وظيفة فائقة

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 81 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ الدالة الفائقة اسمًا غير قياسي لدالة مُكرّرة ذات مؤشر تكرار مستمر مُعقّد. وبشكل تقريبي، بالنسبة لدالة f ومتغير x ، يُمكن تعريف الدالة الفائقة بالصيغة التالية:

S(z؛x)=و(و(...و(x)...))⏟z تقييمات الوظيفةو.{\displaystyle S(z;x)=\underbrace {f{\Big (}f{\big (}\dots f(x)\dots {\big )}{\Big )}} _{z{\text{ تقييمات الدالة}}\,f}.}

يمكن تفسير الدالة S ( z ; x ) على أنها الدالة الفائقة للدالة f ( x ). هذا التعريف صالح فقط للأعداد الصحيحة الموجبة z . غالبًا ما يُهمل المتغير x . تستخدم العديد من الدراسات والتطبيقات للدوال الفائقة امتدادات متنوعة لهذه الدوال لتشمل الأعداد المركبة والمتصلة ، بالإضافة إلى تحليل وجودها ووحدانيتها وقيمتها. يمكن تفسير دوال أكرمان والتكرار الرباعي بدلالة الدوال الفائقة.

تاريخ

نشأ تحليل الدوال الفائقة من تطبيقات تقييم التكرارات الكسرية للدوال. تسمح الدوال الفائقة ومعكوساتها بتقييم ليس فقط القوة السالبة الأولى للدالة ( الدالة العكسية )، بل أيضًا أي تكرار حقيقي أو حتى مركب لتلك الدالة. تاريخيًا، كانت إحدى الدوال المبكرة من هذا النوع التي تم دراستها هيخبرة{\displaystyle {\sqrt {\exp }}}الوظيفة!{\displaystyle {\sqrt {\,!\;}}}ثم تم استخدامه كشعار لقسم الفيزياء في جامعة موسكو الحكومية . [ 1 ]

في ذلك الوقت، لم يكن لدى هؤلاء الباحثين إمكانية الوصول إلى الحوسبة لتقييم هذه الوظائف، ولكن الوظيفةخبرة{\displaystyle {\sqrt {\exp }}}كان أكثر حظاً من!{\displaystyle {\sqrt {\,!\;}}}على أقل تقدير، وجود الدالة الهولومورفيةφ{\displaystyle \varphi }بحيثφ(φ(u))=خبرة⁡(u){\displaystyle \varphi (\varphi (u))=\exp(u)}وقد تم إثبات ذلك في عام 1950 بواسطة هيلموت كنيسر . [ 2 ]

بالاعتماد على نظرية الاقتران الوظيفي الأنيقة لمعادلة شرودر ، [ 3 ] في برهانه، قام كنيسر ببناء "الدالة الفائقة" للخريطة الأسية من خلال دالة أبيل المقابلة.X{\displaystyle {\mathcal {X}}}، مما يحقق معادلة أبيل ذات الصلة

X(خبرة⁡(u))=X(u)+1. {\displaystyle {\mathcal {X}}(\exp(u))={\mathcal {X}}(u)+1.\ }

لهذا السبب. X(S(z؛u))=X(u)+z {\displaystyle {\mathcal {X}}(S(z;u))={\mathcal {X}}(u)+z\ }الدالة العكسية التي وجدها كنيسر،

S(z؛u)=X-1(z+X(u)){\displaystyle S(z;u)={\mathcal {X}}^{-1}(z+{\mathcal {X}}(u))}

هو دالة أسية فائقة كاملة ، على الرغم من أنها ليست حقيقية على المحور الحقيقي؛ ولا يمكن تفسيرها على أنها دالة أسية رباعية ، لأن الشرطS(0؛x)=x{\displaystyle S(0;x)=x}لا يمكن تحقيق ذلك بالنسبة للدالة الفائقة الأسية بأكملها. الحقيقيخبرة{\displaystyle {\sqrt {\exp }}}يمكن بناء الدالة باستخدام الدالة التتريتيونية (وهي أيضًا دالة أسية فائقة)؛ بينما الدالة الحقيقية!{\displaystyle {\sqrt {\,!\;}}}يمكن بناؤها باستخدام العامل الفائق .

يوجد كتاب مخصص للوظائف الفائقة. [ 4 ]

الإضافات

يمكن كتابة صيغة التكرار للمقدمة أعلاه على النحو التالي:

S(z+1؛x)=و(S(z؛x))        ∀z∈شمال:z>0{\displaystyle S(z+1;x)=f(S(z;x))~~~~~~~~\forall z\in \mathbb {N} :z>0}
S(1)=و(x).{\displaystyle S(1)=f(x).}

بدلاً من المعادلة الأخيرة، يمكن كتابة دالة التطابق ،

S(0)=x ،{\displaystyle S(0)=x~,}

وتوسيع نطاق تعريف الدالة الفائقة S ليشمل الأعداد الصحيحة غير السالبة. عندئذٍ، يمكن افتراض

S(-1)=و-1(x)،{\displaystyle S(-1)=f^{-1}(x),}

وتوسيع نطاق الصلاحية ليشمل القيم الصحيحة الأكبر من -2.

على سبيل المثال، الامتداد التالي

S(-2)=و-2(x){\displaystyle S(-2)=f^{-2}(x)}

ليس الأمر تافهاً، لأن الدالة العكسية قد لا تكون معرفة لبعض قيمx{\displaystyle x}. على وجه الخصوص، يمكن تفسير التكرار الرباعي كدالة فائقة للأس لبعض الأساسات الحقيقيةب{\displaystyle b}في هذه الحالة،

و=خبرةب.{\displaystyle f=\exp _{b}.}

ثم، عند x = 1،

S(-1)=سجلب⁡1=0،{\displaystyle S(-1)=\log _{b}1=0,}

لكن

S(-2)=سجلب⁡0{\displaystyle S(-2)=\log _{b}0}

غير مُعرّف.

ولتوسيع نطاق الدالة لتشمل القيم غير الصحيحة للوسيط، يجب تعريف الدالة الفائقة بطريقة مختلفة.

بالنسبة للأعداد المركبةأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}بحيثأ{\displaystyle a}ينتمي إلى نطاق متصلد⊆ج{\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }، الدالة الفائقة (منأ{\displaystyle a}لب{\displaystyle b}) لدالة هولومورفية f على المجالد{\displaystyle D}هي دالةS{\displaystyle S}، هولومورفي على المجالد{\displaystyle D}بحيث

S(z+1)=و(S(z)) ∀z∈د:z+1∈د {\displaystyle S(z\!+\!1)=f(S(z))~\forall z\in D:z\!+\!1\in D\ }
S(أ)=ب. {\displaystyle S(a)=b.\ }

رجل فريد

بشكل عام، الدالة الفائقة ليست فريدة. بالنسبة لدالة أساسية معينةو{\displaystyle f}، من شيء معين(أ↦د){\displaystyle (a\mapsto d)}وظيفة فائقةS{\displaystyle S}، آخر(أ↦د){\displaystyle (a\mapsto d)} وظيفة فائقةجي{\displaystyle G}يمكن بناؤها على النحو التالي

جي(z)=S(z+μ(z)) {\displaystyle G(z)=S(z+\mu (z))\ }

أينμ{\displaystyle \mu }هي أي دالة دورية من الدرجة الأولى ، كاملة الشكل على الأقل في جوار ما من المحور الحقيقي، بحيثμ(أ)=0{\displaystyle \mu (a)=0}.

