مجموعة غير كثيفة في أي مكان

في الرياضيات ، تُسمى مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي " غير كثيفة في أي مكان" ^{[ 1 ] [ 2 ]} أو "نادرة ^{" [ 3 ]} إذا كان إغلاقها يحتوي على باطن فارغ . وبمعنى أوسع، هي مجموعة لا تتجمع عناصرها بشكل محكم (كما هو محدد في طوبولوجيا الفضاء) في أي مكان. على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة غير كثيفة في أي مكان بين الأعداد الحقيقية ، بينما الفترة (0، 1) ليست غير كثيفة في أي مكان.

يُطلق على الاتحاد القابل للعد لمجموعات غير كثيفة في أي مكان اسم المجموعة الهزيلة . وتلعب المجموعات الهزيلة دورًا هامًا في صياغة نظرية باير للفئات ، والتي تُستخدم في إثبات العديد من النتائج الأساسية للتحليل الوظيفي .

لا يمكن وصف الكثافة بأي شكل من الأشكال بطرق مختلفة (وإن كانت متكافئة). أبسط تعريف لها هو تعريف الكثافة:

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$يقال إنها كثيفة في مجموعة أخرى${\displaystyle U}$إذا كان التقاطع${\displaystyle S\cap U}$هي مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle U.}$المجموعة${\displaystyle S}$لا يوجد في أي مكان كثيف أو نادر في${\displaystyle X}$لو${\displaystyle S}$ليست كثيفة في أي مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X.}$

بتوسيع نفي الكثافة، يكون ذلك مكافئًا لكل مجموعة مفتوحة غير فارغة${\displaystyle U}$تحتوي على مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة منفصلة عن${\displaystyle S.}$^{[ 4 ]} يكفي التحقق من أي من الشرطين علىقاعدةمن أجل الطوبولوجيا على${\displaystyle X.}$ وعلى وجه الخصوص، الكثافة غير موجودة في أي مكان${\displaystyle \mathbb {R} }$غالباً ما يوصف بأنه كثيف في فترة غير مفتوحة . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

إن مفهوم المجموعة غير الكثيفة في أي مكان هو مفهوم نسبي دائمًا إلى فضاء محيط معين. لنفترض${\displaystyle A\subseteq Y\subseteq X,}$أين${\displaystyle Y}$هل طوبولوجيا الفضاء الفرعي مستحثة من${\displaystyle X.}$ المجموعة${\displaystyle A}$قد لا تكون كثيفة في أي مكان${\displaystyle X,}$لكنها ليست كثيفة في أي مكان${\displaystyle Y.}$ ومن الجدير بالذكر أن المجموعة تكون دائمًا كثيفة في طوبولوجيا الفضاء الجزئي الخاص بها. لذا إذا${\displaystyle A}$إذا كانت المجموعة غير فارغة، فلن تكون كثيفة في أي مكان كمجموعة جزئية منها. ومع ذلك، فإن النتائج التالية صحيحة: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• لو${\displaystyle A}$لا يوجد أي مكان كثيف في${\displaystyle Y,}$ثم${\displaystyle A}$لا يوجد أي مكان كثيف في${\displaystyle X.}$
• لو${\displaystyle Y}$مفتوح في${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle A}$لا يوجد أي مكان كثيف في${\displaystyle Y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$لا يوجد أي مكان كثيف في${\displaystyle X.}$
• لو${\displaystyle Y}$كثيف في${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle A}$لا يوجد أي مكان كثيف في${\displaystyle Y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$لا يوجد أي مكان كثيف في${\displaystyle X.}$

تكون المجموعة غير كثيفة في أي مكان إذا وفقط إذا كان إغلاقها كثيفًا. ^{[ 1 ]}

كل مجموعة جزئية من مجموعة غير كثيفة في أي مكان هي مجموعة غير كثيفة في أي مكان، والاتحاد المحدود لمجموعات غير كثيفة في أي مكان هو مجموعة غير كثيفة في أي مكان. ^{[ 12 ] [ 13 ]} وبالتالي، تُشكّل المجموعات غير الكثيفة في أي مكان مثالًا للمجموعات ، وهو مفهوم مناسب للمجموعة المهملة . بشكل عام، لا تُشكّل هذه المجموعات مثالًا مثاليًا من نوع 𝜎 ، لأن المجموعات الهزيلة ، وهي الاتحادات القابلة للعد لمجموعات غير كثيفة في أي مكان، لا يلزم أن تكون غير كثيفة في أي مكان. على سبيل المثال، المجموعة${\displaystyle \mathbb {Q} }$ليس كثيفًا في أي مكان${\displaystyle \mathbb {R} .}$

حدود كل مجموعة مفتوحة وكل مجموعة مغلقة مغلقة وغير كثيفة في أي مكان. [ ^{14 ] [ 2 ] تكون} المجموعة المغلقة غير كثيفة في أي مكان إذا وفقط إذا كانت مساوية لحدودها، ^{[ 14 ]} إذا وفقط إذا كانت مساوية لحدود مجموعة مفتوحة ما ^{[ 2 ]} (على سبيل المثال، يمكن اعتبار المجموعة المفتوحة مكملة للمجموعة). مجموعة اختيارية${\displaystyle A\subseteq X}$لا تكون كثيفة في أي مكان إذا وفقط إذا كانت مجموعة جزئية من حدود مجموعة مفتوحة ما (على سبيل المثال، يمكن اعتبار المجموعة المفتوحة هي الجزء الخارجي من${\displaystyle A}$).

• المجموعة${\displaystyle S=\{1/n:n=1,2,...\}}$وإغلاقه${\displaystyle S\cup \{0\}}$ليست كثيفة في أي مكان${\displaystyle \mathbb {R} ,}$لأن الجزء الداخلي للمبنى فارغ.
• مجموعة كانتور هي مجموعة غير معدودة وغير كثيفة في أي مكان${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا نُظر إليه على أنه المحور الأفقي في المستوى الإقليدي، فإنه لا يكون كثيفًا في أي مكان${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$لا يوجد أي مكان كثيف في${\displaystyle \mathbb {R} }$لكن العقلانيين${\displaystyle \mathbb {Q} }$ليست كذلك (إنها كثيفة في كل مكان).
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \cup [(a,b)\cap \mathbb {Q} ]}$ليس كثيفًا في أي مكان${\displaystyle \mathbb {R} }$: يكون كثيفًا في الفترة المفتوحة${\displaystyle (a,b),}$وعلى وجه الخصوص، الجزء الداخلي من إغلاقه هو${\displaystyle (a,b).}$
• المجموعة الفارغة ليست كثيفة في أي مكان. في الفضاء المتقطع ، المجموعة الفارغة هي المجموعة الوحيدة غير الكثيفة في أي مكان. ^{[ 15 ]}
• في فضاء T ₁ ، أي مجموعة أحادية ليست نقطة معزولة لا تكون كثيفة في أي مكان.
• الفضاء المتجهي الفرعي للفضاء المتجهي الطوبولوجي إما أن يكون كثيفًا أو غير كثيف في أي مكان. ^{[ 16 ]}

لا تُعتبر المجموعة غير الكثيفة في أي مكان بالضرورة ضئيلة بكل معنى الكلمة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle X}$هي فترة الوحدة${\displaystyle [0,1],}$لا يقتصر الأمر على إمكانية وجود مجموعة كثيفة ذات قياس ليبيغ يساوي صفرًا (مثل مجموعة الأعداد النسبية)، بل من الممكن أيضًا وجود مجموعة غير كثيفة في أي مكان ذات قياس موجب. ومن الأمثلة على ذلك مجموعة سميث-فولتيرا-كانتور .

كمثال آخر (وهو شكل مختلف من مجموعة كانتور )، قم بإزالة من${\displaystyle [0,1]}$جميع الكسور الثنائية ، أي الكسور من الشكل${\displaystyle a/2^{n}}$بأبسط صورة للأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} ,}$والفترات المحيطة بها:${\displaystyle \left(a/2^{n}-1/2^{2n+1},a/2^{n}+1/2^{2n+1}\right).}$ لأن لكل${\displaystyle n}$هذا يزيل الفترات التي يصل مجموعها إلى حد أقصى${\displaystyle 1/2^{n+1},}$المجموعة غير الكثيفة المتبقية بعد إزالة جميع هذه الفترات لها قياس لا يقل عن${\displaystyle 1/2}$(في الواقع أكثر بقليل)${\displaystyle 0.535\ldots }$بسبب التداخلات ^{[ 17 ]} )، وبالتالي فهي تمثل، بمعنى ما، غالبية المساحة المحيطة.${\displaystyle [0,1].}$ هذه المجموعة ليست كثيفة في أي مكان، لأنها مغلقة ولها باطن فارغ: أي فاصل زمني${\displaystyle (a,b)}$لا تندرج ضمن المجموعة لأن الكسور الثنائية في${\displaystyle (a,b)}$تمت إزالتها.

