مربع دائري

الشكل المربع الدائري هو شكلٌ يقع بين المربع والدائرة . يوجد تعريفان على الأقل لمصطلح "المربع الدائري"، أحدهما مبني على القطع الناقص الفائق ، والآخر ناشئ عن علم البصريات . كلمة "المربع الدائري" هي كلمة مركبة من كلمتي "مربع" و " دائرة". وقد استُخدمت الأشكال المربعة الدائرية في التصميم وعلم البصريات .

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يتم تعريف القطع الناقص الفائق بالمعادلة $${\displaystyle \left|{\frac {xa}{r_{a}}}\right|^{n}+\left|{\frac {yb}{r_{b}}}\right|^{n}=1,}$$ حيث يمثل r_{_a} و r_{_b} المحورين شبه الرئيسي وشبه الثانوي ، و a و b إحداثيات x و y لمركز القطع الناقص، و n عدد موجب. يُعرَّف الشكل المربع الدائري النموذجي بأنه القطع الناقص الفائق حيث r _{_a} = r_{_b} و n = 4. معادلته هي: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \left|xa\right|^{4}+\left|yb\right|^{4}=r^{4}}$$ حيث r هو نصف قطر الدائرة المربعة. قارن هذا بمعادلة الدائرة . عندما يكون مركز الدائرة المربعة عند نقطة الأصل، فإن a = b = 0 ، وتُسمى هذه المعادلة بالمعادلة الرباعية الخاصة للاميه .

يمكن التعبير عن المساحة داخل هذه الدائرة المربعة بدلالة دالة بيتا B أو دالة جاما Γ كما هو ^{[ 1 ]}$$\begin{aligned}{\text{المساحة}}&=4\int _{0}^{r}{\sqrt[{4}]{r^{4}-x^{4}}}\,dx\\&=4r\int _{0}^{r}{\sqrt[{4}]{1-{\frac {x^{4}}{r^{4}}}}}\,dx\\&=4r^{2}\int _{0}^{1}{\sqrt[{4}]{1-u^{4}}}\,du\\&={\sqrt[{4}]{4}}r^{2}\int _{0}^{\frac {1}{4}}v^{-{\frac {3}{4}}}{\sqrt[{4}]{1-4v}}\,dv\\&=r^{2}\int _{0}^{1}(1-w)^{\frac {1}{4}}w^{-{\frac {3}{4}}}\,dw\\&=r^{2}\int _{0}^{1}(1-w)^{{\frac {5}{4}}-1}w^{{\frac {1}{4}}-1}\,dw\\&=r^{2}\cdot \operatorname {\mathrm {B} } \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {5}{4}}\right)\\&=4r^{2}{\frac {\left(\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {2}{4}}\right)}}\\&={\frac {8r^{2}\left(\operatorname {\Gamma } \left({\frac {5}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}\\&=\varpi {\sqrt {2}}r^{2}\approx 3.708149r^{2},\end{aligned}}}$$ حيث r هو نصف قطر الدائرة المربعة، و ϖ هو ثابت اللمنيسكات .

يُستمد شكلٌ آخر من الأشكال المربعة الدائرية من مجال البصريات. ^{[ 3 ] [ 4 ]} وقد يُطلق عليه اسم شكل فرنانديز-غواستي المربع الدائري أو شكل FG المربع الدائري، نسبةً إلى أحد مؤلفيه، لتمييزه عن الشكل المربع الدائري المرتبط بالقطع الناقص الفائق المذكور أعلاه. ^{[ 2 ]} ويُعرَّف هذا النوع من الأشكال المربعة الدائرية، المتمركز عند نقطة الأصل، بالمعادلة التالية: $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}x^{2}y^{2}=r^{2}}$$ حيث r هو نصف قطر الدائرة المربعة، وs هو معامل التربيع، و x و y يقعان في الفترة [ −r , r ] . إذا كانت s = 0 ، فإن المعادلة تمثل دائرة؛ وإذا كانت s = 1 ، فإنها تمثل مربعًا. تسمح هذه المعادلة بتمثيل سلس للانتقال من الدائرة إلى المربع، دون الحاجة إلى افتراض اللانهاية .

ينشأ نوع آخر من الأشكال المربعة الدائرية من علم المثلثات . ^{[ 6 ]} هذا النوع من الأشكال المربعة الدائرية دوري في ℝ² وله المعادلة التالية ^:

$${\displaystyle \cos \left({\frac {s\pi x}{2r}}\right)\cos \left({\frac {s\pi y}{2r}}\right)=\cos \left({\frac {s\pi }{2}}\right)}$$

حيث r هو نصف القطر الأصغر للمربع الدائري، وs هو معامل التربيع، و x و y تقعان في الفترة (−r , r ) . عندما يقترب s من الصفر في النهاية ، تصبح المعادلة دائرة. وعندما s = 1 ، تصبح المعادلة مربعًا. ^{[ 7 ]}

تُعدّ الدوائر المربعة مفيدة في علم البصريات . فعند تمرير الضوء عبر فتحة مربعة ثنائية الأبعاد، يمكن تمثيل البقعة المركزية في نمط الحيود بدقة باستخدام دائرة مربعة أو دائرة فائقة. أما عند استخدام فتحة مستطيلة، فيمكن تقريب البقعة باستخدام قطع ناقص فائق . ^{[ 4 ]}

استُخدمت الأشكال المربعة الدائرية أيضًا في صناعة أطباق العشاء . يتميز الطبق المربع الدائري بمساحة أكبر (وبالتالي يمكنه استيعاب كمية أكبر من الطعام) من الطبق الدائري ذي نصف القطر نفسه، ولكنه مع ذلك يشغل نفس المساحة في خزانة مستطيلة أو مربعة. ^{[ 8 ]}

صُممت العديد من طرازات هواتف نوكيا بزر لوحة لمس على شكل دائرة مربعة، ^{[ 9 ] [ 10 ]} كما هو الحال في الجيل الثاني من مايكروسوفت زون . ^{[ 11 ]} تستخدم آبل شكلاً مشابهاً للدائرة المربعة (في الواقع، قطع ناقص خماسي) للأيقونات في أنظمة iOS و iPadOS و macOS ، بالإضافة إلى أزرار الصفحة الرئيسية في بعض أجهزة آبل. ^{[ 12 ]} أحد أشكال الأيقونات التكيفية التي تم تقديمها في نظام التشغيل أندرويد "أوريو" هو شكل الدائرة المربعة. ^{[ 13 ]} تستخدم سامسونج أيقونات على شكل دائرة مربعة في واجهة المستخدم One UI الخاصة بنظام أندرويد ، وفي واجهتي Samsung Experience و TouchWiz . ^{[ 14 ]}

استخدمت شركة فيات الإيطالية لصناعة السيارات العديد من الأشكال المربعة الدائرية في التصميم الداخلي والخارجي للجيل الثالث من سيارة باندا . ^{[ 15 ]}

• قياس التعرج
• الكويكبات
• القطع الناقص
• مجسم بيضاوي
• مسافات L ^p
• بيضاوي
• سكواوند
• سوبر إيغ

• ما هي مساحة الشكل المربع الدائري؟ (فيديو على يوتيوب من تقديم مات باركر)
• حاسبة إلكترونية للدائرة الفائقة والقطع الناقص الفائق
• مولد الدوائر الفائقة عبر الإنترنت