الطريقة الطيفية

نفترض هنا فهمًا أساسيًا لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ومتسلسلات فورييه .${\displaystyle g(x,y)}$هي دالة معروفة ذات قيم مركبة لمتغيرين حقيقيين، و g دورية في x و y (أي،${\displaystyle g(x,y)=g(x+2\pi ,y)=g(x,y+2\pi )}$ثم نهتم بإيجاد دالة f ( x , y ) بحيث

$${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad {\text{for all }}x,y}$$

حيث يُمثل التعبير الموجود على اليسار المشتقات الجزئية الثانية للدالة f في x و y على التوالي. هذه هي معادلة بواسون ، ويمكن تفسيرها فيزيائيًا على أنها نوع من مسائل توصيل الحرارة، أو مسألة في نظرية الكمون، من بين احتمالات أخرى.

إذا كتبنا f و g في متسلسلة فورييه:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f&=:\sum _{j,k}a_{j,k}e^{i(jx+ky)},\\[5mu]g&=:\sum _{j,k}b_{j,k}e^{i(jx+ky)},\end{aligned}}}$$

وبالتعويض في المعادلة التفاضلية، نحصل على هذه المعادلة:

$${\displaystyle \sum _{j,k}-a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum _{j,k}b_{j,k}e^{i(jx+ky)}.}$$

لقد استبدلنا التفاضل الجزئي بمجموع لانهائي، وهو أمر مشروع إذا افترضنا، على سبيل المثال، أن للدالة f مشتقة ثانية متصلة. وبحسب نظرية التفرد لتوسعات فورييه، يجب علينا حينها مساواة معاملات فورييه حدًا بحد، مما يعطي

${\displaystyle a_{j,k}=-{\frac {b_{j,k}}{j^{2}+k^{2}}}}$

*

وهي صيغة صريحة لمعاملات فورييه a _{j , k} .

في ظل شروط الحدود الدورية، لا يوجد حل لمعادلة بواسون إلا إذا كان b _0,0 = 0. لذلك، يمكننا اختيار a _0,0 بحرية بحيث يكون مساويًا لمتوسط ​​الدقة. وهذا يُقابل اختيار ثابت التكامل.

لتحويل هذا إلى خوارزمية، يتم حل عدد محدود فقط من الترددات. وهذا يُدخل خطأً يمكن إثبات أنه يتناسب مع${\displaystyle h^{n}}$، أين${\displaystyle h:=1/n}$و${\displaystyle n}$وهي أعلى نسبة معالجة.

نرغب في حل معادلة برجر القسرية والعابرة وغير الخطية باستخدام نهج طيفي.

منح${\displaystyle u(x,0)}$في المجال الدوري${\displaystyle x\in \left[0,2\pi \right)}$، يجد${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$بحيث $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\rho {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right),\forall t>0}$$ حيث ρ هو معامل اللزوجة . في الصيغة المحافظة الضعيفة، يصبح هذا $${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial u}{\partial t}},\,v\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial }{\partial x}}{\left(-{\frac {u^{2}}{2}}+\rho {\frac {\partial u}{\partial x}}\right)},\,v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0}$$ باستخدام ترميز الضرب الداخلي . التكامل بالتجزئة واستخدام استحقاقات الدورية $${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial u}{\partial t}},v\right\rangle =\left\langle {\frac {u^{2}}{2}}-\rho {\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial v}{\partial x}}\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.}$$

لتطبيق طريقة فورييه-غاليركين ، اختر كليهما $${\displaystyle {\mathcal {U}}^{N}:={\biggl \{}u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}{\biggr \}}}$$ و $${\displaystyle {\mathcal {V}}^{N}:=\operatorname {span} \left\{e^{ikx}:k\in -{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\}}$$ أين${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle }$وهذا يختزل المشكلة إلى إيجاد${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}^{N}}$بحيث $${\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$$

باستخدام علاقة التعامد${\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}}$أين${\displaystyle \delta _{lk}}$إذا كانت دالة كرونكر دلتا ، فإننا نبسط الحدود الثلاثة المذكورة أعلاه لكل منها${\displaystyle k}$لترى $${\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle ={\biggl \langle }\partial _{t}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }={\biggl \langle }\sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},}$$$${\displaystyle \left\langle f,e^{ikx}\right\rangle ={\biggl \langle }\sum _{l}{\hat {f}}_{\!l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi {\hat {f}}_{\!k},}$$ و $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}\sum _{p}{\hat {u}}_{p}e^{ipx}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}{\Bigr )}-\rho \partial _{x}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}{\biggr \rangle }-{\biggl \langle }\rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-{\tfrac {1}{2}}ik{\biggl \langle }\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}{\biggr \rangle }-\rho k{\biggl \langle }\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}.\end{aligned}}}$$

اجمع المصطلحات الثلاثة لكل منها${\displaystyle k}$للحصول على $${\displaystyle 2\pi {\frac {\partial {\hat {u}}_{k}}{\partial t}}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{\!k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$$ القسمة على${\displaystyle 2\pi }$وأخيراً نصل إلى $${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {u}}_{k}}{\partial t}}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{\!k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$$ مع الشروط الأولية المحولة باستخدام تحويل فورييه${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)}$والإجبار${\displaystyle {\hat {f}}_{k}(t)}$يمكن تكامل هذا النظام المزدوج من المعادلات التفاضلية العادية زمنيًا (باستخدام، على سبيل المثال، تقنية رونج-كوتا ) لإيجاد حل. الحد غير الخطي هو عبارة عن التفاف ، وهناك العديد من التقنيات القائمة على التحويلات لتقييمه بكفاءة. راجع مراجع بويد وكانوتو وآخرون لمزيد من التفاصيل.