طريقة العناصر الطيفية

في الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، تُعدّ طريقة العناصر الطيفية (SEM) صياغةً لطريقة العناصر المحدودة (FEM) تستخدم كثيرات الحدود القطعية عالية الدرجة كدوال أساسية. وقد طُرحت طريقة العناصر الطيفية في ورقة بحثية عام 1984 ^{[ 1 ]} من قِبل أ. ت. باتيرا. ورغم أن الفضل في تطوير هذه الطريقة يُنسب إلى باتيرا، إلا أن عمله كان بمثابة إعادة اكتشاف لطريقة موجودة مسبقًا (انظر تاريخ التطوير).

تُوسّع الطريقة الطيفية الحل في متسلسلات مثلثية ، وتتمثل ميزتها الرئيسية في أن الطريقة الناتجة ذات رتبة عالية جدًا. يعتمد هذا النهج على حقيقة أن كثيرات الحدود المثلثية تشكل أساسًا متعامدًا لـ${\displaystyle L^{2}(\أوميغا )}$[ ^{٢ ] تستخدم طريقة العناصر الطيفية دوال أساسية متعددة الحدود مجزأة من} درجة عالية، مما يحقق دقة عالية جدًا. عادةً ما تكون هذه الدوال متعددة حدود تشيبيشيف متعامدة أو متعددة حدود لاغرانج من رتبة عالية جدًا على عقد غير منتظمة التباعد. في طريقة العناصر الطيفية، يتناقص الخطأ الحسابي أُسّيًا مع ازدياد رتبة متعددة الحدود التقريبية، وبالتالي يتحقق تقارب سريع للحل نحو الحل الدقيق مع عدد أقل من درجات حرية الهيكل مقارنةً بطريقة العناصر المحدودة. في مراقبة سلامة الهياكل ، يمكن استخدام طريقة العناصر المحدودة للكشف عن العيوب الكبيرة في الهيكل، ولكن مع انخفاض حجم العيب، تزداد الحاجة إلى استخدام موجة عالية التردد. لمحاكاة انتشار موجة عالية التردد، تكون شبكة العناصر المحدودة المطلوبة دقيقة جدًا، مما يؤدي إلى زيادة وقت الحساب. من ناحية أخرى، توفر طريقة العناصر الطيفية دقة جيدة مع عدد أقل من درجات الحرية. يُسهم عدم انتظام العقد في جعل مصفوفة الكتلة قطرية، مما يوفر الوقت والذاكرة، كما أنه مفيد لاعتماد طريقة الفروق المركزية. وتشمل عيوب طريقة العناصر المحدودة صعوبة نمذجة الأشكال الهندسية المعقدة، مقارنةً بمرونة طريقة العناصر المحدودة.

على الرغم من إمكانية تطبيق هذه الطريقة باستخدام أساس متعدد الحدود متعامد جزئيًا، إلا أنها تُنفذ غالبًا باستخدام أساس لاغرانج ذي جداء موتر عقدي. ^{[ 3 ]} تكتسب هذه الطريقة كفاءتها من خلال وضع النقاط العقدية عند نقاط ليجندر-غاوس-لوباتو (LGL) وإجراء تكاملات طريقة غاليركين باستخدام تكامل غاوس-لوباتو المُختزل باستخدام نفس العقد. ينتج عن هذا التوليف تبسيطاتٌ تُؤدي إلى تجميع الكتل عند جميع العقد، وإجراء عملية تجميع عند النقاط الداخلية.

تتمثل أكثر التطبيقات شيوعاً لهذه الطريقة في ديناميكيات الموائع الحسابية ^{[ 3 ]} ونمذجة انتشار الموجات الزلزالية. ^{[ 4 ]}

ينطبق هنا التحليل الكلاسيكي لطرق غاليركين ومبرهنة سيا ، ويمكن إثبات أنه إذا${\displaystyle u}$هو حل المعادلة الضعيفة،${\displaystyle u_{N}}$هو الحل التقريبي و${\displaystyle u\in H^{s+1}(\Omega )}$:

${\displaystyle \|u-u_{N}\|_{H^{1}(\Omega )}\leqq C_{s}N^{-s}\|u\|_{H^{s+1}(\Omega )}}$

أين${\displaystyle N}$يرتبط ذلك بتقسيم المجال (أي طول العنصر)،${\displaystyle C_{s}}$مستقل عن${\displaystyle N}$، و${\displaystyle s}$لا تتجاوز درجة الأساس متعدد الحدود القطعي. ويمكن الحصول على نتائج مماثلة لتقييد الخطأ في الطوبولوجيات الأقوى. إذا${\displaystyle k\leq s+1}$

