نظرية التطبيق المفتوح (التحليل المركب)

في التحليل المركب ، تنص نظرية التطبيق المفتوح على أنه إذا${\displaystyle U}$هو مجال من المستوى المركب${\displaystyle \mathbb {C} }$و${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$إذا كانت دالة تحليلية غير ثابتة ،${\displaystyle f}$هي خريطة مفتوحة (أي أنها ترسل مجموعات فرعية مفتوحة من${\displaystyle U}$لفتح مجموعات فرعية من${\displaystyle \mathbb {C} }$ولدينا ثبات المجال .

تشير نظرية التطبيق المفتوح إلى الفرق الدقيق بين التماثل التام وقابلية التفاضل الحقيقي. فعلى سبيل المثال، على خط الأعداد الحقيقية ، تكون الدالة قابلة للتفاضل${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ليست خريطة مفتوحة، كما هو الحال في صورة الفترة المفتوحة${\displaystyle (-1,1)}$هي الفترة نصف المفتوحة${\displaystyle [0,1)}$.

تنص النظرية، على سبيل المثال، على أن الدالة التحليلية غير الثابتة لا يمكنها تحويل قرص مفتوح إلى جزء من أي خط مضمن في المستوى المركب. يمكن أن تكون صور الدوال التحليلية ذات بُعد حقيقي يساوي صفرًا (إذا كانت ثابتة) أو اثنين (إذا كانت غير ثابتة)، ولكنها لا تكون أبدًا ذات بُعد يساوي واحدًا.

يفترض${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$هي دالة تحليلية غير ثابتة و${\displaystyle U}$هي مجال في المستوى المركب. علينا أن نثبت أن كل نقطة في${\displaystyle f(U)}$هي نقطة داخلية من${\displaystyle f(U)}$أي أن كل نقطة في${\displaystyle f(U)}$يحتوي على نطاق مجاور (قرص مفتوح) وهو موجود أيضًا في${\displaystyle f(U)}$.

لنفترض شيئًا عشوائيًا${\displaystyle w_{0}}$في${\displaystyle f(U)}$إذن توجد نقطة${\displaystyle z_{0}}$في${\displaystyle U}$بحيث${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$. منذ${\displaystyle U}$مفتوح، يمكننا أن نجد${\displaystyle d>0}$بحيث يكون القرص مغلقًا${\displaystyle B}$حول${\displaystyle z_{0}}$بنصف قطر${\displaystyle d}$يحتوي بالكامل على${\displaystyle U}$ضع في اعتبارك الدالة${\displaystyle g(z)=f(z)-w_{0}}$. لاحظ أن${\displaystyle z_{0}}$هو جذر الدالة.

نحن نعلم ذلك${\displaystyle g(z)}$هي دالة غير ثابتة وذات شكل كامل. جذور${\displaystyle g}$يتم عزلها بواسطة نظرية الهوية ، لذلك عن طريق تقليل نصف قطر القرص بشكل أكبر${\displaystyle B}$يمكننا ضمان ذلك${\displaystyle z_{0}}$هو الجذر الوحيد لـ${\displaystyle g(z)}$في${\displaystyle B}$(على الرغم من أن هذا الجذر الواحد قد يكون له تعددية أكبر من 1).

حدود${\displaystyle B}$هي دائرة، وبالتالي مجموعة متراصة ، والتي عليها${\displaystyle |g(z)|}$بما أن الدالة موجبة ومستمرة ، فإن نظرية القيمة القصوى تضمن وجود قيمة دنيا موجبة.${\displaystyle e}$، إنه،${\displaystyle e}$هو الحد الأدنى من${\displaystyle |g(z)|}$ل${\displaystyle z}$على حدود${\displaystyle B}$و${\displaystyle e>0}$.

يرمز بـ${\displaystyle D}$القرص المفتوح حول${\displaystyle w_{0}}$بنصف قطر${\displaystyle e}$بحسب نظرية روشيه ، فإن الدالة${\displaystyle g(z)=f(z)-w_{0}}$سيكون لها نفس عدد الجذور (محسوبة مع مراعاة التعددية) في${\displaystyle B}$مثل${\displaystyle h(z):=f(z)-w_{1}}$لأي${\displaystyle w_{1}}$ في${\displaystyle D}$وذلك لأن ${\displaystyle h(z)=g(z)+(w_{0}-w_{1})}$و لـ${\displaystyle z}$على حدود${\displaystyle B}$،${\displaystyle |g(z)|\geq e>|w_{0}-w_{1}|}$وهكذا، لكل${\displaystyle w_{1}}$في${\displaystyle D}$يوجد واحد على الأقل${\displaystyle z_{1}}$في${\displaystyle B}$بحيث${\displaystyle f(z_{1})=w_{1}}$هذا يعني أن القرص${\displaystyle D}$موجود في${\displaystyle f(B)}$.

صورة الكرة${\displaystyle B}$،${\displaystyle f(B)}$هي مجموعة فرعية من صورة${\displaystyle U}$،${\displaystyle f(U)}$. هكذا${\displaystyle w_{0}}$هي نقطة داخلية من${\displaystyle f(U)}$. منذ${\displaystyle w_{0}}$كان الأمر تعسفيًا في${\displaystyle f(U)}$نحن نعلم ذلك${\displaystyle f(U)}$مفتوح. منذ${\displaystyle U}$كانت الدالة اعتباطية${\displaystyle f}$مفتوح.

• مبدأ أقصى معامل
• نظرية روشيه
• معادلة شوارتز

• نظرية التعيين المفتوح (التحليل الوظيفي)

• رودين، والتر (1966)، التحليل الحقيقي والمركب ، ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-054234-1