قد يكون للدالة الفائقة المعدلة نطاق هولومورفي أضيق. ويزداد تنوع الدوال الفائقة الممكنة بشكل خاص في الحالة الحدية، عندما يصبح عرض نطاق الهولومورفي صفرًا؛ في هذه الحالة، نتعامل مع دوال فائقة تحليلية حقيقية . [ 5 ]

إذا كان نطاق التماثل المطلوب كبيرًا بما يكفي، فمن المتوقع أن تكون الدالة الفائقة فريدة، على الأقل في بعض الدوال الأساسية المحددة.ح{\displaystyle H}وعلى وجه الخصوص،(ج،0↦1){\displaystyle (C,0\mapsto 1)}الوظيفة الفائقة لـ خبرةب{\displaystyle \exp _{b}}، لب>1{\displaystyle b>1}يُطلق عليها اسم التكرارية ، ويُعتقد أنها فريدة من نوعها، على الأقل بالنسبة لـ ج={z∈ج : ℜ(z)>-2}{\displaystyle C=\{z\in \mathbb {C} ~:~\Re (z)>-2\}}؛ في هذه الحالةب>خبرة⁡(1/هـ){\displaystyle b>\exp(1/\mathrm {e} )}[ 6 ] ولكن حتى عام 2009 ، كانت التفردية مجرد تخمين وليست نظرية ذات برهان رياضي رسمي .

أمثلة

تُوضَّح هذه المجموعة المختصرة من الدوال الفائقة الأولية في [ 7 ] . يمكن التعبير عن بعض الدوال الفائقة باستخدام الدوال الأولية ؛ وتُستخدم دون الإشارة إلى أنها دوال فائقة. على سبيل المثال، بالنسبة لدالة التحويل "++"، التي تعني زيادة بمقدار وحدة واحدة، فإن الدالة الفائقة هي ببساطة جمع ثابت.

إضافة

اختر عددًا مركبًاج{\displaystyle c}وحدد الوظيفةأددج{\displaystyle \mathrm {add} _{c}}بواسطة أددج(x)=ج+x{\displaystyle \mathrm {add} _{c}(x)=c+x}للجميعx∈ج{\displaystyle x\in \mathbb {C} }. حدد الوظيفة بشكل أكبرمuلج{\displaystyle \mathrm {mul_{c}} }بواسطة مuلج(x)=ج⋅x{\displaystyle \mathrm {mul_{c}} (x)=c\cdot x}للجميعx∈ج{\displaystyle x\in \mathbb {C} }.

ثم، الوظيفةS(z؛x)=x+مuلج(z){\displaystyle S(z;x)=x+\mathrm {mul_{c}} (z)}هي الدالة الفائقة (من 0 إلى c ) للدالةأددج{\displaystyle \mathrm {add_{c}} }على C.​

الضرب

الأسخبرةج{\displaystyle \exp _{c}}هي دالة فائقة (من 1 إلىج{\displaystyle c}) من الدالةمuلج{\displaystyle \mathrm {mul} _{c}}.

كثيرات الحدود التربيعية

جميع الأمثلة باستثناء المثال الأخير أدناه مأخوذة أساسًا من ورقة شرودر الرائدة لعام 1870. [ 3 ]

يتركو(x)=2x2-1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-1}. ثم،

S(z؛x)=كوس⁡(2zأركوس⁡(x)){\displaystyle S(z;x)=\cos(2^{z}\arccos(x))}

هو(ج، 0→1){\displaystyle (\mathbb {C} ,~0\!\rightarrow \!1)}الدالة الفائقة (مسار التكرار) للدالة f .

