤثر المحدود – نوع من التحويل الخطي 
• نقطة التحديد – مفهوم رياضي يتعلق بالمجموعات الجزئية من الفضاءات المتجهة 
• الفضاء المضغوط – نوع من أنواع الفضاء الرياضي 
• معيار كولموغوروف للتطبيع – توصيف الفضاءات القابلة للتطبيع 
• رجل محلي محدود
• الفضاء المحدود تمامًا – تعميم التراص 

ملحوظات

• أداش، نوربرت؛ إرنست، برونو؛ كيم، ديتر (1978). الفضاءات المتجهة الطوبولوجية: النظرية بدون شروط التحدب . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  639. برلين - نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 . 
• بربريان، ستيرلينغ ك. (1974). محاضرات في التحليل الوظيفي ونظرية المؤثرات . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  15. نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 . 
• بورباكي، نيكولا (1987) [1981]. مساحات المتجهات الطوبولوجية: الفصول 1-5 . عناصر الرياضيات . تمت الترجمة بواسطة Eggleston، HG. مادان، س. برلين نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 . 
• كونواي، جون ب. (1990). دورة في التحليل الوظيفي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  96 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 . 
• إدواردز، روبرت إي. (1995). التحليل الوظيفي: النظرية والتطبيقات . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 . 
• غروتينديك، ألكسندر (1973). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . ترجمة أورلاندو شَلْجوب. نيويورك: دار نشر غوردون وبريتش للعلوم. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 . 
• جارشو، هانز (1981). الفضاءات المحدبة محليا . شتوتغارت: بي جي تيوبنر. رقم ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 . 
• كوته، جوتفريد (1983) [1969]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  159. ترجمة جارلينج، DJH New York: Springer Science & Business Media. رقم ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .  
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• روبرتسون، أ.ب.؛ و.ج. روبرتسون (1964). الفضاءات المتجهة الطوبولوجية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات. المجلد  53. مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 44-46 . 
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• روبرتسون، أليكس ب.؛ روبرتسون، ويندي ج. (1980). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات . المجلد  53. كامبريدج، إنجلترا: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 . 
• شيفر، هـ. هـ. (1970). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  3. سبرينغر-فيرلاغ . الصفحات 25-26 . ISBN  0-387-05380-8.
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .