الجذر التربيعي الوظيفي

في الرياضيات ، الجذر التربيعي الوظيفي (يُسمى أحيانًا نصف تكرار ) هو الجذر التربيعي لدالة بالنسبة لعملية تركيب الدوال . بعبارة أخرى، الجذر التربيعي الوظيفي للدالة g هو دالة f تحقق f ( f ( x )) = g ( x ) لجميع قيم x .

الرموز التي تعبر عن أن f هي الجذر التربيعي الوظيفي لـ g هي f = g _[1/2] و f = g _1/2 ، أو بالأحرى f = g ^1/2 (انظر الدالة المتكررة ) ، على الرغم من أن هذا يترك الغموض المعتاد مع أخذ الدالة إلى تلك القوة بالمعنى الضربي ، تمامًا كما يمكن إساءة تفسير f ² = f ∘ f على أنها x ↦ f ( x )².

• تمت دراسة الجذر التربيعي الوظيفي للدالة الأسية (المعروفة الآن باسم الدالة نصف الأسية ) بواسطة هيلموت كنيسر في عام 1950، ^{[ 1 ]} مما وفر لاحقًا الأساس لتوسيع الـ tetration إلى الارتفاعات غير الصحيحة في عام 2017. ^{[ 2 ]}
• حلول المعادلة f ( f ( x )) = x على${\displaystyle \mathbb {R} }$درس تشارلز باباج ( الانعكاسات للأعداد الحقيقية ) لأول مرة عام 1815، وتُعرف هذه المعادلة بمعادلة باباج الدالية . ^{[ 3 ]} أحد الحلول الخاصة هو f ( x ) = ( b - x )/(1 + cx ) حيث bc ≠ -1 . لاحظ باباج أنه لأي حل معطى f ، فإن مرافقه الدالي Ψ ^-1 ∘ f ∘ Ψ بواسطة دالة قابلة للعكس Ψ هو أيضًا حل. بعبارة أخرى، تؤثر مجموعة جميع الدوال القابلة للعكس على خط الأعداد الحقيقية على المجموعة الجزئية المكونة من حلول معادلة باباج الدالية عن طريق المرافق .

إجراء منهجي لإنتاج جذور وظيفية عشوائية من الرتبة n (بما في ذلك جذور حقيقية وسالبة ومتناهية الصغر من الرتبة n ) للدوال${\displaystyle g:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$يعتمد على حلول معادلة شرودر . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} يوجد عدد لا نهائي من الحلول التافهة عندما يُسمح لمجال دالة الجذر f بأن يكون أكبر بكثير من مجال g .

• f ( x ) = 2 x ² هو الجذر التربيعي الوظيفي لـ g ( x ) = 8 x ⁴ .
• الجذر التربيعي الوظيفي لكثير الحدود من الرتبة n لتشيبشيف ،${\displaystyle g(x)=T_{n}(x)}$، يكون${\displaystyle f(x)=\cos {({\sqrt {n}}\arccos(x))}}$، وهو ليس متعدد الحدود بشكل عام .
• ${\displaystyle f(x)=x/({\sqrt {2}}+x(1-{\sqrt {2}}))}$هو الجذر التربيعي الوظيفي لـ${\displaystyle g(x)=x/(2-x)}$.

sin _[2] ( x ) = sin(sin( x )) [ المنحنى الأحمر

sin _[1] ( x ) = sin( x ) = rin(rin( x )) [ المنحنى الأزرق ]

sin _{[ ⁠ 1 / 2 ⁠ ]} ( x ) = rin( x ) = qin(qin( x )) [ المنحنى البرتقالي ]، على الرغم من أن هذا ليس فريدًا، فالعكس - rin هو حل لـ sin = rin ∘ rin أيضًا.

sin _{[ ⁠ 1 / 4 ⁠ ]} ( x ) = qin( x ) [المنحنى الأسود فوق المنحنى البرتقالي]

sin _[–1] ( x ) = arcsin( x ) [منحنى متقطع]

باستخدام هذا الامتداد، يمكن إثبات أن sin _{[ ⁠ 1 / 2 ⁠ ]} ( 1 ) يساوي تقريبًا 0.90871. ^{[ 7 ]}

(انظر ^{[ 8 ]} للاطلاع على الرموز، انظر( تمت أرشفة هذه الصفحة بتاريخ 2022-12-05 في موقع Wayback Machine .)