عدد صحيح تقريبًا

في الرياضيات الترفيهية ، يُعرف العدد شبه الصحيح (أو العدد القريب من الصحيح ) بأنه أي عدد ليس صحيحًا ولكنه قريب جدًا من الواحد. وقد تُعتبر الأعداد شبه الصحيحة مثيرة للاهتمام عندما تظهر في سياق غير متوقع.

من أمثلة الأعداد شبه الصحيحة القوى العليا للنسبة الذهبية${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}$، على سبيل المثال:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi ^{17}&={\frac {3571+1597{\sqrt {5}}}{2}}\approx 3571.00028\\[6pt]\phi ^{18}&=2889+1292{\sqrt {5}}\approx 5777.999827\\[6pt]\phi ^{19}&={\frac {9349+4181{\sqrt {5}}}{2}}\approx 9349.000107\end{aligned}}}$

إن حقيقة اقتراب هذه القوى من الأعداد الصحيحة ليست من قبيل الصدفة، لأن النسبة الذهبية هي عدد بيزو-فيجاياراغافان .

يمكن أن تشكل نسب أعداد فيبوناتشي أو لوكاس أعدادًا صحيحة تقريبًا، على سبيل المثال:

• ${\displaystyle {\frac {\operatorname {Fibonacci} (360)}{\operatorname {Fibonacci} (216)}}\approx 1242282009792667284144565908481.99999999999999999999999999999195}$
• ${\displaystyle {\frac {\operatorname {Lucas} (361)}{\operatorname {Lucas} (216)}}\approx 2010054515457065378082322433761.00000000000000000000000000000497}$

يمكن تعميم الأمثلة المذكورة أعلاه من خلال المتتاليات التالية، والتي تولد أعدادًا صحيحة قريبة من أعداد لوكاس بدقة متزايدة:

• ${\displaystyle a(n)={\frac {\operatorname {Fibonacci} (45\times 2^{n})}{\operatorname {Fibonacci} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n})}$
• ${\displaystyle a(n)={\frac {\operatorname {Lucas} (45\times 2^{n}+1)}{\operatorname {Lucas} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n}+1)}$

مع ازدياد قيمة n ، يقترب عدد التسعات أو الأصفار المتتالية التي تبدأ من خانة العشرات في a ( n ) من اللانهاية.

تتضمن حالات أخرى من الأعداد الصحيحة القريبة غير العرضية أكبر ثلاثة أعداد هيجنر :

• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}\approx 8847\,36743.99977\,7466}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}\approx 14\,71979\,52743.99999\,86624\,54}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262\,53741\,26407\,68743.99999\,99999\,99250\,07}$

حيث يمكن تقدير عدم التطابق بشكل أفضل عند التعبير عنه بالشكل البسيط الشائع: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}=12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744\ -\ 2.225\ldots \cdot 10^{-4}}$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}=12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744\ -\ 1.337\ldots \cdot 10^{-6}}$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744\ -\ 7.499\ldots \cdot 10^{-13}}$

أين

${\displaystyle 21=3\cdot 7,\quad 231=3\cdot 7\cdot 11,\quad 744=24\cdot 31}$

ويعود سبب المربعات إلى متسلسلات أيزنشتاين معينة . الثابت${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$ ويُشار إليه أحيانًا باسم ثابت رامانوجان .

لطالما حيّرت الأعداد شبه الصحيحة التي تتضمن الثوابت الرياضية π و e علماء الرياضيات. ومن الأمثلة على ذلك:${\displaystyle e^{\pi }-\pi =19.99909\,99791\,89\ldots }$ يمكن تفسير ذلك باستخدام مجموع متعلق بدوال ثيتا لجاكوبي على النحو التالي: $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.}$$ يهيمن الحد الأول لأن مجموع الحدود لـ${\displaystyle k\geq 2}$المجموع${\displaystyle \sim 0.00034\,36.}$وبالتالي يمكن اختصار المجموع إلى ${\displaystyle \left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,}$ حيث يتم حلها لـ${\displaystyle e^{\pi }}$أعطِ${\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}$ إعادة كتابة التقريب لـ${\displaystyle e^{\pi }}$وباستخدام التقريب لـ${\displaystyle 7\pi \approx 22}$أعطِ $${\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}$$ وبالتالي، فإن إعادة ترتيب الحدود تعطي${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20.}$ومن المفارقات أن التقريب الخام لـ${\displaystyle 7\pi }$ويؤدي ذلك إلى زيادة الدقة بمقدار عشرة أضعاف. ^{[ 1 ]}

مثال آخر يتضمن هذه الثوابت هو:${\displaystyle e+\pi +e\pi +e^{\pi }+\pi ^{e}=59.99945\,90558\ldots }$

• 744 (رقم)
• رقم الفصام

• جيه إس ماركوفيتش: المصادفة، وضغط البيانات، ومفهوم ماخ عن اقتصاد الفكر