بالفعل،

S(z+1؛x)=كوس⁡(2⋅2zأركوس⁡(x))=2كوس⁡(2zأركوس⁡(x))2-1=و(S(z؛x)) {\displaystyle S(z+1;x)=\cos(2\cdot 2^{z}\arccos(x))=2\cos(2^{z}\arccos(x))^{2}-1=f(S(z;x))\ }

وS(0؛x)=x.{\displaystyle S(0;x)=x.}

في هذه الحالة، الدالة الفائقةS{\displaystyle S}دورية، ذات دورة تي=2πln⁡(2)أنا≈9.0647202836543876194 أنا{\displaystyle T={\frac {2\pi }{\ln(2)}}i\approx 9.0647202836543876194\!~i}؛ وتقترب الدالة الفائقة من الوحدة في الاتجاه السالب على المحور الحقيقي:

ليمz→-∞S(z)=1. {\displaystyle \lim _{z\rightarrow -\infty }S(z)=1.\ }

الدالة الجبرية

بصورة مماثلة،

و(x)=2x1-x2{\displaystyle f(x)=2x{\sqrt {1-x^{2}}}}

يحتوي على مدار تكراري

S(z؛x)=الخطيئة⁡(2zدالة الجيب العكسية⁡(x)).{\displaystyle S(z;x)=\sin(2^{z}\arcsin(x)).}

الدالة الكسرية

بشكل عام، لا يشترط أن تكون دالة التحويل (الخطوة) f ( x ) دالة كاملة . مثال على ذلك دالة ميرومورفية f هو:

و(x)=2x1-x2     ∀x∈د{\displaystyle f(x)={\frac {2x}{1-x^{2}}}~~~~~\forall x\in D}؛ د=ج∖{-1،1}.{\displaystyle ~D=\mathbb {C} \setminus \{-1,1\}.}

مدار تكرارها (الدالة الفائقة) هو

S(z؛x)=لون برونزي⁡(2zدالة الظل العكسي⁡(x)){\displaystyle S(z;x)=\tan(2^{z}\arctan(x))}

على C ، مجموعة الأعداد المركبة باستثناء نقاط تفرد الدالة S. ولتوضيح ذلك، تذكر صيغة الزاوية المزدوجة المثلثية

لون برونزي⁡(2α)=2لون برونزي⁡(α)1-لون برونزي⁡(α)2  ∀α∈ج∖{α∈ج:كوس⁡(α)=0 أو الخطيئة⁡(α)=±كوس⁡(α)}.{\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {2\tan(\alpha )}{1-\tan(\alpha )^{2}}}~~\forall \alpha \in \mathbb {C} \setminus \{\alpha \in \mathbb {C} cos(α) = 0 أو sin(α) = ± cos(α).

الأس

يترك ب>1{\displaystyle b>1}، و(u)=خبرةب⁡(u){\displaystyle f(u)=\exp _{b}(u)}، ج={z∈ج:ℜ(u)>-2}{\displaystyle C=\{z\in \mathbb {C} :\Re (u)>-2\}} . التكرارتهـتب{\displaystyle \mathrm {tet} _{b}}ثم يكون(ج، 0→1){\displaystyle (C,~0\!\rightarrow \!1)}الوظيفة الفائقة لـخبرةب{\displaystyle \exp _{b}}.

دالة أبيل

يمكن تفسير معكوس الدالة الفائقة لمتغير مناسب x على أنه دالة أبيل ، وهو حل معادلة أبيل .

X(خبرة⁡(u))=X(u)+1. {\displaystyle {\mathcal {X}}(\exp(u))={\mathcal {X}}(u)+1.\ }

وبالتالي

X(S(z؛u))=X(u)+z. {\displaystyle {\mathcal {X}}(S(z;u))={\mathcal {X}}(u)+z.\ }

الدالة العكسية، عند تعريفها، هي

S(z؛u)=X-1(z+X(u))،{\displaystyle S(z;u)={\mathcal {X}}^{-1}(z+{\mathcal {X}}(u)),}

بالنسبة للمجالات والنطاقات المناسبة، إن وجدت. وتكون الخاصية التكرارية لـ S بديهية.

