مسألة القيم الحدية الإهليلجية

بشكل عام، تتكون مسألة القيمة الحدية من معادلة تفاضلية جزئية تخضع لشرط حدي . في الوقت الحالي، سنتناول المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتبة الثانية الخاضعة لشرط حدي من نوع ديريشليه .

يترك${\displaystyle U}$ليكن مجموعة جزئية مفتوحة ومحدودة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، نرمز إلى حدودها بـ${\displaystyle \partial U}$والمتغيرات كـ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$تمثيل المعادلة التفاضلية الجزئية كمؤثر تفاضلي جزئي${\displaystyle L}$التأثير على وظيفة غير معروفة${\displaystyle u=u(x)}$ل${\displaystyle x\in U}$ينتج عن ذلك مسألة قيمة حدية من الشكل التالي $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}Lu&=f&&{\text{in }}U\\u&=0&&{\text{on }}\partial U,\end{aligned}}\right.}$$ أين${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} }$دالة معطاة${\displaystyle f=f(x)}$و${\displaystyle u:U\cup \partial U\rightarrow \mathbb {R} }$والمشغل${\displaystyle L}$إما بالشكل التالي: $${\displaystyle Lu(x)=-\sum _{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)u_{x_{i}})_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x),}$$ أو $${\displaystyle Lu(x)=-\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)u_{x_{i}x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}{\tilde {b}}_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x),}$$ بالنسبة لدوال المعاملات المعطاة${\displaystyle a_{ij}(x),b_{i}(x),c(x)}$.

معادلة تفاضلية جزئية${\displaystyle Lu=f}$يُقال إنها في شكل تباعد في الحالة الأولى، وفي شكل عدم تباعد في الحالة الثانية. إذا كانت الدوال${\displaystyle a_{ij}}$إذا كانت الدوال قابلة للتفاضل باستمرار، فإن الحالتين متكافئتان. $${\displaystyle {\tilde {b}}_{i}(x)=b_{i}(x)+\sum _{j}a_{ij,x_{j}}(x).}$$ في تدوين المصفوفات، يمكننا أن نفرض${\displaystyle a(x)}$كن${\displaystyle n\times n}$دالة ذات قيم مصفوفية لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle b(x)}$كن${\displaystyle n}$دالة ذات قيم متجهة عمودية ذات أبعاد n من${\displaystyle x}$وبعد ذلك يمكننا كتابة (صيغة التباعد على النحو التالي) $${\displaystyle Lu=-\nabla \cdot (a\nabla u)+b^{T}\nabla u+cu}$$ يمكن للمرء أن يفترض، دون فقدان للعمومية ، أن المصفوفة${\displaystyle a}$متناظر (أي لجميع${\displaystyle i,j,x}$،${\displaystyle a_{ij}(x)=a_{جي}(x)}$سنفترض ذلك في بقية هذا المقال.

نقول إن المشغل${\displaystyle L}$تكون القطعية إهليلجية إذا، بالنسبة لبعض الثوابت${\displaystyle \alpha >0}$، أي من الشروط المكافئة التالية ينطبق:

1. ${\displaystyle \lambda _{\min }(a(x))>\alpha \;\;\;\forall x}$(انظر القيمة الذاتية ).
2. ${\displaystyle u^{T}a(x)u>\alpha u^{T}u\;\;\;\forall u\in \mathbb {R} ^{n}}$.
3. ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}u_{i}u_{j}>\alpha \sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\;\;\;\forall u\in \mathbb {R} ^{n}}$.

إذا كان المؤثر التفاضلي الجزئي من الرتبة الثانية${\displaystyle L}$إذا كانت إهليلجية، فإن مسألة القيمة الحدية المرتبطة بها تسمى مسألة القيمة الحدية الإهليلجية .

