طريقة التجميع

اختر، على سبيل المثال، نقطتي التجميع c1 = ₀ و c2 = ₁ (وبالتالي n = 2). شروط التجميع هي

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(t_{0})&=y_{0},\\p'(t_{0})&=f(t_{0},p(t_{0})),\\p'(t_{0}{+}h)&=f(t_{0}{+}h,p(t_{0}{+}h)).\end{aligned}}}$$

هناك ثلاثة شروط، لذا يجب أن تكون p كثيرة حدود من الدرجة الثانية. اكتب p على الصورة

$${\displaystyle p(t)=\alpha (t-t_{0})^{2}+\beta (t-t_{0})+\gamma \,}$$

لتبسيط الحسابات. بعد ذلك، يمكن حل شروط التجميع للحصول على المعاملات.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{2h}}{\Big (}f(t_{0}{+}h,p(t_{0}{+}h))-f(t_{0},p(t_{0})){\Big )},\\\beta &=f(t_{0},p(t_{0})),\\\gamma &=y_{0}.\end{aligned}}}$$

تُعطى طريقة التجميع الآن (ضمنياً) بواسطة

$${\displaystyle y_{1}=p(t_{0}+h)=y_{0}+{\frac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{0}{+}h,y_{1})+f(t_{0},y_{0}){\Big )},\,}$$

حيث y ₁ = p ( t ₀  + h ) هو الحل التقريبي عند t = t ₁ = t ₀ + h .   

تُعرف هذه الطريقة باسم " قاعدة شبه المنحرف " للمعادلات التفاضلية. في الواقع، يمكن اشتقاق هذه الطريقة أيضًا عن طريق إعادة كتابة المعادلة التفاضلية على النحو التالي:

$${\displaystyle y(t)=y(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,y(\tau ))\,d\tau ,\,}$$

وتقريب التكامل على الجانب الأيمن باستخدام قاعدة شبه المنحرف للتكاملات.

تستخدم طرق غاوس -ليجندر نقاط تربيع غاوس-ليجندر كنقاط تجميع. طريقة غاوس-ليجندر القائمة على s نقطة لها رتبة 2s . [ ^{2 ] جميع} طرق غاوس-ليجندر مستقرة من النوع A. ^{[ 3 ]}

في الواقع، يمكن للمرء أن يثبت أن رتبة طريقة التجميع تتوافق مع رتبة قاعدة التربيع التي يمكن الحصول عليها باستخدام نقاط التجميع كأوزان.

بدأت فرق الفورمولا 1 الكبرى في التحول من المحاكاة شبه الساكنة إلى أساليب التجميع في العقد الثاني من الألفية الثانية لمحاكاة الزمن اللازم لإكمال السيارة دورة كاملة حول الحلبة. ويُعتقد أن فريق ساوبر كان من أوائل الفرق التي قامت بهذا التحول. تتضمن المحاكاة شبه الساكنة التقليدية إنشاء نطاق أداء (gLat-gLong-vCar) للسيارة، ثم البدء من كل نقطة ذروة (أدنى سرعة للسيارة) والتسارع للأمام والخلف عبر منطقة الكبح باستخدام هذا النطاق لتجميع لفة كاملة. يُعد هذا تبسيطًا مفرطًا للمشكلة لأن النطاق يُمثل حالة ثابتة، وبالتالي يتجاهل أيًا من الديناميكيات التي تحدث، فعلى سبيل المثال، يمكن للسيارة أن تنتقل بشكل فوري بين الانزلاق الأمامي والانزلاق الخلفي.

تضمن التحول إلى أساليب التجميع في المحاكاة تحويل اللفة بأكملها إلى مسألة تحسين، مقسمة إلى خطوات مسافة حول اللفة تصف خصائص السيارة الفيزيائية عند كل نقطة. الهدف هو تقليل زمن اللفة والخطأ في الخصائص الفيزيائية عند كل نقطة. بمجرد اكتمال التحسين، تجد طريقة التجميع الحد الأدنى لزمن اللفة لإعداد سيارة معين حول حلبة السباق عن طريق تغيير زاوية المكابح/الخانق وعجلة القيادة مع مراعاة الخصائص الفيزيائية عند كل نقطة. يمكن إضافة قيود إضافية إلى دالة الهدف إلى جانب تقليل زمن اللفة، مثل قيود الطاقة (الوقود، الكهرباء، انزلاق الإطارات، المكابح)، وقيود درجة الحرارة (الإطارات، درجة حرارة البطارية)، ويمكن إضافة عناصر تحكم إضافية، مثل دواسات خانق متعددة تتحكم في الطاقة لجميع العجلات الأربع، إلى الخصائص الفيزيائية. هذا يسمح بحل المشكلات المعقدة للغاية على النحو الأمثل.