يوضح الشكل الموجود على اليسار مثالاً على الانتقال من خبرة1=خبرة{\displaystyle \exp ^{1}\!=\!\exp }ل خبرة-1=ln{\displaystyle \exp ^{\!-1}\!=\!\ln }الدالة المتكررةخبرةz{\displaystyle \exp ^{z}}يتم رسم الحجة الحقيقية مقابل z=2،1،0.9،0.5،0.1،-0.1،-0.5،-0.9،-1،-2{\displaystyle z=2,1,0.9,0.5,0.1,-0.1,-0.5,-0.9,-1,-2}تم استخدام الدالة الرباعية والدالة الرباعية العكسية كدالة فائقة S{\displaystyle S}ودالة أبيلأ{\displaystyle A}من الدالة الأسية. يوضح الشكل على اليمين هذه الدوال في المستوى المركب. عند عدد تكرارات صحيح غير سالب، تكون الدالة الأسية المتكررة دالة كاملة ؛ أما عند قيم غير صحيحة، فلها نقطتا تفرع ، تُقابلان النقطة الثابتة.L{\displaystyle L}و L*{\displaystyle L^{*}}اللوغاريتم الطبيعي . عندz≥0{\displaystyle z\!\geq \!0}، وظيفةخبرةz⁡(x){\displaystyle \exp ^{z}(x)}يبقى شكله كاملاً على الأقل في الشريط|ℑ(z)|<ℑ(L)≈1.3{\displaystyle |\Im (z)|<\Im (L)\approx 1.3}على طول المحور الحقيقي.

تطبيقات الدوال الفائقة ودوال أبيل

تُقترح الدوال الفائقة، وخاصة الدوال الأسية الفائقة ، كدوال سريعة النمو لتطوير تمثيل الأعداد العشرية في الحواسيب. من شأن هذا التطوير أن يوسع نطاق الأعداد الضخمة التي لا تزال قابلة للتمييز عن اللانهاية.

تشمل التطبيقات الأخرى حساب التكرارات الكسرية (أو القوى الكسرية) لدالة ما. يمكن تحديد أي دالة تحليلية بدلالة دالة نقل، ومن ثم يمكن دراسة دوالها الفائقة ودوال أبيل المقابلة لها.

البصريات غير الخطية

في دراسة الاستجابة غير الخطية للمواد البصرية، يُفترض أن تكون العينة رقيقة بصريًا، بحيث لا تتغير شدة الضوء كثيرًا أثناء مروره عبرها. عندئذٍ، يمكن دراسة الامتصاص كدالة للشدة، على سبيل المثال. مع ذلك، عند حدوث تغير طفيف في شدة الضوء في العينة، تكون دقة قياس الامتصاص كدالة للشدة غير جيدة. يسمح إعادة بناء الدالة الفائقة من دالة النقل بالعمل مع عينات سميكة نسبيًا، مما يُحسّن دقة القياسات. على وجه الخصوص، يمكن تفسير دالة النقل لعينة مماثلة، ولكنها أرق بنسبة النصف، على أنها الجذر التربيعي (أي نصف التكرار) لدالة النقل للعينة الأصلية.

ويُقترح مثال مشابه للألياف البصرية غير الخطية . [ 6 ]

الصوتيات غير الخطية

قد يكون من المفيد تحديد خصائص اللاخطية في توهين الموجات الصدمية داخل أنبوب متجانس. يمكن تطبيق ذلك في بعض كاتمات الصوت المتطورة، باستخدام التأثيرات الصوتية اللاخطية لامتصاص طاقة الموجات الصوتية دون التأثير على تدفق الغاز. ويمكن تعزيز تحليل الاستجابة اللاخطية، أي دالة النقل، باستخدام الدالة الفائقة.

التبخر والتكثيف

في تحليل التكثيف، يمكن دراسة نمو (أو تبخر) قطرة صغيرة من السائل أثناء انتشارها عبر أنبوب يحتوي على تركيز منتظم من البخار. في التقريب الأول، عند تركيز ثابت للبخار، يمكن اعتبار كتلة القطرة عند طرف المخرج دالة نقل لكتلة المدخل. ويُمثل الجذر التربيعي لهذه الدالة كتلة الأنبوب عند نصف طوله.