بتعميم هذه الطريقة، يمكن للمرء أن ينشئ في الفترة [1] مجموعات غير كثيفة في أي مكان ذات قياس أقل من${\displaystyle 1,}$على الرغم من أن القياس لا يمكن أن يكون 1 بالضبط (لأنه بخلاف ذلك، ستكون متممة إغلاقها مجموعة مفتوحة غير فارغة ذات قياس صفري، وهو أمر مستحيل). ^{[ 18 ]}

كمثال آخر أبسط، إذا${\displaystyle U}$هي أي مجموعة فرعية مفتوحة كثيفة من${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا كان قياس ليبيغ محدودًا ،${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U}$هي بالضرورة مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle \mathbb {R} }$يمتلك مقياس ليبيغ لانهائيًا وهو أيضًا غير كثيف في أي مكان${\displaystyle \mathbb {R} }$(لأن بنيتها الطوبولوجية فارغة). مثل هذه المجموعة الفرعية المفتوحة الكثيفة${\displaystyle U}$يُستخدم عادةً مقياس ليبيغ المحدود عند إثبات أن مقياس ليبيغ للأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$يكون${\displaystyle 0.}$يمكن القيام بذلك عن طريق اختيار أي تقابل${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$(هذا يكفي بالفعل لـ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$أن تكون مجرد شمولية ) ولكل${\displaystyle r>0,}$تأجير $${\displaystyle U_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)~=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right)}$$ (هنا، رمز مجموع مينكوفسكي)${\displaystyle f(n)+\left(-r/2^{n},r/2^{n}\right):=\left(f(n)-r/2^{n},f(n)+r/2^{n}\right)}$استُخدمت لتبسيط وصف الفترات). المجموعة الفرعية المفتوحة${\displaystyle U_{r}}$كثيف في${\displaystyle \mathbb {R} }$لأن هذا ينطبق على مجموعتها الفرعية${\displaystyle \mathbb {Q} }$ومقياس لوبيغ الخاص به لا يزيد عن${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }2r/2^{n}=2r.}$ ينتج عن أخذ اتحاد الفترات المغلقة، بدلاً من الفترات المفتوحة، المجموعة الجزئية F _𝜎$${\displaystyle S_{r}~:=~\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(n)+\left[-r/2^{n},r/2^{n}\right]}$$ ذلك يرضي${\displaystyle S_{r/2}\subseteq U_{r}\subseteq S_{r}\subseteq U_{2r}.}$لأن${\displaystyle \mathbb {R} \setminus S_{r}}$هي مجموعة جزئية من مجموعة غير كثيفة في أي مكان${\displaystyle \mathbb {R} \setminus U_{r},}$كما أنها ليست كثيفة في أي مكان${\displaystyle \mathbb {R} .}$ لأن${\displaystyle \mathbb {R} }$هو فضاء باير ، المجموعة $${\displaystyle D:=\bigcap _{m=1}^{\infty }U_{1/m}=\bigcap _{m=1}^{\infty }S_{1/m}}$$ هي مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle \mathbb {R} }$(وهذا يعني أنه مثل مجموعته الفرعية)${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle D}$لا يمكن أن يكون المكان غير كثيف في أي مكان${\displaystyle \mathbb {R} }$) مع${\displaystyle 0}$مقياس ليبيغ الذي هو أيضًا مجموعة فرعية غير ضئيلة من${\displaystyle \mathbb {R} }$(إنه،${\displaystyle D}$وهي من الفئة الثانية في${\displaystyle \mathbb {R} }$مما يجعل${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$مجموعة فرعية من كوميجر${\displaystyle \mathbb {R} }$الذي يقع داخله${\displaystyle \mathbb {R} }$وهو فارغ أيضاً؛ ومع ذلك،${\displaystyle \mathbb {R} \setminus D}$لا يوجد أي مكان كثيف في${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا وفقط إذا تم إغلاقه في${\displaystyle \mathbb {R} }$يحتوي على مساحة داخلية فارغة. المجموعة الفرعية${\displaystyle \mathbb {Q} }$في هذا المثال، يمكن استبدالها بأي مجموعة فرعية كثيفة قابلة للعد من${\displaystyle \mathbb {R} }$وعلاوة على ذلك، حتى المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} }$يمكن استبدالها بـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$لأي عدد صحيح${\displaystyle n>0.}$

• فضاء باير – مفهوم في علم الطوبولوجيا 
• مجموعة سميث-فولتيرا-كانتور – مجموعة الأعداد الحقيقية في الرياضيات 
• مجموعة ضئيلة – مجموعة فرعية "صغيرة" من فضاء طوبولوجي 

• بورباكي، نيكولا (1989) [1967]. الطوبولوجيا العامة 2: الفصول 5-10 [ Topologie Générale ] . عناصر الرياضيات . المجلد.  4. برلين نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063 . 
• فريملين، د.  هـ. (2002). نظرية القياس . Lulu.com. ISBN 978-0-9566071-1-9.
• هاوورث، RC؛ مكوي، آر إيه (1977)، باير سبيسز ، وارسو: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
• خليل الله، إس إم (1982). أمثلة مضادة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة محاضرات في الرياضيات . المجلد  936. برلين، هايدلبرغ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 . 
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 
• ويلارد، ستيفن (2004) [1970]. الطوبولوجيا العامة . مينولا، نيويورك : منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 . 

• بعض المجموعات غير الكثيفة ذات القياس الموجب