مسألة القيمة الحدية المذكورة أعلاه هي مثال خاص على مسألة ديريشليه . أما مسألة نيومان فهي

${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}\Omega }$و

${\displaystyle u_{\nu }=g{\text{ on }}\partial \Omega }$

أين${\displaystyle u_{\nu }}$هو مشتق من${\displaystyle u}$في اتجاه العمودي المتجه للخارج لـ${\displaystyle \partial \Omega }$بشكل عام، إذا${\displaystyle B}$إذا كان أي عامل أثر ، فيمكن للمرء بناء مسألة القيمة الحدية

${\displaystyle Lu=f{\text{ in }}\Omega }$و

${\displaystyle Bu=g{\text{ on }}\partial \Omega }$.

في بقية هذا المقال، نفترض أن${\displaystyle L}$هي إهليلجية وأن شرط الحدود هو شرط ديريشليه${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega }$.

الخريطة${\displaystyle A(u,\varphi )}$يتم تعريفها على فضاء سوبوليف${\displaystyle H_{0}^{1}\subset H^{1}}$من الدوال التي تكون قابلة للتفاضل مرة واحدة وتساوي صفرًا على الحدود${\displaystyle \partial \Omega }$شريطة أن نفرض بعض الشروط على${\displaystyle a,b,c}$و${\displaystyle \Omega }$هناك العديد من الخيارات الممكنة، ولكن لأغراض هذه المقالة، سنفترض أن

1. ${\displaystyle a_{ij}(x)}$قابلة للتفاضل باستمرار على${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ل${\displaystyle i,j=1,\dots ,n,}$
2. ${\displaystyle b_{i}(x)}$مستمر على${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ل${\displaystyle i=1,\dots ,n,}$
3. ${\displaystyle c(x)}$مستمر على${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$و
4. ${\displaystyle \Omega }$محدود.

يمكن للقارئ التحقق من أن الخريطة${\displaystyle A(u,\varphi )}$كما أنها ثنائية الخطية ومتصلة ، وأن الخريطة${\displaystyle F(\varphi )}$خطي في​${\displaystyle \varphi }$ويكون مستمراً إذا (على سبيل المثال)${\displaystyle f}$قابلة للتكامل التربيعي.

نقول إن الخريطة${\displaystyle A}$يُعتبر قسرياً إذا كان هناك${\displaystyle \alpha >0}$للجميع${\displaystyle u,\varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$،

${\displaystyle A(u,\varphi )\geq \alpha \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi .}$

وهذا صحيح بشكل بديهي بالنسبة لمؤثر لابلاس (مع${\displaystyle \alpha =1}$وهذا صحيح أيضًا بالنسبة للمؤثر الإهليلجي إذا افترضنا${\displaystyle b=0}$و${\displaystyle c\leq 0}$تذكر أن${\displaystyle u^{T}au>\alpha u^{T}u}$متى${\displaystyle L}$(إهليلجي).

يمكن للمرء أن يثبت، من خلال مبرهنة لاكس-ميلغرام ، أنه كلما${\displaystyle A(u,\varphi )}$قسري و${\displaystyle F(\varphi )}$إذا كانت الدالة متصلة، فإنه يوجد حل وحيد${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$للمشكلة الضعيفة (*).

إذا كان هناك المزيد${\displaystyle A(u,\varphi )}$متناظر (أي،${\displaystyle b=0}$)، يمكن للمرء أن يظهر نفس النتيجة باستخدام نظرية تمثيل ريز بدلاً من ذلك.

ويعتمد هذا على حقيقة أن${\displaystyle A(u,\varphi )}$يشكل ناتجًا داخليًا على${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$، وهو ما يعتمد بدوره على متباينة بوانكاريه .

تأخذ نظرية الانتظام لمسألة القيم الحدية الإهليلجية الخطية من الرتبة الثانية الشكل التالي

نظرية: إذا تحقق شرط ما، فإن الحل${\displaystyle u}$هو في${\displaystyle H^{2}(\Omega )}$، فضاء الدوال "القابلة للتفاضل مرتين" التي تكون مشتقاتها الثانية قابلة للتكامل التربيعي.

