دالة نصف أسية

في الرياضيات ، الدالة نصف الأسية هي الجذر التربيعي الوظيفي للدالة الأسية . أي دالة${\displaystyle f}$بحيث${\displaystyle f}$يؤدي تركيبها مع نفسها إلى دالة أسية: ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},}$$ بالنسبة لبعض الثوابت${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$.

اقترح هيلموت كنيسر لأول مرة بناءً هولومورفيًا لحل المعادلة${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=e^{x}}$في عام 1950.

إذا كانت دالة${\displaystyle f}$إذا تم تعريفها باستخدام العمليات الحسابية القياسية، والدوال الأسية، واللوغاريتمات ، والثوابت ذات القيم الحقيقية ، فإن${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}}$إما أن تكون شبه أسية أو فوق أسية. ^{[ 3 ]} وبالتالي، لا يمكن أن تكون دالة هاردي L نصف أسية.

يمكن كتابة أي دالة أسية على شكل تركيب ذاتي${\displaystyle f(f(x))}$لعدد لا نهائي من الخيارات الممكنة${\displaystyle f}$. على وجه الخصوص، لكل${\displaystyle A}$في الفترة المفتوحة${\displaystyle (0,1)}$ولكل دالة مستمرة متزايدة تمامًا${\displaystyle g}$من${\displaystyle [0,A]}$على${\displaystyle [A,1]}$، هناك امتداد لهذه الدالة إلى دالة مستمرة متزايدة تمامًا${\displaystyle f}$على الأعداد الحقيقية بحيث${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x}$[ ^{4 ]} الوظيفة^​${\displaystyle f}$هو الحل الوحيد للمعادلة الوظيفية$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}}$$

مثال بسيط، يؤدي إلى${\displaystyle f}$ذات مشتقة أولى متصلة${\displaystyle f'}$في كل مكان، ويسبب أيضًا ${\displaystyle f''\geq 0}$في كل مكان (أي${\displaystyle f(x)}$مقعر لأعلى، و${\displaystyle f'(x)}$يتزايد، بالنسبة لجميع الحقيقيين${\displaystyle x}$), هو أن تأخذ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}}$و${\displaystyle g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}}$، إعطاء $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\ln \left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\ln 2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}{-\ln 2}\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}}$$ يدّعي كرون ونويندورفر أنه لا توجد دالة شبه أسية f(x) تكون (أ) تحليلية و(ب) تُحوّل الأعداد الحقيقية دائمًا إلى أعداد حقيقية. يحقق الحل المُجزّأ أعلاه الهدف (ب) ولكنه لا يحقق الهدف (أ). يُمكن تحقيق الهدف (أ) بكتابة${\displaystyle e^{x}}$كمتسلسلة تايلور مبنية على نقطة ثابتة Q (يوجد عدد لا نهائي من هذه النقاط الثابتة، لكنها جميعًا أعداد مركبة غير حقيقية، على سبيل المثال${\displaystyle Q=0.3181315+1.3372357i}$مما يجعل Q أيضًا نقطة ثابتة للدالة f، أي${\displaystyle f(Q)=e^{Q}=Q}$ثم حساب معاملات متسلسلة ماكلورين لـ${\displaystyle f(x-Q)}$واحدة تلو الأخرى. ينتج عن ذلك حل كنيسر الهولومورفي.

يرتبط بناء حل كنيسر ارتباطًا وثيقًا بمشكلة توسيع التكرار الثلاثي إلى قيم غير صحيحة؛ قيمة${\displaystyle {}^{1/2}a}$يمكن فهم ذلك على أنه قيمة${\displaystyle f(1)}$، أين${\displaystyle f(x)}$يرضي${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=a^{x}}$أمثلة على القيم من حل كنيسر لـ${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=e^{x}}$يشمل${\displaystyle f(0)\approx 0.49856}$و${\displaystyle f{\bigl (}1)\approx 1.64635}$[ ^{5 ] [ 6 ] [ 7 ]​}

تُستخدم الدوال نصف الأسية في نظرية التعقيد الحسابي لمعدلات النمو "المتوسطة" بين متعددة الحدود والأسية. ^{[ 2 ]} دالة${\displaystyle f}$ينمو على الأقل بنفس سرعة دالة نصف أسية ( ينمو تركيبها مع نفسها بشكل أسي ) إذا كانت غير متناقصة و${\displaystyle f^{-1}(x^{C})=o(\log x)}$لكل​${\displaystyle C>0}$[ ^{8 ]​}

• الدالة المتكررة – نتيجة تطبيق دالة رياضية بشكل متكرر 
• معادلة شرودر – معادلة النقطة الثابتة للتركيب الوظيفي 
• معادلة أبيل – معادلة الدالة التي تحسب القيم المتكررة 

• هل للدالة الأسية جذر تربيعي (تركيبي)؟
• الدوال "المغلقة" ذات النمو نصف الأسي