انهيار ثلجي

يمكن اعتبار كتلة كرة ثلجية تتدحرج أسفل تل دالةً للمسار الذي قطعته. عند طول ثابت لهذا المسار (يُحدد بارتفاع التل)، يمكن اعتبار هذه الكتلة أيضًا دالة نقل للكتلة الأصلية. يمكن قياس كتلة كرة الثلج عند قمة التل وأسفله، ما يُعطي دالة النقل؛ عندئذٍ، تُصبح كتلة كرة الثلج، كدالة للطول الذي قطعته، دالة فائقة.

العنصر التشغيلي

إذا احتاج المرء إلى بناء عنصر تشغيلي بوظيفة نقل معينةح{\displaystyle H}وإذا أراد تحقيق ذلك كوصلة متسلسلة لزوج من العناصر التشغيلية المتطابقة، فيجب أن يكون لكل من هذين العنصرين دالة نقل. ح=ح{\displaystyle h={\sqrt {H}}}يمكن تقييم هذه الدالة من خلال الدالة الفائقة ودالة أبيل لدالة التحويل.ح{\displaystyle H}.

قد يكون للعنصر التشغيلي أي أصل: يمكن تحقيقه كشريحة إلكترونية دقيقة، أو زوج ميكانيكي من الحبيبات المنحنية، أو أنبوب على شكل حرف U غير متماثل مملوء بسوائل مختلفة، وما إلى ذلك.

مراجع

تتضمن هذه المقالة مواد من مقالة Citizendium بعنوان " Superfunction "، والتي تم ترخيصها بموجب رخصة Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported ولكنها ليست مرخصة بموجب رخصة GFDL .

  1. ↑ شعار قسم الفيزياء بجامعة موسكو الحكومية. (باللغة الروسية)؛ . VPKandidov. حول الوقت ونفسي. (باللغة الروسية) . الذكرى 250 لجامعة موسكو الحكومية. (بالروسية) ПЕРВОМУ УНИВЕРСИТЕТУ СТРАНЫ - 250!
  2. ^ ه.كنيسر (1950). "Reelle analytische L¨osungen der Gleichungφ(φ(x))=هـx{\displaystyle \varphi (\varphi (x))=e^{x}}und verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 187 : 56– 67.
  3. 1 2 شرودر، إرنست (1870). "Ueber iterirte Functionen". الرياضيات أنالن . 3 (2): 296-322 . دوى : 10.1007 / BF01443992 . S2CID 116998358 . 
  4. ↑ ديمتري كوزنيتسوف (2020). الدوال الفائقة: التكرارات غير الصحيحة للدوال التحليلية. التكرارات المتكررة وغيرها من الدوال الفائقة. صيغ، خوارزميات، جداول، رسومات بيانية. الناشر: لامبرت للنشر الأكاديمي .
  5. ↑ بي. ووكر (1991). "الدوال اللوغاريتمية والأسية المعممة القابلة للتفاضل بلا حدود" . رياضيات الحساب . 57 (196): 723-733 . Bibcode : 1991MaCom..57..723W . doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1094963-4 . JSTOR 2938713 . 
  6. 1 2 د. كوزنيتسوف. (2009). "حلول لـF(z+1)=خبرة⁡(F(z)){\displaystyle F(z+1)=\exp(F(z))}في المجمعz{\displaystyle z}"المستوى" . رياضيات الحساب . 78 : 1647-1670 . doi : 10.1090/S0025-5718-09-02188-7 .نسخة أولية: PDF
  7. ↑ د. كوزنيتسوف، هـ. ترابمان. الدوال الفائقة والجذر التربيعي للمضروب. نشرة الفيزياء بجامعة موسكو ، 2010، المجلد 65، العدد 1، ص 6-12. (نسخة أولية من معهد علوم المكتبات بجامعة موسكو، 2009: )