لا يوجد شرط بسيط معروف ضروري وكافٍ لتحقق نتيجة النظرية، ولكن من المعروف أن الشروط التالية كافية:

1. حدود${\displaystyle \Omega }$يكون${\displaystyle C^{2}}$، أو
2. ${\displaystyle \Omega }$محدب.

قد يكون من المغري الاستنتاج بأنه إذا${\displaystyle \partial \Omega }$هو متعدد الأجزاء${\displaystyle C^{2}}$ثم${\displaystyle u}$هو بالفعل في${\displaystyle H^{2}}$لكن هذا للأسف غير صحيح.

في حالة أن${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$ثم المشتقات الثانية لـ${\displaystyle u}$تُعرَّف في كل مكان تقريبًا ، وفي هذه الحالة${\displaystyle Lu=f}$في كل مكان تقريباً.

ويمكن إثبات ذلك أيضًا إذا كانت حدود${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$هو مشعب أملس و${\displaystyle f}$إذا كانت قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية بالمعنى القوي،${\displaystyle u}$وهي قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية بالمعنى القوي. في هذه الحالة،${\displaystyle Lu=f}$مع التعريف القوي للمشتقة.

يعتمد برهان ذلك على نظرية انتظام محسنة تنص على أنه إذا${\displaystyle \partial \Omega }$يكون${\displaystyle C^{k}}$و${\displaystyle f\in H^{k-2}(\Omega )}$،${\displaystyle k\geq 2}$، ثم${\displaystyle u\in H^{k}(\Omega )}$بالإضافة إلى نظرية تضمين سوبوليف التي تنص على أن الدوال في${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$وهي أيضًا في${\displaystyle C^{m}({\bar {\Omega }})}$حينما${\displaystyle 0\leq m<k-n/2}$.

إذا تم حساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية، فإنه يمكن إيجاد الحل "الصريح" لـ${\displaystyle Lu=f}$،

${\displaystyle u=\sum _{k=1}^{\infty }{\hat {u}}(k)u_{k}}$

عبر الصيغة

${\displaystyle {\hat {u}}(k)=\lambda _{k}{\hat {f}}(k),\;\;k=1,2,\dots }$

أين

${\displaystyle {\hat {f}}(k)=\int _{\Omega }f(x)u_{k}(x)\,dx.}$

(انظر متسلسلة فورييه .)

تتقارب السلسلة في${\displaystyle L^{2}}$. يتم تنفيذه على جهاز كمبيوتر باستخدام التقريبات العددية، وهذا ما يُعرف بالطريقة الطيفية .

لننظر في المشكلة

${\displaystyle u-u_{xx}-u_{yy}=f(x,y)=xy}$على${\displaystyle (0,1)\times (0,1),}$

${\displaystyle u(x,0)=u(x,1)=u(0,y)=u(1,y)=0\;\;\forall (x,y)\in (0,1)\times (0,1)}$(شروط ديريشليه).

يمكن للقارئ التحقق من أن المتجهات الذاتية هي بالضبط

${\displaystyle u_{jk}(x,y)=\sin(\pi jx)\sin(\pi ky)}$،${\displaystyle j,k\in \mathbb {N} }$

مع القيم الذاتية

${\displaystyle \lambda _{jk}={1 \over 1+\pi ^{2}j^{2}+\pi ^{2}k^{2}}.}$

معاملات فورييه لـ${\displaystyle g(x)=x}$يمكن البحث عنها في جدول، والحصول على${\displaystyle {\hat {g}}(n)={(-1)^{n+1} \over \pi n}}$. لذلك،

${\displaystyle {\hat {f}}(j,k)={(-1)^{j+k+1} \over \pi ^{2}jk}}$

مما يؤدي إلى الحل

${\displaystyle u(x,y)=\sum _{j,k=1}^{\infty }{(-1)^{j+k+1} \over \pi ^{2}jk(1+\pi ^{2}j^{2}+\pi ^{2}k^{2})}\sin(\pi jx)\sin(\pi ky).}$