${\displaystyle \|u-u_{N}\|_{H^{k}(\Omega )}\leq C_{s,k}N^{k-1-s}\|u\|_{H^{s+1}(\Omega )}}$

مع ازديادنا${\displaystyle N}$يمكننا أيضًا زيادة درجة الدوال الأساسية. في هذه الحالة، إذا${\displaystyle u}$هي دالة تحليلية :

${\displaystyle \|u-u_{N}\|_{H^{1}(\Omega )}\leqq C\exp(-\gamma N)}$

أين${\displaystyle \gamma }$يعتمد فقط على${\displaystyle u}$.

تتمتع طريقة التجميع الهجينة-غاليركين ببعض خصائص التقارب الفائق. ^{[ 5 ]} صيغة LGL لـ SEM مكافئة، ^{[ 6 ]} لذا فهي تحقق نفس خصائص التقارب الفائق.

يُنسب تطوير الشكل الأكثر شيوعًا لطريقة LGL عادةً إلى ماداي وباتيرا. ^{[ 7 ]} مع ذلك، فقد طُوِّرت هذه الطريقة قبل ذلك بأكثر من عقد. أولًا، هناك طريقة التجميع الهجينة-غاليركين (HCGM)، ^{[ 8 ] [ 5 ]} التي تُطبِّق التجميع عند نقاط لوباتو الداخلية وتستخدم إجراءً تكامليًا شبيهًا بطريقة غاليركين عند واجهات العناصر. تُطابق طريقة لوباتو-غاليركين التي وصفها يونغ ^{[ 9 ]} طريقة SEM، بينما تُكافئ طريقة HCGM هاتين الطريقتين. ^{[ 6 ]} يُتجاهل هذا العمل السابق في الأدبيات الطيفية.

• تُعدّ طريقتي G-NI وSEM-NI من أكثر الطرق الطيفية استخدامًا. يتم تعديل صيغة غاليركين للطرق الطيفية أو طرق العناصر الطيفية، الخاصة بطريقتي G-NI وSEM-NI على التوالي، ويُستخدم تكامل غاوس-لوباتو بدلًا من التكاملات في تعريف الصيغة الثنائية الخطية.${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$وفي الوظيفة${\displaystyle F}$إن تقاربهم هو نتيجة لفرضية سترانج .
• SEM هي طريقة العناصر المحدودة (FEM) القائمة على Galerkin مع دوال أساس Lagrange (الشكل) والتكامل العددي المخفض بواسطة تربيع Lobatto باستخدام نفس العقد.
• تُعدّ طرق التحليل الطيفي الزائف ، والتجميع المتعامد ، والتربيع التفاضلي، وG-NI أسماءً مختلفة لنفس الطريقة. تستخدم هذه الطرق دوال أساس متعددة الحدود شاملة بدلاً من دوال أساس متعددة الحدود مجزأة. ويُعدّ التوسع إلى أساس FEM أو SEM مجزأ أمرًا بسيطًا للغاية. ^{[ 6 ]}
• تستخدم طريقة العناصر الطيفية فضاءً ناتجًا عن ضرب الموترات، مُمتدًا بواسطة دوال أساسية عقدية مرتبطة بنقاط غاوس - لوباتو . في المقابل، تُمدد طريقة العناصر المحدودة من النوع p فضاءً من كثيرات الحدود عالية الرتبة بواسطة دوال أساسية غير عقدية، مُختارة بشكل متعامد تقريبًا لتحقيق الاستقرار العددي . ولأن وجود جميع الدوال الأساسية الداخلية ليس ضروريًا، يُمكن لطريقة العناصر المحدودة من النوع p إنشاء فضاء يحتوي على جميع كثيرات الحدود حتى درجة مُعينة مع عدد أقل من درجات الحرية. ^{[ 10 ]} مع ذلك، لم تعد بعض تقنيات تسريع العمليات المُمكنة في الطرق الطيفية، نظرًا لطبيعتها الناتجة عن ضرب الموترات، مُتاحة. يُشير اسم " النوع p" إلى أن الدقة تزداد بزيادة رتبة كثيرات الحدود المُقاربة (أي p ) بدلًا من تقليل حجم الشبكة، h .
• تجمع طريقة العناصر المحدودة hp ( hp - FEM ) بين مزايا تحسينات h و p للحصول على معدلات تقارب أسية. ^{[ 11 ]}