خوارزمية العلاقة بين الأعداد الصحيحة

العلاقة بين مجموعة من الأعداد الحقيقية _x1 ، _x2 ، ... ، _xn هي مجموعة من الأعداد الصحيحة a1، a2 _، ... _، an ، ليست _جميعها أصفارًا، بحيث

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0.\,}$

خوارزمية العلاقات العددية هي خوارزمية لإيجاد العلاقات العددية. تحديدًا، عند إعطاء مجموعة من الأعداد الحقيقية المعروفة بدقة معينة، فإن خوارزمية العلاقات العددية إما أن تجد علاقة عددية بينها، أو تحدد أنه لا توجد علاقة عددية بمعاملات تقل قيمها عن حد أعلى معين . ^{[ 1 ]}

في حالة n = 2، يمكن لتوسيع خوارزمية إقليدس إيجاد أي علاقة عددية _صحيحة بين أي عددين حقيقيين x1 و x2 . تُولّد الخوارزمية حدودًا متتالية لكسر x1 / _{x2 ؛ إذا كانت هناك علاقة عددية صحيحة} بين العددين، فإن نسبتهما تكون كسرية، وتتوقف الخوارزمية في _{النهاية} .

• نُشرت خوارزمية فيرغسون-فوركاد في عام 1979 بواسطة هيلامان فيرغسون و آر دبليو فوركاد . ^{[ 2 ]} على الرغم من أن الورقة البحثية تتناول قيمة n العامة ، إلا أنه ليس من الواضح ما إذا كانت الورقة تحل المشكلة بشكل كامل لأنها تفتقر إلى الخطوات التفصيلية والبراهين وحدود الدقة التي تُعد ضرورية للتنفيذ الموثوق.
• كانت الخوارزمية الأولى ذات البراهين الكاملة هي خوارزمية LLL ، التي طورها آريين لينسترا وهندريك لينسترا ولازلو لوفاسز في عام 1982. ^{[ 3 ]}
• خوارزمية HJLS ، التي طورها يوهان هاستاد ، وبيتينا جاست، وجيفري لاجارياس ، وكلاوس بيتر شنور في عام 1986. ^{[ 4 ] [ 5 ]}
• خوارزمية PSOS ، التي طورها فيرغسون في عام 1988. ^{[ 6 ]}
• خوارزمية PSLQ ، التي طورها فيرغسون وبيلي عام 1992، وبسّطها فيرغسون وبيلي وأرنو بشكل كبير عام 1999. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} في عام 2000، اختيرت خوارزمية PSLQ ضمن "أفضل عشر خوارزميات في القرن" من قِبل جاك دونغارا وفرانسيس سوليفان ^{[ 11 ]،} على الرغم من أنها تُعتبر مكافئة لخوارزمية HJLS. ^{[ 12 ] [ 13 ]}
• تم تحسين خوارزمية LLL من قبل العديد من المؤلفين. تستطيع تطبيقات LLL الحديثة حل مسائل العلاقات بين الأعداد الصحيحة عندما يكون n أكبر من 500.

تُستخدم خوارزميات العلاقات العددية في تطبيقات عديدة. يتمثل التطبيق الأول في تحديد ما إذا كان عدد حقيقي معين x من المرجح أن يكون جبريًا ، وذلك بالبحث عن علاقة عددية بين مجموعة من قوى x {1, x₁ , x₂ , ..., xₙ ^{} . أما التطبيق الثاني ،} فيتمثل في البحث عن علاقة عددية بين عدد حقيقي x ومجموعة من الثوابت الرياضية مثل e و π وln(2)، مما يؤدي إلى صيغة لـ x كمزيج خطي من هذه الثوابت.

يتمثل أحد الأساليب الشائعة في الرياضيات التجريبية في استخدام الطرق العددية والحسابات ذات الدقة العالية لإيجاد قيمة تقريبية لمتسلسلة لانهائية ، أو حاصل ضرب لانهائي ، أو تكامل بدقة عالية (عادةً ما لا تقل عن 100 رقم معنوي)، ثم استخدام خوارزمية العلاقات العددية للبحث عن علاقة عددية بين هذه القيمة ومجموعة من الثوابت الرياضية. إذا تم العثور على علاقة عددية، فهذا يشير إلى صيغة مغلقة محتملة للمتسلسلة أو حاصل الضرب أو التكامل الأصلي. ويمكن بعد ذلك التحقق من صحة هذا التخمين باستخدام الطرق الجبرية الرسمية. وكلما زادت دقة معرفة مدخلات الخوارزمية، زادت الثقة في أن أي علاقة عددية يتم العثور عليها ليست مجرد نتيجة عددية خاطئة .

من أبرز نجاحات هذا النهج استخدام خوارزمية PSLQ لإيجاد العلاقة العددية التي أدت إلى صيغة بيلي-بورواين-بلوف لحساب قيمة π . كما ساهمت PSLQ في اكتشاف متطابقات جديدة تتضمن دوال زيتا متعددة وظهورها في نظرية الحقل الكمومي ، وفي تحديد نقاط تشعب الخريطة اللوجستية . على سبيل المثال، عندما تكون B₄ _{هي نقطة} التشعب الرابعة للخريطة اللوجستية، فإن الثابت α  =  −B₄ ( B₄ − 2) هو جذر لكثير حدود من الدرجة 120، وأكبر معامل فيه هو 25730. [ ₁₄ ^{] [ 15 ] تُدمج خوارزميات العلاقات} العددية مع جداول الثوابت الرياضية عالية الدقة وطرق البحث الاستدلالية في تطبيقات مثل الآلة الحاسبة الرمزية العكسية أو عاكس بلوف .  

يمكن استخدام إيجاد العلاقات بين الأعداد الصحيحة لتحليل كثيرات الحدود ذات الدرجة العالية. ^{[ 16 ]}

• التعرف على الثوابت العددية، تأليف ديفيد هـ. بيلي وسيمون بلوف
• عشر مسائل في الرياضيات التجريبية، مؤرشفة بتاريخ 10 يونيو 2011 على موقع Wayback Machine، من تأليف ديفيد هـ. بيلي، وجوناثان م. بورواين ، وفيشال كابور، وإريك و. وايسشتاين.