البندول المرن

يبلغ طول الزنبرك في حالة الراحة${\displaystyle \ell _{0}}$ويمكن تمديدها بطول${\displaystyle x}$زاوية تذبذب البندول هي${\displaystyle \theta }$.

لاغرانجيان​${\displaystyle L}$يكون: $${\displaystyle L=TV}$$ أين${\displaystyle T}$هي الطاقة الحركية و${\displaystyle V}$هي طاقة الوضع .

قانون هوك هو الطاقة الكامنة للنابض نفسه: $${\displaystyle V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}}$$ أين${\displaystyle k}$هو ثابت الزنبرك.

أما طاقة الوضع الناتجة عن الجاذبية ، فتُحدد بارتفاع الكتلة. وبالنسبة لزاوية وإزاحة محددتين، فإن طاقة الوضع هي:$${\displaystyle V_{g}=-gm(\ell _{0}+x)\cos \theta }$$ أين${\displaystyle g}$هو التسارع الناتج عن الجاذبية .

تُعطى الطاقة الحركية بالصيغة التالية: $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}}$$ أين${\displaystyle v}$هي سرعة الكتلة. لربطها${\displaystyle v}$بالنسبة للمتغيرات الأخرى، تُكتب السرعة كمزيج من الحركة على طول الزنبرك وعموديًا عليه: $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)}$$

وبذلك تصبح دالة لاغرانج: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle L=T-V_{k}-V_{g}}$$$${\displaystyle L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm\left(\ell _{0}+x\right)\cos \theta }$$

بدرجتين من الحرية ، لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle \theta }$، ويمكن إيجاد معادلات الحركة باستخدام معادلتين من معادلات أويلر-لاغرانج : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}&=0\\[1ex]{\frac {\partial L}{\partial \theta }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}&=0\end{aligned}}}$$

ل${\displaystyle x}$: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle m\left(\ell _{0}+x\right){\dot {\theta }}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0}$$${\displaystyle {\ddot {x}}}$معزول: $${\displaystyle {\ddot {x}}=(\ell _{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta }$$

ولـ${\displaystyle \theta }$: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle -gm\left(\ell _{0}+x\right)\sin \theta -m\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\ddot {\theta }}-2m\left(\ell _{0}+x\right){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0}$$${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$معزول: $${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{\ell _{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{\ell _{0}+x}}{\dot {\theta }}}$$

ويمكن تبسيط هذه الأمور بشكل أكبر عن طريق تغيير طول القياس${\textstyle s={x}/{\ell _{0}}}$والوقت${\textstyle \tau =t{\sqrt {{g}/{\ell _{0}}}}}$التعبير عن النظام بدلالة${\displaystyle s}$و${\displaystyle \tau }$ينتج عن ذلك معادلات حركة لا بُعدية . المعامل الوحيد المتبقي الذي لا بُعدي${\displaystyle \Omega ^{2}={\frac {k\ell _{0}}{mg}}}$يصف النظام. $${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{d\tau ^{2}}}=\left(s+1\right)\left({\frac {d\theta }{d\tau }}\right)^{2}-\Omega ^{2}s+\cos \theta }$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\tau ^{2}}}=-{\frac {\sin \theta }{s+1}}-{\frac {2}{1+s}}{\frac {ds}{d\tau }}{\frac {d\theta }{d\tau }}}$$

يُوصَف البندول المرن الآن بمعادلتين تفاضليتين عاديتين مترابطتين ، ويمكن حلهما عدديًا . علاوة على ذلك، يمكن استخدام الطرق التحليلية لدراسة ظاهرة الترتيب-الفوضى-الترتيب المثيرة للاهتمام ^{[ 7 ]} في هذا النظام لقيم مختلفة للمعامل.${\displaystyle \Omega ^{2}}$والشروط الأولية${\displaystyle s}$و${\displaystyle \theta }$.

وهناك مثال ثانٍ أيضاً  : البندول المرن المزدوج. انظر ^{[ 8 ]}